[柯西不等式]单元测试题(2)
《柯西不等式》单元测试题（2）
班级 姓名
一、选择题：
1．若a ＋b ＝1，x ＋y ＝2，则ax ＋by 的最大值为( )
A ．1 B．2 C.2 D．4 2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )
112222
A ．ab ≤ B．ab ．a ＋b ≥2 D．a ＋b ≤3
22
3. 已知a,b ∈(0,+∞),x 1,x 2∈(0,+∞), 使不等式(ax1+bx2) ·(bx1+ax2) ≥x 1x 2成立的一个条件是( )
A.a+b=1 B.a+b=1 C.a=b=1 D.a+b= 4. (2013·西安高二检测) 已知θ∈R, 则4A.2
B.3
C.
D.
+
cos θ的最大值是( )
2
2
2
2
2
2
2
2
5.(2013·陕西高考改编) 已知a,b,m,n 均为正数, 且a +b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5 6. 已知3x+2y=1.当x +y取最小值时,x,y 的值为 ( )
2
2
A. B. C. D.
7．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by ) 与Q ＝ax ＋by 的关系是( )
A ．P ≤Q B．P Q
1212
8．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则(a ＋) ＋(b ＋) 的最小值为( )
2
2
2
a b
A ．1 B．2 C.
2
2
2
2
257 D22
2
2
9．已知a 1＋a 2＋„＋a n ＝1，x 1＋x 2＋„＋x n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋„＋a n x n 的最大值是( )
A ．1 B．2 C．3 D．4
10．已知x ，y ，z 为正数，x ＋y ＋z ＝1，则x ＋y ＋z 的最小值为( )
111
A. ．不存在 435
11．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a ＋b ＋c ＝10，x ＋y ＋z ＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a ＋b ＋c
( )
x ＋y ＋z
1113A. 4324
二、填空题：
12．函数y ＝1－x ＋1＋2x 的最大值为________；
92
13．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则的最小值为________；
x y
14．(2013·湖南卷) 已知a ，b ，c ∈R，a ＋2b ＋3c ＝6，则a ＋4b ＋9c 的最小值为______； 15．(2013·湖北卷) 设x ，y ，z ∈R，且满足；x ＋y ＋z ＝1，x ＋2y ＋3z 14，则x ＋y ＋
2
2
2
222
z ＝________.
三、解答题：
16．已知1－b ＋b 1－a ＝1，求a ＋b 的值．
17．已知a ，b ，c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．
＋
2
2
⎛1⎫2⎛12⎛12100＋
18．a 、b 、c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1，求证： a ＋⎪＋ b ＋＋ c ≥.
3⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭
a 2b 2c 2
19．设a ，b ，c 为正数，求证：＋≥a ＋b ＋c .
b c a
20．设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证：
21．已知函数f (x ) ＝m －|x －2|，m ∈R，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m 的值；
111＋
(2)若a ，b ，c ∈R，且＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
a 2b 3c
2229＋＋. a ＋b b ＋c c ＋a a ＋b ＋c
参考答案：
一、选择题：
1．若a ＋b ＝1，x ＋y ＝2，则ax ＋by 的最大值为( )
A ．1 B．2 C.2 D．4 解析：∵(ax ＋by ) ≤(a ＋b )(x ＋y ) ＝2，
∴ax ＋by ≤2. 答案： C
2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )
112222
A ．ab ≤ B．ab ．a ＋b ≥2 D．a ＋b ≤3
22解析： ∵(1＋1)(a ＋b )
≥(a ＋b ) ＝4， ∴a ＋b ≥2. 答案： C
3. 已知a,b ∈(0,+∞),x 1,x 2∈(0,+∞), 使不等式(ax1+bx2) ·(bx1+ax2) ≥x 1x 2成立的一个条件是( )
A.a+b=1 B.a+b=1 C.a=b=1 D.a+b= 解析：选A.(ax1+bx2)(bx1+ax2)
=[(=(a
) +(+b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
) ][(
2
2
2
) +(
2
) ]≥(
2
·+·)
2
) =(a+b)x 1x 2,
所以a+b=1时, 可有(ax1+bx2)(bx1+ax2) ≥x 1x 2. 4. (2013·西安高二检测) 已知θ∈R, 则4A.2
B.3
C.+
D.
+
cos θ的最大值是( )
解析：选B. 由4cos θ
≤
·
=3. 当且仅当4cos θ=, 即sin θ=±,cos θ=时, 等号成立,
故选B.
5.(2013·陕西高考改编) 已知a,b,m,n 均为正数, 且a +b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选A.(am+bn)(an+bm)≥
(
=
⇒m=n时取最小值2.
2
2
+) =mn·(a+b)=2·1=2,
当且仅当
22
6. 已知3x+2y=1.当x +y取最小值时,x,y 的值为 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.x 2+y2
=(x2+y2)(32+22) ≥(3x+2y)2=
2
, 当且仅当=时取等号, 得
2
2
7．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by ) 与Q ＝ax ＋by 的关系是( )
A ．P ≤Q B．P
Q 解析：设m ＝(ax ，by ) ，n ＝(a ，b ) ，
则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n |
＝ ax by a ＋ b ＝ax ＋by a ＋b ax ＋by ， ∴(ax ＋by ) ≤ax ＋by . 即P ≤Q . 答案： A
1212
8．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则(a ＋) ＋(b ＋) 的最小值为( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b
A ．1 B．2 C.
257 D22
[1**********]
解析： (a ＋) ＋(b ＋) ＝a ＋2＋b ＋2(a ＋b )(1＋＋4，
a b a b a b
∵a ＋b ＝1，ab ≤(
a ＋b
12
＝， 24
1221112222
∴a ＋b ＝a ＋b )·(1＋1)≥a ＋b ) ＝，1224＝17，
222a b 12121725
∴(a ＋＋(b ≥＋4＝a b 22答案： C
9．已知a 1＋a 2＋„＋a n ＝1，x 1＋x 2＋„＋x n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋„＋a n x n 的最大值是( )
A ．1 B．2 C．3 D．4 答案：A
2
2
2
2
2
2
10．已知x ，y ，z 为正数，x ＋y ＋z ＝1，则x ＋y ＋z 的最小值为( )
111
A. ．不存在 435答案：B
11．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a ＋b ＋c ＝10，x ＋y ＋z ＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，
则
2
2
2
2
2
2
222
a ＋b ＋c
( )
x ＋y ＋z
1113A. 4324
解析：由于(a ＋b ＋c )(x ＋y ＋z )≥(ax ＋by ＋cz ) 等号成立当且仅当＝＝t ，则a
1a b c a ＋b ＋c 2222
＝tx ，b ＝ty ，c ＝tz ，t (x ＋y ＋z ) ＝10. 由题知t ＝＝＝，
2x y z x ＋y ＋z 所以
2
2
2
2
2
2
2
a b c
x y z
a ＋b ＋c 1
＝t ＝.
x ＋y ＋z 2
答案：C 二、填空题
12．函数y ＝1－x ＋1＋2x 的最大值为________； 解析：y ＝(1－x ＋1＋2x ) ＝(1－x 2·
9＝， 2
3
∴y 2，当且仅当2答案：
32 2
11
x ＝21－x 即x ＝时等号成立． 22
2
2
11222
＋x ) ≤[1＋(2) ][(1－x ) ＋(x )]22
92
13．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则的最小值为________；
x y
92
解析： (x ＋2y x y
＝x ) ＋2y ) ][(
2
22
3
x
＋(
2
2
y
x ·
2
3
x
2y 22
＝25，
y
当且仅当x ·9225∴. x y 825答案：8
y
2y
3
248
，即x y ＝时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，
55
14．(2013·湖南卷) 已知a ，b ，c ∈R，a ＋2b ＋3c ＝6，则a ＋4b ＋9c 的最小值为______； 解析：使用柯西不等式求解．
∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.
∴(a ＋4b ＋9c )(1＋1＋1)≥(a ＋2b ＋3c ) ，即a ＋4b ＋9c ≥12. 1112
当且仅当＝＝，即a ＝2，b ＝1，c ＝时取等号．
a 2b 3c 3答案：12
15．(2013·湖北卷) 设x ，y ，z ∈R，且满足；x ＋y ＋z ＝1，x ＋2y ＋3z 14，则x ＋y ＋
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
z ＝________.
分析：先利用柯西不等式求出x ＋2y ＋3z 的最值，再结合题目条件得到x ＋2y ＋3z 的值，
然后根据等号成立的条件求出x ，y ，z 的值，从而求得x ＋y ＋z 的值．
解析：由柯西不等式可得(x ＋y ＋z )(1＋2＋3)≥(x ＋2y ＋3z ) ，即(x ＋2y ＋3z ) ≤14，
2
2
2
2
2
2
2
2
y z 1414
因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z 14，所以x ，解得x ＝，y ，
23147z 14314
，于是x ＋y ＋z ＝147
314
7三、解答题：
16．已知1－b ＋b 1－a ＝1，求a ＋b 的值． 解： 由柯西不等式，得
(a 1－b ＋1－a )
≤[a ＋(1－a )][(1－b ) ＋b ]＝1， 由1－b ＋1－a ＝1 因此柯西不等式中等号成立． 又当且仅当
2
2
2
2
2
2
2
b
1－a
2
1－b
a
2
时，上式取等号，
22
所以ab ＝1－a ·1－b ，a b ＝(1－a )(1－b ) ， 于是a ＋b ＝1.
17．已知a ，b ，c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值． 解析：由柯西不等式得：(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1＋
4c ＋1) ≤(1＋1＋1)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3×[4(a ＋b ＋c ) ＋3]＝21. 1
当且仅当a ＝b ＝c ＝
3
2
2
2
2
2
＋
2
22
2
∴4a ＋14b ＋1＋4c ＋1的最大值为21.
⎛1⎫2⎛12⎛12100＋
18．a 、b 、c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1，求证： a ＋⎪＋ b ＋＋ c ≥.
3⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭
12⎛12222⎡⎛证明：∵(1＋1＋1) ⎢ a ＋ b ＋
⎣⎝a ⎭⎝b ⎭
⎛c ＋12⎤≥⎡⎛a ＋1⎫＋⎛b ＋1⎫＋⎛c ＋1⎫⎤2＝⎡1＋⎛111⎫⎤2，
c ⎥⎢ a ⎪ b ⎪ c ⎪⎥⎢ a b c ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎝⎭⎦
⎝a b c ⎭
111⎫2
而(a ＋b ＋c ) ⎪≥(1＋1＋1) ＝9，
111
即≥9，
a b c
⎡⎛111⎤2
∴⎢1＋ ⎥≥100， ⎣
⎝a b c ⎭⎦
⎛12⎛12⎛1⎫2100∴ a ＋ b ＋＋ c ＋⎪≥3⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭
a 2b 2c 2
19．设a ，b ，c 为正数，求证：＋≥a ＋b ＋c .
b c a
证明：由柯西不等式得
b c ⎡⎛a 2⎛b 2⎛c 2⎤⎛a ⎫2222
⎢ ＋ ＋ ⎥[(b ) ＋c ) ＋a ) ]≥ b ＋c a ⎪，
c a ⎣⎝b ⎭⎝c ⎭⎝a ⎭⎦⎝b ⎭
⎛a b c ⎫2
于是 ⎪(a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c ) ，
⎝b c a ⎭
a 2b 2c 2
即＋＋≥a ＋b ＋c . b c a
20．设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证：a ＋b b ＋c ，c ＋a ；
2229＋＋. a ＋b b ＋c c ＋a a ＋b ＋c 1
1
222
a ＋b b ＋c
1
c ＋a
，则由柯西不等式得
(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a ) 即2(a ＋b ＋c ) 于是
⎛11＋1≥(1＋1＋1) 2，
⎝a ＋b b ＋c c ＋a ⎭
⎛111≥9，
⎝a ＋b b ＋c c ＋a ⎭
2229≥ a ＋b b ＋c c ＋a a ＋b ＋c
由柯西不等式知，①式中等号成立⇔
a ＋b
1
＝
b ＋c
1
c ＋a
1
⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .
a ＋b b ＋c c ＋a
因题设a ，b ，c 不全相等，故①式中等号不成立． 于是
2229>. a ＋b b ＋c c ＋a a ＋b ＋c
21．已知函数f (x ) ＝m －|x －2|，m ∈R，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m 的值；
111＋
(2)若a ，b ，c ∈R，且＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
a 2b 3c 解析：(1)因为f (x ＋2) ＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .
由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. 111
(2)由(1)＋＝1，
a 2b 3c 又a ，b ，c ∈R，由柯西不等式得：
111⎫2111⎛⎛a ·＋2b ＋3c ·a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c ) ＋≥ ⎪＝9，
⎝a 2b 3c ⎭⎝a 2b 3c ⎭即a ＋2b ＋3c ≥9.
＋