基于分形理论的信号特征提取及应用

第23卷　第1期1999年2月

武汉交通科技大学学报

Jou rnal of W uhan T ran spo rtati on U n iversity

V o l . 23　N o. 1Feb . 1999

基于分形理论的信号特征提取及应用

α

杨　杰　林良明

(上海交通大学电子信息学院　上海　200030)

摘要:分形几何学正吸引着人们对自然界不规则、极复杂的问题寻求其新的方法. 本文是将分形理论应用于分析雷达信号的分形特征及基于分形的分维影像纹理对航空遥感图像的分割作一定的探讨.

关键词:分形; 多重分形; 分形曲面; 图像分割中图法分类号:T P 274123

0　引　　言

分支, , . 分形几, 是更接近现实世界的数学. 分形几何由数学家B B M andel 2

. 但早在1919年, b ro t 在70年代中期所创立

F . H au sdo rff 就奠定了它的思想基础, 而现在所称的分形理论, 则融入了许多非线性科学的内容, 吸收了相邻学科的最新成果, 如重正群化技术和符号动力学等.

分形具有非线性变换下的不变性, 但我们首先研究的是在线性变换下不变的自相似性. 所谓自相似性, 就是局部与整体的自相似性. 从数学的观点看, 分形是H au sdo rff 维数严格大于拓扑维数的集合, 它具有伸缩对称性或膨胀对称性的几何对象. 或者说, 如果一个形体, 它的组成部分以某种方式与整体相似就称为分形. 其中心内容是指不规则几何体在动力学演化过程中, 在一定的标度尺度范围内, 相应的测度不随尺度的改变而变化[1].

长期以来, 为了了解雷达杂波的散射特性, 人们都是把雷达杂波信号看成是一个随机过程, 采用统计分析方法来研究. 实际上这种方法提取的

α　收稿日期:19981124

　　　　杨　杰:女, 38岁, 博士生, 副教授

, 如地、, 并. 正如an (1990) 所提到的那样, 分形对于改进在空间与光谱方面复杂的遥感图像分析具有很大的潜力. 航空遥感数据的分形维数能够对于空间复杂性与在这些数据的信息量进行定量分析, 由雷达遥感数据得出的分形维数能够更好地理解影像数据中的空间相互关系. 基于以上原因, 本文分析了雷达信号的分形特征, 同时基于分形分维的影像纹理特征对航空遥感图像进行图像分割.

1　分形中的基本理论

111　分形的定义和性质

B B M andelb ro t 曾指出, H au sdo rff B esicov 2. 但itch 维数严格大于拓扑维数的集合称为分形

这仅是试验性的定义, 很不严格, 也无可操作性. 而后B B M andelb ro t 修改了这个尝试性的定义“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形”. 目前还没有一个确切的定义.

分形是一些简单空间上一些“复杂”的点的集合, 这种集合具有某些特殊性质, 首先分形是所在空间的紧子集, 并具有下述典型的几何性质:

1) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节, 或者说它具有精细的结构;

　第1期

杨　杰等:基于分形理论的信号特征提取及应用・47・

=D (q )

q -1ln L

(4)

2) 分形集不能用传统的几何语言来描述, 它

既不满足某些条件的点的轨迹, 也不是某些简单方程的解集;

3) 分形集具有某种自相似的形式, 可能是近似的自相似或者统计的自相似;

4) 一般分形集的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数. 112　多重分形

D q =li m

L →0

从式(4) 可以看出, 具有不同标度指数的子集, 通过q 值的改变得以区分开来. 多重分形一般用分

) ～Α来描述, 这两套参数间的形谱D q ～q 或f (Α

联系为

) ](5) D q =[q Α-f (Α

q -1

) , 则可求出D q . 由由式(5) , 若已知Α及其谱f (Α

式(3) 及式(4) 可知, 若实验测出P i , 也可求出D q , 从而Α可由下式确定

(6) Α(q ) =() [(q -1) D q ]

d q

所以若已知其中一套参量, 则可求出另一套参量. 113　分形曲线与分形曲面

常见的分形曲线有曲线, Peano 曲线, r 集in 、地毯, 海棉, 如海岸线、河、闪电等等. 分形曲面也普, 如山脉、地形、岩石、云团等. 分形曲面中的一种很重要的模型是分形布朗曲面(FBM 曲面) , 它是布朗运动的拓广, 又是理想的不规则扩散和分形随机行走的基础. 布朗运动图形具有标度不变性. 分形布朗曲面的研究为许多自然景物的建模与绘制提供了数学模型, 可用于模拟、描述自然界中山脉、云层、地形、地貌及各种星球表面的不规则形状, 其标度特征可仅由H 指数和维数D 来表征.

A P Pen tland 证明了大多数的自然景物的表面所映射成的灰度图像满足各向同性的分数布朗随机场模型, 并且将它作为自然景物图像分析与综合的一种模型. 1984年, 他将随机分形模型——分数布朗运动模型, 用于自然纹理的描述, 将一维的分数布朗运动各向同性推广到二维, 得到各向同性的分数布朗随机场(F racti onal B row n i 2an R andom F ield 简记为RBR F ) 模型, 并且比较

分形中的维数常常用来表示分形集的不规则程度, 从测度的角度将维数从整数扩大到分数, 突破了一般拓扑集维数为整数的界限, 并有多种定义和计算方法. 常用的有H au sdo rff 维数、盒子维数、关联维数、信息维数以及广义维数等.

要准确地反映千姿百态的分形及其丰富的多彩的特征, 仅用单一的、取决于整体特征的标度指数(即分维) 是不够的. 于是人们提出了多重分形(m u ltifractals ) 的概念, 即分形测度(也称多分形、复分形及多标度分形) , 它描述的是复杂分形在生

长过程中不同层次的特征, 参量来表示, . , (奇) 所组成的集合. 它刻划的是分形测度(或物理量) 在支集上的分布情况, 即用一个谱函数来描述分形不同层次的特征. 这种从形体的部分(小尺度) 出发, 研究其最终整体(大尺度) 特征正是受到了这一类比的启发[2].

多重分形描述的是分形几何在生长过程中的不同层次和特征. 把所研究的对象分为N 个小区间, 设第i 个区域线度大小为L i , 分形体生长界面小区域的生长几率为P i , 不同小区域生长几率不同, 可用不同标度指数Α. i 来表示

Α

P i =L i i 　　(i =1, 2, …, N ) 若线度L i 的大小趋于零, 则式(1) 化为

Α=li m

L →0

(1)

ln L

(2)

全面地论述了基于分形的自然纹理分析与描述的理论基础.

定义1　设I (x ) 是一个随机函数, ∃x 是x 的一个增量, 如果对所有的x 和∃x 都满足:

P r (

‖∃x ‖H

则称I (x ) 为分数布朗函数. 式中F (y ) 为零均值高斯随机变量的分布函数; P r (. ) 为概率分布; ‖・‖为范数; H 为分形参数; 如果x 为二维矢量; 则I (x ) 称为分数布朗随机场.

式(2) 表明, Α表征分形体某一区域的分维. 由于小区域数目很大, 于是可得到一个由不同Α所组

) , Α和f (Α) 是描述多成的无穷序列构成的谱f (Α

重分形的一套参量. 也可把式(1) 两边乘q 次方并取和得

N

N

q i

∑P

i =1

=

∑(L

i =l

i

) Αi q =X (q )

(3)

q 次信息维D q (广义维) 定义为

・48・武汉交通科技大学学报1998年　第23卷

对于分数布朗运动, 分形参数H 值与分形维数具有如下关系:

(7) D =D T +1-H 式中D T 为拓扑维.

定义2　设x 为二维矢量, 连续随机函数I (x ) 在某个尺度范围[‖∃x m in ‖, ‖∃x m ax ‖]内满足分数布朗函数的定义, 则称连续随机函数I (x ) 是一个分数布朗表面(F racti onal B row n ian Su r 2face ) .

高, 可以初略考虑进行目标识别

.

图2　杂波信号

定义3　如果一个表面的所有表面方向N 的

各个分量(N x , N y , N z ) 都具有相同分形维数的分数布朗函数, 则称这个表面是空间上各向同性的分数布朗表面.

Pen tland 对自然景物纹理图像进行了大量的实验, 发现有92%的纹理图像在局部区域里较好地满足分数布朗随机的统计特性, 然而随着尺度的增大, 统计特性不能很好地满足分数布朗随机场. 因此, 大多数的自然纹理在一个有限的尺度范围内具有分形特性, . 同时, A . P . Pen tland , [3].

212　基于分形的航空遥感影像的图像分割

图像分割方法已有很多种, 但它们都存在不同的弱点. 例如, 特征参数门限法由于其没有涉及空间信息, 通常是无效的. 边缘检测法, 大都是以原始图像为基础, 求图像中每个像素领域内的灰度变化, , 从而造成对噪, , 这种方法经. , 同时也可检测出丰富的图像细节. 用分形理论进行图像分割的原理是利用图像的分形维数进行分割. 由于分形维数直观上与物体表面的粗糙度相吻合, 而自然界中的不同纹理粗糙度有很大差别. 因此, 可以以分形维数作为区分不同类别纹理的有效参数. 特别是在区分自然场景中的人造物存在自相似性. 所以, 由人造物体和自然界景物的分形维数不同, 便可将两者分割出来.

. H 参数可以由频域或空域中的估计而得到

2211　雷达信号的分形特性

杂波目标的检测是军用雷达的一个最基本的

任务. 如何从杂波(包括噪声) 中高性能地检测出目标, 一直都是雷达界孜孜以求的目标. 对杂波特性的研究传统方法常用某一区域平均雷达截面积(RCS ) 、时域中幅度分布函数、功率谱密度函数等. 这里我们尝试一种新的方法, 即分形来描述雷达信号的分形特性

.

在频域中根据P (f ) =cf -2H -1. 式中c 为常数, 两端取对数得

lg P (f ) =(-2H -1) lg f +lg c 再由线性最小二乘拟合法拟合数据点对{lg P (f ) , lg f },则由拟合直线的斜率可得H 参数的估计.

在空域中, 若设B H (x ) 为分数布朗随机场, 则有:

lg E [ B H (x +∃x ) -B H (x ) ]=

H lg ‖∃x ‖+lg c

式中c =E [ B H (x +1) -B H (x ) ],采用线性最小二乘拟合法可估计分形参数H .

图1　杂波和目标信号

图3是4种不同自然纹理拼成的图像. 采用以上方法求出分形参数H , 得到一个分维空间, 在此空间中, 用模糊C 2均值聚类, 即可得到分割的图像, 如图4. 实验中, 选择的窗口为7×7, 窗口移动的步长为1. 求出的4个不同区域的平均分

实验结果如图、图2所示. 我们看到杂波与目标同时存在雷达信号与纯雷达杂波信号的多重分形曲线是不一样的. 前者的多重分形广义维数特征曲线明显高于后者. 反映了前者的复杂程度更

　第1期

杨　杰等:基于分形理论的信号特征提取及应用・49・

数维分别为(从左向右, 从上向下) :017371, 013466, 014705, 015540, 分割的结果与实际情况一致

.

且分形参数H 值反映了该灰度图像表面的统计

特性, 分形参数H 值可由该像素领域灰度图像绝对矩的性质或功率谱的性质采用线性最小二乘拟合的方法而求出, 并且有0

参考文献

1　王东升, 曹磊. 混沌、分形及其应用. 合肥:中国科学技

术大学出版社, 1995. 93～155

图3　航空遥感图像　　　　图4　分形特征分割结果

2　H iguch i T . A pp roach to irregular ti m e series on the

basis of the fractal theo ry physica (D ) . 1988, 31:277

由于自然景物的灰度图像在局部(或小尺度)

范围内是满足FBR F 模型的, 因此若考虑某一像素的领域, 我们总能找到一个满足分数布朗随机场的曲面来拟合该像素领域的灰度图像表面, 并

～283

3　Keller J M . T exture descri p ti on and segm entati on

th rough fractal geom etry , computer visi on , Graph ics ,

～166and I m age P rocessing , 1989, 150

Featu re Ex tracti on and A pp on F ry

ie L i ng L i ang m i ng

(S chool of or m tion T echnology , S hang ha i J iaotong V n iversity , S hang ha i 200030)

A b stract

T he fractal geom try attracts greatly peop le to p robe in to new m ethod to so lve irregu lar and com 2p lex p rob lem s in natu re . It u ses fractal theo ry to analyse radar signals and to segm en t i m age of rem o te sen sing i m age of aviati on .

Key words :fractal ; m u ltifractal ; fractal cu rved su rface ; i m age segm en tati on