乘法分配律和结合律在乘法计算中的巧妙应用--李润楚

附件1

温州市小学生数学小课题研究方案

学校名称 乐清市虹桥镇第三小学

温州市第四届“小数学家”评选参赛小课题 课题名称：《乘法分配律和结合律在乘法计算中的巧妙应用 》 课题负责人：李润泽 成员：李润楚

学 校： 乐清市虹桥镇第三小学

年 级： 六 （5） 班

指 导 教 师： 联 系 电 话：

2015 年 11

月

《乘法分配律和结合律在乘法计算中的巧妙应用》

一、问题提出

今年春节,我们去西安的太爷爷家过年。一次陪姑妈还有表哥去市场采购年货，在结账时我很快就计算出结果，引得众人称赞。姑妈问我为何计算速度如此快，我说只是把乘法分配律和结合律进行一些变化，就可以快速地进行技术了，姑妈夸我爱动脑筋，并要求我教会表哥，做了一回“小老师”，心里确实得意了一番。现与大家一起分享。

二、研究方法

观察法、计算法、列表法、举例验证法

三、研究过程

1、初步研究--任意个位数与两位数和三位数的乘法计算 大家都知道，这种乘法较简单，可是使用不同的方法计算速度差距还是很大的。在平常的作业和练习当中我们经常会遇到。例如： 3 7 × 8这个题按照正常列算式为： 3 7

× 8

5 6

2 4

2 9 6

如果使用乘法分配律公式（A+B）×C=A×C+B×C (公式1) ， 所以37 ×8分解成（30+7）×8=30 ×8+7×8=296，这样就变简单了（相当于个位数的乘法），速度就快上不少了。可能大家还感觉不出来，毕竟题目简单。那我们就再来一个例题：

3 9 7 9 2 5

× 7 × 8

4 9 4 0

6 3 1 6

2 1 7 2

2 7 7 9 7 4 0 0

如果使用乘法分配律来计算：397×7=（400-3）×7=400×7-3×7=2779；925×8=（900+25）×8=7，200+200=7，400。把看起来很复杂的数简单化（397变为400-3，925变为900+25），灵活的运用公式对数字进行拆分加减，凑成整数。这样效果逐渐明显起来了吧。为此我和哥哥采用两种方法计算同样的30道练习题目，采用普通方法分别用时12分25秒和12分33秒，而使用乘法分配律来计算，分别用时9分18秒和9分42秒。如果在考试中会节省不少时间。嘿嘿，效果不错吧！继续，好戏在后头。

2 、进一步研究—两位数与两为数的乘法计算

还是从实际例题出发，看看下面两道例题：

8 3 9 6

× 7 9 × 9 6

7 4 7 5 7 6

5 8 1 8 6 4

6 5 5 7 9 2 1 6

再看看，这两例题还是可以采用上一个公式（A+B）×C=A×C+B×C，83×79=83×（80-1）=83.×80-83 ×1=6，640-83=6，557；

96×96=（100-4）×96=100×96-4×96=9，600-384=9，216

3、深入研究—两位数与三位数的乘法计算

对于两位数与三位数的乘法计算，我们可根据具体的题目，大致分成两类：

A):两位数或三位数是可以分解的；如637×56

637×56=637×8×7=5，096×7=35,672

只需要把56分解成8×7，就变化为个位数与三位数和个位数与四位数的乘法计算。归结公式为分配律：B=C×D,则A×B=A×C×D (公式 2)。

B): 两位数与三位数都不可以分解；如721×37

7 2 1（720+1）

× 3 7

720×37=8×9×37×10=26,640( 把720看作8×9×10)

1 ×37= + 37

26,677

还是很简单吧，比前面计算只是增加一步简单的运算。

4、初步研究——对于两位数的平方数计算

下面这个代数式可以证明我们的做法是合理正确的。对于任意数A和d,常常使用下面公式（分配律）：

A²=（A+d）×（A-d）+d² (公式 3)

在这里，A是被平方的数，d可以是任意数（一般小于5），对于例题77²，我们令d=3,根据上述公式，77²=（77+3）×（77-3）+3²=80 ×74+3²=5，929.我们还可以将乘法分配律/结合律公式作出如下变动：

（z+d）²=z²+2zd+d²=z(z+2d)+ d² (公式4)

如我们计算41²时候，令z =40，d=1，使用(公式4)就可以得到：

41²=（40+1）²=40 ×（40+2）+1²=1，681

同理：（z-d）²=z²-2zd+d²=z(z-2d)+ d² （公式5)

例如计算77²时，令z =80，d=3时，使用(公式5)就可以得到： 77²=（80-3）²=80×(80-2×3)+3²=80×74+9=5，929

从上面例题可看出，观察数字与10的整倍数差值，可以就近取上整数或取下整数，灵活运用公式进行一些变化，将会给我们的计算带来很大的简化。

5、再一步研究—三位数平方的计算

三位数的平方计算按照正常方法就有点难度了（对于小学生来说），如同两位数平方时与10的倍数就近取上或取下的原则一样，在计算三位数的平方时，换成与100的倍数就近取上或取下。例如：求193² 193²=37，200+7²=37,249

采用取上200和取下186的方法，我们把一道复杂的三位数与三位数相乘的数学题简化成了相当简单的三位数与一位数相乘的数学题，当然我们也会碰到后两位数与100的差越大，计算难度就越大。例如，求539² 539²×=289,000+39²= 290521

39²×=1,520+1²=1521

39-1=38

这个题连续两次运用公式，将复杂的数字逐步简化。是否觉得自己越来越棒！再来一个更大的数字看看，例如，求987²，看起来很难，但计算却很容易：

987+13）987²×²=974,169

987-13）=160+3²=169 哇塞！原来并不难，记得给自己一个奖赏。如果你能熟练记得11-20的平方数如下列表，这会进一步提高你的计算速度。

6、深入研究——两位数立方的计算

我们一样根据乘法分配律公式进行变化，得到如下公式:

A³= (A-d) A(A+d)+ d²A （公式 6）

在这个公式中，d是任意数，同计算两位数的平方一样，d是与10的倍数最近的那个数。(A-d)和(A+d)中一个变化为10的倍数，另外两个数也很接近，我们经常使用这个公式进步简化： (z+a)×(z+b)=z²+za+zb+ab=z(z+a+b)+ab （公式 7）

a、 b为任意数；

例如计算49³时，取A =49,d=1，从而使其向上取整为50(A+d=50)：

49³=（48×49×50）+（1×49）=((50×47)+(1×2))×50+49=117,649 在上式中，带下划线运用（公式 6），带波浪线运用（公式 7），取z=47,a=1,b=2 将48×49=（47+1）×(47+2)=47×(47+1+2) + 1×2=(50×47)+2,是不是变得简单快速，一些心算能力稍强的可以不用稿子直接计算出结果来！再来计算一个更大的数字如92³：

92³=（90×92×94）+（2²×92）=90×(90×96+2×4)+4×92=778,320+368=778,688

在计算92×94是我们可以采用两种快速方法，其一是用（公式 7）,将 92×94=（90+2）×(90+4)=90×(90+2+4) + 2×4=(90×96)+8=8648； 其二是用（公式 2），将

92×94=（93-1）×（93+1）=93²-1²=90 ×96+3²-1=(90×96)+8=8648； 是不是感觉变得容易了，呵呵，这说明我们的计算能力在提高。值得高兴哦！暂时就到这里吧，还有很多巧妙的方法等待我们去发现。

四 研究感悟

在平时的计算和研究中，我把数学看作是一件非常有趣的事情，充分利用一些法则进行变化，举一反三就会收到意想不到的效果。当然也付出很多的时间和精力。总的来说，数学需要实践和练习，也需要你切实为此付出努力，同时也会让你感觉数学世界是如此奇妙无穷！