材料力学第五章
第5章 弯曲应力
思考题
5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?
答 不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。
5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q 作用,若梁的长度增加一倍,则其最大正应力是原来的几倍?若截面宽度缩小一倍,高度增加一倍,则最大正应力是原来的几倍?
答 若梁的长度增加一倍,则其最大正应力是原来的4倍;
若截面宽度缩小一倍,高度增加一倍,则最大正应力是原来的1/2倍。
5-3 由钢和木胶合而成的组合梁,处于纯弯状态,如图。设钢木之间胶合牢固不会错动,已知弹性模量E s
>E w ,则该梁沿高度方向正应力分布为图a ,b ,c ,d 中哪一种。
思考题5-3图
答 (b)
5-4 受力相同的两根梁,截面分别如图,图a 中的截面由两矩形截面并列而成(未粘接),图b 中的截面由两矩形截面上下叠合而成(未粘接)。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理?
思考题5-4图
答 (a)
5-5从弯曲正应力强度考虑,对不同形状的截面,可以用比值理性和经济性。比值请从
W
来衡量截面形状的合A
W
较大,则截面的形状就较经济合理。图示3种截面的高度均为h ,A
W
的角度考虑哪种截面形状更经济合理? A
思考题5-5图
答 (c)
5-6 受力相同的梁,其横截面可能有图示4种形式。若各图中阴影部分面积相同,中空
部分的面积也相同,则哪种截面形式更合理?
思考题5-6图
答 (b)(从强度考虑,(b),(c)差不多,从工艺考虑,(b)简单些)
*F S S z
5-7 弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定?
I z b
答 F S 为整个横截面上剪力;I z 为整个横截面对中性轴的惯性矩;b 为所求切应力所
在位置横截面的宽度;S z 为横截面上距中性轴为y (所求切应力所在位置)的横线以下面积(或以上面积)对中性轴静矩的绝对值。
5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时,怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形? 答使梁承受的横向力过弯曲中心,并与形心主惯性轴平行。
*
习 题
5-1 钢丝的弹性模量E =200GPa 。比例极限σp =200MPa ,将钢丝绕在直径为2 m 的卷筒上如图,要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限,则钢丝的最大直径为多大?
解 由卷筒直径得钢丝曲率半径 ρ=1m
d
Ed y
≤σp σ=E ε=E ⋅=E =
ρρ2ρ
2ρσp 2×1×200×106
d ≤==2×10−3m =2mm 9
E 200×10
d max =2mm
5-2 两根简支梁受力相同,横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面面积相等,且
d 23
=。试计算它们的最大正应力之比。
D 25
解
σ1max =
M max M max M max
,σ===2max 3
3W 2W 1πD 1
πD 2
3232
M max
4
⎡⎛d ⎞⎤
2
⎢1−⎜⎜D ⎟⎟⎥⎢⎣⎝2⎠⎥⎦
43⎡⎛d 2⎞⎤πD 2
⎟⎢1−⎜⎥⎜⎟32⎢⎝D 2⎠⎥σ1max ⎣⎦ (a )
=3
σ2max πD 1
32
3
由 A 1=A 2,d 2D 2=得
5
πD 12π22
=D 2−d 2 44
⎡⎛d ⎞2⎤⎛4⎞2
22222
D 1=D 2−d 2=D 2⎢1−⎜⎜D ⎟⎟⎥=⎜5D 2⎟
⎠⎢⎦⎝⎣⎝2⎠⎥
()
D 1=
4D 2 5
代入式(a )得
σ1max D 12+d 2217
== σ2max D 1+D 210
5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面,载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图,并求轴内的最大正应力。
(a)
(b)
解 ∑M A =0,F B =7. 64kN ↑ ∑F y =0,F A
作弯矩图(b ),危险截面分别为C ,B ,且 M C =1344N ⋅m ,M B =900N ⋅m
()=3. 36kN (↑)
M C 32M C 32×1344
==63. 4MPa =
W C π×603×10-9πD 3
32M B M B 32×900===62. 0MPa σB =4
W B πD 31−α4⎤⎡⎛45⎞
π×603×10-9⎢1−⎜⎟⎥
⎢⎦⎣⎝60⎠⎥
故轴内最大正应力位于上、下边缘,其值为63. 4MPa 。
σC =
5-4 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用,如图所示。求截面m-m 和固定端截面n-n 上A ,B ,C ,D 四点处的正应力。
解 对截面m-m 及n-n ,都给以坐标系如图所示。于是有 y A =−y D =−0. 150m ; y B =0. 100m, y C =0 截面m-m 及截面n-n 的弯矩分别是
M m =20kN ⋅m ; M n =20−15×3=−25kN ⋅m 横截面对轴z 的惯性矩
I z =
131
bh =×0. 180×0. 3003=405×10−6m 4 1212
20×10−3×(−0. 150) 6=−σmD ==−7. 41×10N/m=−7. 41MPa −6
405×10
y 0. 100=B σmA =×(−7. 41) =4. 94MPa y A −0. 150=0
M D y A (−25×103) ×(−0. 150) ==
I z 405×10−6
各点的正应力分别是
σmA
σmB σmC
σnA =−σnD
σnB
=9. 26×106N/m3=9.26MPa
y 0. 100=B σnA =×9. 26=−6. 18MPa ,σnC =0
−0. 150y A
5-5 一外径为250mm ,壁厚为10mm ,长度l =12m 的铸铁水管,两端搁在支座上,管中充满水,如图(a)所示。铸铁的密度
ρ1=7. 70×103kg/m3,水的密度
ρ2=1×103kg/m3。求管内最大拉、压正应力的数值。
(a) (b)
解 将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁,如图(b)所示。其中荷载集度q ,为单
位长度水管自重与单位长度水柱重量的和,即
q =
ππ
[D 2−(D −2δ) 2ρ1g +(D −2δ) 2ρ2g ] 44π223=[0. 250−(0. 250−2×0. 010) ]×7. 70×9. 8×10 4
π
+×(0.250−2×0.010) 2×9.8×103=0.976kN/m 4
均布荷载简支梁的危险截面在跨中,最大弯矩
11
M max =ql 2=×0. 976×122=17. 6kN ⋅m
88
水管的弯曲截面系数
W z =
π30. 234D −2δ4π
]=×0. 253×[1−(]=4.35×10−4m 3 D [1−(
32320. 25D M max 17. 6×103===40. 4MPa −4
W z 4. 35×10
最大拉压正应力
σmax
5-6 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用,如图(a)所示。已知该梁材料
为Q235钢,其许用弯曲正应力[σ]=170 MPa。求梁的许可载荷F 。
2
3
(a) (b)
解 由已知结构载荷对称,得图(b)。
33
F ×2=3F ,M C =F ×4−F ×2=4F 22
M max =4F
M 4F σ=max =≤[σ]=170×106 −6
W 2×340. 328×10F
≤28. 9×103N =28.9kN
M B =
5-7 一重量为P 的均质钢条,长度为l ,截面宽为b ,厚为t ,放置在刚性平面上如图。当在钢条一端用力F =
P
提起时,求钢条与刚性平面脱开的距离a 及钢条内的最大正应力。 3
12P P qa =0,F =,q = 23l
Pa 1P 22
即 −⋅a =0,a =l
32l 3
12P P 2
(2)M (x )=Fx −qx =x −x
232l P P 2
M ′(x )=0,−x =0,x =
3l 3
解(1)∑M C =0, Fa −
Pl ⎛l ⎞P l 1P ⎛l ⎞
M ⎜⎟=⋅−⋅⋅⎜⎟=
3332318l ⎝⎠⎝⎠
⎛l ⎞
M ⎜⎟Pl
⎝3⎠==Pl
σmax =
W bt 236t 2
6
2
5-8 ⊥型截面铸铁悬臂梁,尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[σt ]=40MPa ,压缩许用应力[σc ]=160MPa ,截面对形心轴z C 的惯性矩
I z C =10180cm 4,h 1 =9.64 cm ,求该梁的许可载荷F 。
(a)
(b)
解 M A =0. 8F
σA c =
I z C [σc ]10180×10−8×160×106
F ≤==132. 6kN −3
0. 8h 20. 8×153. 6×10M A h 10. 8Fh 1
σA t ==≤[σt ]
I z C I z C I z C [σt ]10180×10−8×40×106
F ≤==52. 8kN −3
0. 8h 10. 8×96. 4×10M h 0. 6Fh 2
σC t =C 2=≤[σt ]
I z C I z C I z C [σt ]10180×10−8×40×106
F ≤==44. 3kN −3
0. 6h 20. 8×153. 6×10
比较以上结果得
[F ]=44. 3kN
M A h 20. 8Fh 2
=≤[σc ] I z C I z C
5-9 一铸铁梁如图a 所示。已知材料的拉伸强度极限σb =150 MPa,压缩强度极限
σbc
=630 MPa。求梁的安全因数。
(a) (b)
解 弯矩图(b)。
求横截面形心主惯性轴Oz 的位置,以下底边为参考轴有
b =
160×200×100−140×160×120
=53.2mm
160×200−160×140
11
×160×2003+160×200×(100−53. 2) 2−×140×1603 1212
横截面对轴z 的惯性矩
I z =
−140×160×(80−13. 2) 2=2. 90×107mm 4=2. 90×10−5m 4
(1)求可能危险截面C 所需的安全因数n C 。
截面C 在正弯矩M C =12kN ⋅m 作用下,上部受压,下部受拉,其中
y c max y t max
=
200−53. 2
=2. 76
53. 2
σb c 630
==4. 20>2. 76 σb 150σC t max =
M C y t max
I z
≤[σt ]=
(σb ) t
n C
所以,截面C 将由于拉应力先达到强度极限间破坏。因此强度条件是
I z (σb ) t 2. 90×10−5×150×106
==6. 82 n C ≤
M C ⋅y t max 12×103×0. 0532
(2)求可能危险截面B ,所需的安全系数n B 。
截面B 在负弯矩作用下,横截面上部受拉,下部受压,易知此截面因上部边缘最大拉应力先达到材料强度极限而破坏。因此,强度条件是
σB , t, max =
所以
M B y B , t, max
I z
≤[σt ]=
(σb ) t
n B
(σb ) t I z 150×106×2. 90×10−5
=n B ≤=3. 70 3
8×10×0. 147M B y B , t, max
比较n B 和n C ,得此梁的安全系数为n ≤3. 70。
5-10 图(a)所示梁的截面由两个槽钢组成,跨度为l =3m ,承受集中力偶M =7. 5kN ⋅m ,均布载荷q =5kN/m。若已知许用应力[σ]=120MPa ,试选择槽钢的型号。
(a)
(b)
解 ∑M A =0, F B =10kN ↑; ∑F y =0,F A =5kN ↑ F S =F A −qx =0,x =1m M max =M (1)=M +F A ×1−
作弯矩图如图(b )所示。M max σmax =
()()
1
q ×12=7. 5+5−2. 5=10kN ⋅m 2
=10kN ⋅m
M max
≤[σ] 2W
M max 10×103−633
==41. 67×10m W ≥=41. 67cm 6
2σ2×120×10
若选10号槽钢,W 10=39. 7cm 3
M max 10×103
σmax ===125. 9MPa
2W 102×39. 7×10−6
σ−[σ]125. 9−120 max =×100%=4. 9%
120σ误差在工程允许范围内,故可选10号槽钢。
5-11 图示结构中FB 为圆杆,直径d =30mm ,梁AE 为T 字形截面,尺寸如图,C 为形心,截面惯性矩I z =7. 46×10
−6
m 4。材料的许用拉应力[σt ]=40MPa ,许用压应力
[σc ]=60MPa 。试校核该结构的强度。
(a)
(b)
解 ∑M B =0, F A =3kN ↑; ∑F y =0,F B =11kN ↑ M D =F A ×1=3kN ⋅m ,M B =−4×1=−4kN ⋅m
作弯矩图(b )。 截面D
()()
M D 3×103×88×10−3−3
σt =×88×10==35. 4MPa
I z 7. 46×10
截面B
M B 3×103×52×10−3−3
σt =×52×10==27. 9MPa
I z 7. 46×10−6M B 4×103×88×10−3−3
σc =×88×10==47. 2MPa
I z 7. 46×10
结构强度满足。
5-12 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F =5kN ,a =1. 5m ,
[σ]=10MPa 。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比
小直径d 。
h
,以及梁所需木料的最b
解 由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数
121b
bh =b (d 2−b 2) =(d 2−b 2) 666
d W z d 2b 2
=0,有 −=0 将W z 对b 求导,并令d b 62
d 时,弯曲截面系数取得极大值。 因此当,b =3
W z =
截面的高
h =截面的高宽比
当b =
1d 2−b 2=d 2−d 2=d
33
h
=b 6d /3
= d /3
d 时,求得 3
31b 2132
d (d 2−d 2) =d W z , max =(d −b ) =⋅
273636
由题知梁AB 的CD 段处于纯弯曲状态,其
M max =Fa 由弯曲正应力的强度条件,有 σmax =
M max 27Fa
=≤[σ] 3
W z , max d
d ≥9Fa
σ=
9×5×103×1. 5
σ=0. 227m =227mm
由此可见,所需木材的最小直径为227mm 。
5-13 当载荷F 直接作用在跨长为l =6 m的简支梁AB 之中点时,梁内最大正应力超过
许可值30%。为了消除过载现象,配置了如图所示的辅助梁CD ,求辅助梁的最小跨长a 。
解 未配辅助梁时,梁AB 的危险截面在跨中点,其最大弯矩 M 1=
梁上的最大正应力
Fl 4
σ1=
M 1Fl /4
= W z W z
当配置辅助梁后,由于结构与荷载对称,梁AB 在C ,D 处分别承受集中荷载AB 的CD 段是处于纯弯曲状态,最大弯矩
M 2=对应的最大正应力
F
,梁2
F 1F
⋅(l −u ) =(l −a ) 224
σ2=
据题意有σ2=[σ],及
M 2F (l −a ) /4= W z W z
σ1−σ2
×100%=30% σ2
将σ1, σ2的值代入,得
Fl /4F (l −a ) /4
−W z W z
=0. 3
F l −a W z
整理得
a =
0. 3
l =0. 231l =0. 231×6=1. 39m 1. 3
因此,辅助梁应有的最小跨长为:1. 39m 。
5-14 图(a)所示No.30a 工字梁承受均布载荷作用,跨度l =6m 。已知许用应力[σ]=140MPa 。为提高梁的承载能力,试确定外伸臂a 的合理长度及相应的许可载荷。
D
12qa (a) ql 2
8
(b)
解 用叠加法作弯矩图(b)。 根据题意应有
M C =M A =M B
将弯矩值代入上式得
121212ql −qa =qa 822
求得
a =
2
l =×6=2. 12m 44
梁的最大弯曲正应力表达式是
其中
σmax
M A qa 2== W z 2W z
W z =402×10−6m 3, σmax =140MPa
于是,得许可载荷集度
2W z σmax 2×402×10−6×140×106
q ===25000N/m=25kN/m 22
a 2. 12
5-15 图示一矩形截面悬臂梁,在全梁上受集度为q 的均布载荷作用,其横截面尺寸为
b , h , 长度为l 。
(1)试证明在离自由端为x 处的横截面上切向内力元素τd A 的合力等于该截面上的剪力,而法向内力元素σd A 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部,如图所示,试问在截开面上的切应力τ′沿梁长
度的变化规律如何?该面上总的水平剪力有多大?由什么力来平衡?
解 (1)假定切应力τ沿横截面宽度均匀分布,所以整个横截面切应力τ的合力沿对称轴y 。
矩形截面切应力沿高度分布为
*F S S z F b 3F S 22
τ==S ⋅(h 2−4y 2) =(h −4y ) 3
bI z bI z 82bh
整个横截面的切应力构成的合力为
∫τd A =2b ∫
A
h
20
τd y
h 20
根据静力平衡有
3F S
(h 2−4y 2) d y =F S 3A 2bh
我们知道x 横截面上的剪力等于qx 。所以τd A 的合力等于该截面上剪力。
My
。整个截面的σd A 对中性轴的矩是 正应力沿横截面高度分布为σ=I z
M M 2
y d A =⋅I z =M ∫A σy d A =∫A
I z I z
qx =
∫τd A =2b ∫
根据静力平衡
12
qx =∫A σy d A =M 2
于是证得法向内力元素σd A 的合力偶之矩等于该截面的弯矩。
(2)对此悬臂梁任意x 截面的剪力
F S (x ) =qx 。
矩形截面的中性层处的横向剪应力
3F S 3qx
=。 2bh 2bh
根据切应力互等定律,得截开面上切应力τ沿梁长度的变化规律为
3qx
τ′=τ=2bh
τ=
其总的水平剪力
3qx 3ql 2
b d x =∫d x = F S ′=∫τ′d A ′=∫τ′
A ′002h 4h
水平剪力F S ′由根部横截面下半部的正应力σ组成的x 方向的合力来平衡。
l
l
5-16 一桥式起重机梁跨l =10. 5m ,横截面为36a 工字钢。已知梁的许用应力[σ]=140MPa ,电葫芦自重12 kN,当起吊重量为50 kN时,梁的强度不够。为满足正应力强度要求,在梁中段的上、下各焊一快钢板,如图。求加固钢板的最小长度
l 0
。
(a)
(b)
解(1)不计梁重时,梁的受力如图(b )
P =(12+50)kN F A =
P
(l −x ) ,M C =F A x =P lx −x 2 l l
−63
查型钢表 W C =875×10m
()
M C P lx −x 2
σC ===[σ]
W C lW C
10. 5x −x 2=10. 5×140×106×875×10−662×103)=20. 75 x 2−10. 5x +20. 75=0 x 1=2. 59m ,x 2=7. 91m l 0=x 2−x 1=5. 22m
(2)校核加固部分强度
()
lx −x 2=l [σ]W C P
⎛l ⎞Pl
=62×103×10. 5=162. 75kN ⋅m M max =M ⎜⎟=
⎝2⎠4
⎛bh 32⎞⎟+⋅A a I z =I z 1+2×⎜⎜12⎟ ⎝⎠
=1. 58×10−4+2×(100×163×10−12+100×16×1882×10−12)=2. 71×10−4m 4
M max 162. 75×103×(180+16)×10−3
σmax =y max ==118MPa
I z 2. 71×10
5-17 简支梁由4块相同的木板胶合而成,尺寸如图。已知F =3kN ,木材的许用正
应力[σ]=7MPa ,胶合面的许用切应力
[
τ]=3MPa 。试校核该梁的强度。
(a)
(b)
解∑M A =0, F B = M max
0. 3
F =1. 8kN ,F S max =1. 8kN 0. 5
=M C =F B ×0. 2=0. 36kN ⋅m
M max 0. 36×103×6
σmax ===6. 75MPa
W 50×80×103F S max 3×1. 8×103
==0. 675MPa
2A 2×50×80×10
故强度满足。
5-18 由4块木板粘接而成的箱型截面梁,其横截面尺寸如图a 。若已知某截面上沿铅
垂方向的剪力
F S =3. 56kN ,求粘接接缝A
,B 两处的切应力。
(a) (b) (c)
解 I z =
*S zA
1
(25+127)(25+229)3−(127−25)(229−25)3=1. 354×108mm 4 12127229=(−12. 5) ×25×=1. 460×105mm 3
22
[]
δI z
*53
S zB =76×25×114. 5=2. 176×10mm
**F S S zA S zB
=0. 154×*=0. 229MPa τB =δI z S zA
τA =
*F Q S zA
3. 56×103×1. 46×10−9==0. 154MPa
25×1. 354×10−7
横截面上切应力流走向如图c 。
5-19 支承楼板的木梁可视为如图(b)所示简支梁,跨度为l =6m ,两木梁间的距离
a =1m ,楼板承受均布载荷p =3. 5kN/m2。若木梁截面为矩形,宽高比为
b 2
=,许用h 3
正应力[
σ]=10MPa
,许用切应力[τ]=3MPa ,试设计木梁的横截面尺寸。
(a ) (b )
解 木梁受力图(b),其中q =pa
ql 1
=pal 22
l 1l 1
M max =F A ⋅−q (2=pal 2
22281
pal 2
M max 9pal 2==≤[σ] σmax =3
W 8h h ⋅h 26
9pal 29×3. 5×103×1×62
==0. 242m= 242 mm h ≥8[σ]8×10×106
F A = 取h = 242 mm b =
2
h =161mm 3
5-20 工字钢截面外伸梁AC 承受载荷如图所示,M e =40kN ⋅m ,q =20kN/m。材料的许用弯曲正应力[σ]=170MPa ,许用切应力[τ]=100MPa 。试选择工字钢的型号。
40
A
解 支座约束力
∑M A =0
A
F B =
20×2×1−40
=0
3
M
∑F y =0,F A =40kN
绘剪力图,弯矩图如右图所示。
F S max =40kN ,M max =40kN ⋅m
σmax =
W z ≥
M max
≤[σ] W z
M max
σ40×103−43
==2. 35×10m 6
170×10
20a 号工字钢的弯曲截面系数
W z =2. 37×10−4m 3>2.35×10−4m 3,满足正应力强度条件。
进而校核它是否满足切应力强度条件,其
*
I z /S z =0. 172m, d =1. 14×10−2m 。 F S max 40×10362===20. 4×10N/m=20.4MPa
I z /S z ⋅d 0. 172×1. 14×10
τmax
满足切应力强度条件。