函数的和.差.积.商的求导法则
一、授课题目:函数的和、差、积、商的求导法则
二、目的要求
教学目的:介绍函数的和、差、积、商的求导法则。
教学要求:要求学生熟练掌握函数的求导法则,能运用求导法则进行函数导数的计算及解决实际问题。
三、重点、难点
教学重点:理解掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
教学难点:函数的求导法则的证明。
四、授课内容
函数的和、差、积、商的求导法则
定理1. 如果函数u =u (x ) 及v =v (x ) 都在点x 具有导数,那么u (x ) 及v (x ) 的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 可导,且
(1)[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x )
(2)[u (x ) v (x )]'=u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x )
⎡u (x ) ⎤'u '(x ) v (x ) -u (x ) v '(x ) =(3)⎢⎥2v (x ) v (x ) ⎣⎦
(1)[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x )
证:设f (x ) =u (x ) ±v (x ) ,则 (v (x ) ≠0) 下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题。
f '(x ) =lim
=lim ∆x →0f (x +∆x ) -f (x ) ∆x [u (x +∆x ) ±v (x +∆x )]-[u (x ) ±v (x )] ∆x →0∆x
[u (x +∆x ) -u (x )]±[v (x +∆x ) -v (x )]=lim ∆x →0∆x
=lim u (x +∆x ) -u (x ) v (x +∆x ) -v (x ) ±lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x
=u '(x ) ±v '(x )
故结论成立。
此法则可推广到任意有限项的情形。例如
[u (x ) +v (x ) -w (x )]'=u '(x ) +v '(x ) -w '(x ) .
(2)[u (x ) v (x )]'=u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x )
证:设f (x ) =u (x ) v (x ) ,则
f '(x ) =lim
=lim ∆x →0f (x +∆x ) -f (x ) ∆x u (x +∆x ) v (x +∆x ) -u (x ) v (x ) ∆x →0∆x
[u (x +∆x ) -u (x )]v (v (x +∆x )) +u (x )[v (x +∆x ) -v (x )]=lim ∆x →0∆x
=lim[∆x →0u (x +∆x ) -u (x ) v (x +∆x ) -v (x ) v (x +∆x )]+lim[u (x ) ] ∆x →0∆x ∆x
因为v '(x ) 存在,所以v (x ) 在点x 连续,故
f '(x ) =lim u (x +∆x ) -u (x ) v (x +∆x ) -v (x ) lim v (x +∆x ) +u (x ) lim ∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x =u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x ) .
故结论成立。
推论:1)[Cu (x )]'=Cu '(x ) (C 为常数).
2)[u (x ) v (x ) w (x )]'=u '(x ) v (x ) w (x ) +u (x ) v '(x ) w (x ) +u (x ) v (x ) w '(x ) 例1.
设y =x 3-4cos x -sin1) ,求y '及y '
3x =1.
解:y '='(x -4cos x -sin1) +x 3-4cos x -
sin1) '
y =
y '
x 3-4cos x -sin1) +x 2+4sin x ) 1=(1-4cos1-sin1) +(3+4sin1) x =12
=77+sin1-2cos1 22
⎛u (x ) ⎫'u '(x ) v (x ) -u (x ) v '(x ) =(3) ⎪2v (x ) ⎝v (x ) ⎭
证:设f (x ) =u (x ) ,则 v (x )
u (x +∆x ) u (x ) -f (x +∆x ) -f (x ) v (x +∆x ) v (x ) f '(x ) =lim =lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x
u (x +∆x ) -u (x ) v (x +∆x ) -v (x ) v (x ) -u (x ) =lim ∆x →0v (x +∆x ) v (x )
u '(x ) v (x ) -u (x ) v '(x ) =2v (x )
故结论成立。 ⎛C ⎫'-C =推论: (C 为常数). ⎪2⎝v (x ) ⎭v (x )
例2. 求证(tanx ) '=sec x ,
证:略
2(cscx ) '=-csc x cot x .
五、授课小结
1. 介绍了函数的和、差、积、商的求导法则及其应用。
2. 要求学生熟练掌握函数的求导法则,能运用求导法则进行函数导数的计算及解决实际问题。
六、布置作业
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