支路电流法

2-2

支路电流法

以支路电流作为未知量，根据KCL和KVL建立电路 方程组，然后求解所列的方程组解出各支路电流， 这种方法称为支路电流法。 电路节点数为n，支路数为b , 为求b个支路电流，必须有b个独立方程。 支路电流法求解的思路：

如图所示电路，设电源 和电阻的参数已知，用支路 电流法求各支路电流。 共有4个节点，6条支路， 1>. 对各支路、节点编号，并选 择各支路电流电压的参考方向。

①

R3 R2

I3

②

U s3

③ R6

U s1

R1

I2

R5

I4 R4 I5

I6

I1

④

2>. 根据基尔霍夫电流定律， 列出节点电流方程： 节点1：-I1-I2+I3=0 节点2：+I2+I4+I5=0 节点3： -I3-I4+I6=0 节点4： +I1-I5-I6=0

①

R3 R2

I3

②

U s3

③ R6

U s1

R1

I2

R5

I4 R4 I5

I6

I1

④

注意： 4个节点的电流方程和必然为0=0，说明4个方程彼此不独立， 只要任意删除一个节点方程，其余节点方程相互独立。

在用支路法计算时，只能列出( n-1)个独立节点的电流方程。

3>. 根据基尔霍夫电压定律，列 出回路电压方程：

①

R3 R2

I3

②

U s3

③ R6

建立回路电压方程时，要选择独 立回路。不然方程不彼此独立。 U s1

R1

I2

1

R5

I4 R4

2

I5 I1

④

I6

回路1：I1×R1－I2×R2＋I5×R5 = US1 回路2：I4×R4＋I6×R6－I5×R5 = 0

指定回路： I1×R1 －I2×R2 +I4×R4＋I6×R6= US1 回路1+回路2=指定回路 不独立

R3

I3

U s3

③ R6

选择三个网孔回路的绕行方向如 图中所示，列出回路电压方程：

①

R2 3 ②

U s1

R1

I2

1

R5

I4 R4

2

I5 I1

④

I6

回路1：I1×R1－I2×R2＋I5×R5= US1 回路2：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0 回路3：I3×R3－I4×R4＋I2×R2= -US3

4>. 由n-1个节点电流方程和b-n+1个独立电压方程构建共b个方 U s3 程，解出b个支路电流变量。 R3 I3 节点1：-I1-I2+I3=0 节点2：+I2+I4+I5=0 节点3： -I3-I4+I6=0

① R2 3 ② ③ R6

U s1

R1

I2

1

R5

I4 R4

2

I5 I1

④

I6

回路1：I1×R1－I2×R2＋I5×R5 = US1 回路2： I4×R4＋I6×R6－I5×R5 =0 回路3：I3×R3－I4×R4＋I2×R2 = -US3

由上面的六个方程可解出六条支路电流变量，从而 可进一步求相应的电压、功率等。

例1、 图示电路，US1=10V， US3=13V，R1=1  ，R2=3  ， R3=2，求各支路电流及电压源 的功率。 解：以支路电流为变量，选定各支 路电流参考方向如图示 节点1： －I1＋I2－I3=0 网孔1： I1 ×R1＋ I2 ×R2= US1 网孔2： I2 ×R2＋ I3×R3=US3 － I1 ＋ I2 － I3 =0 代入 I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3－13=0 数据得：

解得： I1 =1A I2 =3A I3 =2A (发出) (发出)

电压源US1的功率：PUS1=US1× I1 =10×1=10W 电压源US3的功率：PUS3=US3× I3 =13×2=26W

讨论：

1、当含有电流源支路 例2、图示电路，US=7V，R1=1  ， R2=3  ，IS=1A。求各支路电流及 U s 电流源的功率。 解：以支路电流为变量，选定各 支路电流

参考方向如图示 取网孔回路方向如图，列节点电 流方程和网孔1的电压方程如下 节点电流方程 网孔1电压方程 网孔2电压方程 I1 － I2 ＋Is = 0 －I1×R1－I2×R2=US I2×R2 =UIS

R1

I1

① I2

2

1

R2

IS

UIS +

实际上由于电流源支路的电流已知，电 路电流变量数减少一个，该网孔电压方 程无需列写。 节点电流方程 网孔1电压方程 代入数据得 I1 － I2 ＋Is=0 －I1×R1－I2×R2=US I1－I2＋1=0 －I1－3×I2=7 为求电流源两端电压： UIS =I 2×R2= -4.5V 电流源功率为 PIS= UIS ×IS= -4.5W (吸收功率) 解得 I1= -2.5A I2= -1.5A

UIS +

例3. 图示电路，US1=1V， US2=5V，IS2=2A，IS4=4A， R1=1  ，R3=3 ， R4=4，R5=5 ，求各支路 电流及电流源的功率。

Us1

①

I3 R3 ② IS2

R1

IS4

R4

R5

I1

Us2

I5

解：如图选择各支路电流参考方向，对独立节点列电流方程 节点1 ： －I1－IS2＋I3=0 节点2： －I3－IS4＋I5=0

电路中存在两条电流源支路，选取支路1，3为树支，则连支5 的单连支回路电压方程为 I5×R5＋I1×R1＋I3×R3= US1 代入数据得： －I1－2＋I3=0 －I3－4＋I5=0 5×I5＋I1＋3×I3 =1 解得 I1=－3.89A I3=－1.89A I5=2.11A

R1

Us1

①

I3 R3 ② IS2

IS4

R4

R5

I1

Us2

I5

电流源IS2、 IS4两端的电压UIS2、 UIS4为

UIS2=US1－R1×I1－US2=1－1×(－3.89)－5=－0.11V UIS4=R5×I5＋R4×IS4=5×2.11＋4×4=26.55V

电流源IS2、 IS4的功率为

PIS2= UIS2×IS2

=－0.22W (吸收功率）

R1

Us1 U Is2 Us2

①

I3 R3 ② IS2 U Is4

R4

IS4

R5

PIS4= UIS4×IS4

=106.2 W (发出功率）

I1

I5

2、含受控源情况 原则： ①将受控源当作独立电源， ②列写附加方程，用未知量（支路电 流）表示控制变量。

I1

U1

R1

①  U1

R2

Us1 1

I2 I3 例4. 图示电路，US1=1V，R1=1  ，R2=2  ，R3=3 ，=3，求 各支路电流。 解：电路中存在一个电压控制电压源（VCVS），选择电流参考 方向，列节点和网孔方程： 节点①： - I1 - I2 - I3=0 网孔1： I1×R1－I2×R2=US1 网孔2： I2×R2－I3×R3= - U1

2

R3

②列写附加方程，建立受控源控 制变量与支路电流之间的关系式 U1=－R1×I1 代入数据 I1＋I2＋I3=0 I1－2×I2－1=0 2×I2＋3×U1－3×I3=0 U1=－I1 解得 I1=1A，I2=0A，I3=－1A

I1

U1

R1

①  U1

R2

Us1 1

I2

2

R3

I3

小

结

1） 支路电流法是以支路电流为变量，对n-1个独立节点列KCL 方程（可得n-1个独立方程）， 对b-n+1个独立回路列KVL方程 （可得b-n+1个独立方程），共得b个线性方程，然后求解此方 程组，从而得到b个支路电流变量的求解方法。 2）如果电路中含有电流源，则先选树（尽量将电流源支路选 为连支），对不含电流源的基本回路，列写KVL方程。 3）如果存在受控源，先将受控源当作独立电源，然后列写附 加方程，建立受控源的控制变量与支路电流之间

的关系。

2=3 回路电流法

支路电流法直接应用KCL，KVL解电路，很直观，其电路方 程个数为支路数b ，但是当支路数很多时，必须建立b个方 程，求解工作量颇大。 回路电流法分析解决问题的出发点是：以基本回路电流 为未知量，建立独立方程求解。

推求用回路电流法求解电路的方程： 1）选择支路电流参考方向，选择 树，尽可能将电流源所在支路选为连 支，画出单连支回路。 2）如图所示，用基本回路电流来 表示各个支路电流：

IL2 IL1

IL3

I1=IL1， I2=IL2-IL1， I3=IL2 I4=IL1-IL2+IL3， I5 =IS5= IL3 ，I6=IL1+IL3

回路1：R1×I1-R2×I2 + R4×I4 + R6×I6= US1 回路2：R2×I2 +R3×I3-R4×I4= -US3 回路3： IL3 =IS5 代入KVL方程，并整理得到：

+ R2 + R4 + R6)IL1 –(R2 +R4)IL2 + (R4+R6) IL3= US1 回路2： –(R2 + R4) IL1+(R2 +R3 + R4)IL2 – R4 × IL3 = - US3 回路3： IL3 =IS5

基本回路电压方程可分为三部分： 第一部分：主回路电流在本回路电阻上 产生的压降。

回路1：(R1

IL2 IL1

IL3

第二部分：相邻回路电流在主回路电阻 上产生的压降。当相邻回路电流参考方 向与主回路电流参考方向在流经公共电 阻时一致，互电阻为正，反之为负。 第三部分：主回路电压源电压的代数 和，当电压源电动势方向与主回路绕行 方向一致时为正，反之为负。

R3

I3

U s3

自电阻：主回路上各个电阻之和

R2

IL2 I

2

I4 R 4

R6

U s1

互电阻：相邻回路与主回路之间 的 公共电阻之和

I6

IL1

R1

Is5 I1

IL3

( R1 + R2 回路1：

+R4+R6) IL1 –(R2+R4) IL2 + (R4+R6) × IL3 = US1

相邻回路电流×互电阻的代数和 = 主回路电压源电压的代数和

主回路电流×自电阻

回路2： –(R2 回路3：

+ R4 ) IL1+（R2 +R3 +R4）IL2 – R4× IL3 = - US3 IL3 =IS5

回路电流法的一般方程：

R11 I L1  R12 I L 2    R1h I Lh    R1l I Ll  U SL1 R21 I L1  R22 I L 2    R2 h I Lh    R2l I Ll  U SL 2 : : Rh1 I L1  Rh 2 I L 2    Rhh I Lh    Rhl I Ll  U SLh : : Rl1 I L1  Rl 2 I L 2    Rlh I Lh    Rll I Ll  U SLl

例1 已知R1=1  ，R2=2， R3=3  ，R4=4  ，IS5=6A， IS6=6A，用回路电流法求支路 电流I2 。

R1

I1 IS5 IS6 R2 IL3 I2

IL1

I4 R4

IL2

I3 R3

解：电路包含两个电流源，选支路1、3、4为树支，回路电流及 方向如图，此时只需列一个回路方程 IL1=IS5， IL2 = IS6 (R1＋R2＋R3)IL3－R1× IL1 ＋R3× IL2 = 0 代入数据解得 IL3 = －2A I2 = －2A

含受控源电路 例2 已知R1=R3=R4=R6=2 ， US4=US6=2V，IS2=1A，g=0.5 , 用回路电流法，求电流I1。

R1

U s6 IS2 I5

R3

U6

R6

g U6

I1 Us4

I4

R4

解：1) 对于含受控源的电路，先把受控源当作独立电源来处理。 该电路包含两个电流源支路（一个

独立源和一个受控源）， 选择支路3、4、6为树支。

U s6

U6

列回路电压方程如下 IL1 = IS2 IL2 = gU6

R1

IS2 I5

IL1

R6 R3

IL3 g U6

I1

IL2

U s4

I4

R4

(R1＋R4＋R6)IL3＋R6×IL1－R4×IL2 = US6－US4 2) 附加方程 U6 = －R6（ IL1＋IL3） 代入数据得：

6×IL3 ＋2×1＋2×0.5×2×（1＋ IL3）= 0

IL3 =－0.5A， I1 = -0.5A

小

结

1）选择树，以基本回路电流作为独立变量，列写b-n+1个基本回 路（单连支回路）KVL方程，先求出基本回路电流，然后再进一 步求取其他电路变量，这种方法称为回路电流法; 2）回路电流方程的一般形式为： 主基本回路电流×自电阻 ＋ 相邻基本回路电流×互电阻 = 主基本回路电压源电压的代数和 注：当相邻回路电流参考方向与主回路电流参考方向在流经公 共电阻时一致，互电阻为正，反之为负。

3）含受控源电路，先将其视作独立电源处理，然后列写附加方 程，建立控制变量与回路电流变量之间的关系。

2-4 网孔电流法

R3

I3

U s3

网孔电流法分析解决问题的 出发点是：对于电路中实际流 动的支路电流，看作一组假想 的网孔电流的叠加。

R1 R2

Im1

U s1

I2 I4 R 4 U s5

R6

Im2

I5 I1

Im3

R5

I6

如图所示，各支路中实际流动的支路电流I1~I6，现假设网孔中流 动的电流为Im1、 Im2 、 Im3，那么，可以用网孔电流来表示各个 支路电流： I1=Im2， I2=Im1－Im2， I3=Im1 I4=Im3-Im1， I5=Im2－Im3， I6=Im3

R

3

I3

U s3

推求用网孔电流法求解电路的方程： Im1 1）选定各网孔电流的参考方向； 2）根据KVL，列写各网孔回路的电 压方程；

R1 R2

I2 I4 R 4 U s5

R6

U s1

Im2

I5

Im3

R5

I6

网孔1：R2×I2 + R3 ×I3 - R4×I4 = - US3 I 1 网孔2： -R2×I2 +R5 × I5 + R1 ×I1 = US1 - US5 网孔3：R4 ×I4 + R6 ×I6 – R5 × I5 = US5 将I1=Im2， I2=Im1－Im2， I3=Im1， I4=Im3-Im1， I5=Im2－Im3， I6=Im3 代入上述网孔的KVL方程，并整理得到：

网孔1：(R2＋R3＋R4) Im1－R2×Im2－R4×Im3=－Us3 网孔2： －R2×Im1＋ (R1＋R2 ＋R5) Im2－R5 ×Im3=Us1－Us5 网孔3：－R4×Im1－ R5 ×Im2 ＋ (R4＋R5 ＋R6) Im3 =Us5

R

3

I3

U s3

网孔回路电压方程可分为三部分： 第一部分：主网孔电流乘以自电阻

Im1

R2

I2 I4 R 4 U s5

U s1

Im2

R1

Im3

I5

R5

第二部分：相邻网孔电流乘以互电阻。 当相邻网孔电流参考方向与主网孔电流 R在流经公共电阻时参考方向一致时，互 6 电阻为正，反之为负。

I6

I1

第三部分：主网孔回路中电压源电压的 代数和，当电压源电动势方向与主网孔 绕行方向一致时为正，反之为负。

R3

I3

U s3

Im1

R2

I2 I4 R 4 U s5

R5 R6

U s1

Im2

R1

Im3

I6

I5

网孔1：

I1

Im1 × (R2＋R3＋R4) －R2×Im2 －R4×Im3 =－Us3 主网孔电流×自电阻 相邻网孔电流×互电阻的代数和

= 主网孔电压源电压的代数和 网孔2： －

R2×Im1＋ (R1＋R2 ＋R5) Im2 － R5 ×Im3 =Us1－Us5 网孔3：－R4×Im1－ R5 ×Im2 ＋ (R4＋R5 ＋R6) Im3 =Us5

例 已知R2=2，R3=3  ，R4=4  ， R5=5 , R6=6 , ==2, US4=4V， 用网孔电流法求 I1 和I4 。

 U3

2

I1

U3

R3 R4

R2

 I5

1

R5 I5 R5

3

解：该电路包含受控源，取回路电 流及参考方向如图，列写各网孔电 流方程 Im1 = I5

I 4 U s4

(R2＋R3)Im2＋R2×Im1－R3×Im3 = －U3 (R3＋R4＋R5)Im3＋R5×Im1－R3×Im2 = US4

列附加方程，把控制变量U3 和 I5 用网孔电流来表示 U3 = R3(Im3－Im2) I5 = Im1＋Im3 代入数据得 Im1 = 2I5 5×Im2＋2×Im1－3×Im3 = －2U3 12×Im3＋5×Im1－3×Im2 = 4 U3 = 3× (Im3－Im2) I5 = Im1＋Im3

 U3

I1

2

U3

R3 R4

R2

 I5

1

R5 I5 R5

3

I 4 U s4

解得 Im2 = －0.8 A， Im3 = 0.8A，Im1 = －1.6A I1 = Im2 = －0.8 A， I4 = Im3 = 0.8A

小 结

以网孔电流作为独立变量，列写b-n+1个网孔回路的KVL方 程，先求出网孔电流，然后再进一步求取其他电路变量，这 种方法称为网孔电流法。 网孔电压方程的一般形式为： 主网孔电流×自电阻 ＋ 相邻网孔电流×互电阻 = 主网孔电压源电压的代数和 注 ：当相邻网孔电流参考方向与主网孔电流参考方向在流经 公共电阻时一致，互电阻为正，反之为负。 含受控源电路，先其视作独立电源处理，然后列写附加方 程，建立控制变量与网孔电流变量之间的关系。

The end