初二动点问题练习(答案)[1]
动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形
. 8
2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN的最小值为 5
，∠B =60°，BC =2．点O 是AC 的中点，过点O 的直3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°
线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线
l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．
（1）①当α
②当α
= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ； =度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.
∵∠α=∠ACB=90，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600, BC =2, ∴∠A =300.
1AC
2∴AB =4,AC
∴AO =. 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.
∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形
（备用图）
4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.
M C C
D 图1 图3
N 图2
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明
.
A
B B
解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 解：（1）正确．
证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连接ME ． A ∴BM =BE ．∴∠BME =45°，∴∠AME =135°．
CF 是外角平分线，∴∠DCF =45°，∴∠ECF =135°．
D
F
G
E C 图1
D
G
D
F
∴∠AME =∠ECF ． E C ∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°，
． ∴AE =EF ． ∴∠BAE =∠CEF ． ∴△AME ≌△BCF （ASA ）
（2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN =CE ，连接NE ． ∴BN =BE ． ∴∠N =∠PCE =45°． N 四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BE ． ∴∠DAE =∠BEA ． ∴∠NAE =∠CEF ．
A
D
F
E C 图2
D
G
C E G
图3
6、如图, 射线MB 上,MB=9,A是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3, 动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值
∴△ANE ≌△ECF （ASA ）． ∴AE =EF ．
C E G
E 是AB 的中点，7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB =4，BC =6，
∠B =60︒. 求：（1）求点E 到BC 的距离；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP =x .
M N ①当点N 在线段AD 上时（如图2），△P
理由；
的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由
D N
D D
N F F F
B
C
B
C B
C
图1 M
M 图2
图3
A D （第25题） D
F F B
C
B
C
图4（备用）
图5（备用）
BE =
1
解（1）如图1，过点E 作EG ⊥BC 于点G ． ∵E 为AB 的中点， ∴
2AB =2．
在Rt △EBG 中，∠B =60︒， ∴∠BEG =30︒．BG =
1
2BE =1，EG ==
∴
即点E 到BC
的距离为
A D （2）①当点N 在线段AD 上运动时，△PMN 的形状不发生改变．
∵PM ⊥EF ，EG ⊥EF ， ∴PM ∥EG ． F ∵EF ∥BC ， ∴EP =
GM ，PM =EG = 同理MN =AB =4． B
C
如图2，过点P 作PH ⊥MN 于H ，∵MN ∥AB ，
G
图1 A N
∴∠NMC =∠B =60︒，∠PMH =30︒．D
∴PH =12PM = F
∴MH =PM cos30︒=32．则NH =MN -MH =4-3=5
．
22
H
B G C
在Rt △
PNH 中，PN == 图2
∴△PMN 的周长
=PM +PN +MN =4．
②当点N 在线段DC 上运动时，△PMN 的形状发生改变，但△MNC 恒为等边三角形． 当PM =PN 时，如图3，作PR ⊥MN 于R ，则MR =NR ．
3
∵△MNC 是等边三角形，∴MC =MN =3． ．∴MN =2MR =3．
2
此时，x =EP =GM =BC -BG -MC =6-1-3=2．
类似①，MR =
A B
G
M 图3
C
B
G
图4
M
D N F
A
P D F N C
B
A D
F （P ） N
C
G
图5
M
当MP =MN 时，如图4
，这时MC =MN =MP
此时，x =EP =GM =6-1=5当NP =NM 时，如图5，∠NPM =∠PMN =30︒．又∠MNC =60︒， 则∠PMN =120︒，
∴∠PNM +∠MNC =180︒． 因此点P 与F 重合，△PMC 为直角三角形．
．∴MC =PM tan 30︒=1 此时，x =EP =GM =6-1-1=4．综上所述，当x =2或4
或5时，△PMN 为等腰三角形．
8、如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点．
(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动 ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵t =1秒， ∴BP =CQ =3⨯1=3厘米， ∵AB =10厘米，点D 为AB 的中点， ∴BD =5厘米．
又∵PC =BC -BP ，BC =8厘米， ∴PC =8-3=5厘米， ∴PC =BD ． 又∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△BPD ≌△CQP ． ②∵
(v P ≠v Q
， ∴BP ≠CQ ， 又∵△BPD ≌△CQP ，∠B =∠C ，则BP =PC =4，CQ =BD =5，
∴点P ，点
Q 运动的时间
t =
BP 4
=33秒， ∴
v Q =
CQ 515
==44t
3厘米/秒。
8015
x =x =3x +2⨯10
Q 3秒．
（2）设经过x 秒后点P 与点第一次相遇， 由题意，得4，解得
80
⨯3=803P ∴点共运动了厘米． ∵80=2⨯28+24，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， 80
∴经过3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°， ∠BAE +∠EAC =60°，∠FAC +∠EAC =60°， ∴∠BAE =∠FAC 。
∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF =60°，AC =AB 。∴∠ABE =∠AFC 。
∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠F AC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE =CF 。
（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △AC F 。
∴S 四边形AEC F =S △AEC +S △AC F =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。 作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，
S 11
四边形AECF =S ∆ABC =⋅BC ⋅AH =BC 22
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，
最短．
故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．
∴S △CEF =S 四边形AEC F ﹣S △
AEF
=1
2
⋅
边AE
∴△CEF
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC =AB ，从而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE =CF 。
（2）由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S
四边形AEC
F =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △AB E =S △ABC 即可得四边形
AECF 的面积是定值。当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据S △CEF =S 四边形AECF －S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大。
10、如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C 为OB 上一点，射线CD ⊥OB 交AB 于点D ，OC=2．点P 从点A 出发以每秒个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，得到矩形PEOF ．以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边MN ∥OB ，且MN=QC．设运动时间为t （单位：秒）． （1）求t=1时FC 的长度． （2）求MN=PF时t 的值． （3）当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式． （4）直接写出△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．