广义积分收敛的必要条件
广义积分收敛的必要条件
◎曹学锋（黄冈师范学院数学与信息科学学院
【摘要】本文主要是对广义积分收敛的必要性进行了探讨，给出了广义积分收敛的几个必要条件，并对部分结论进行了举例应用．
【关键词】收敛；广义积分；必要条件
438000）
由柯西收敛准则知limf（x）=A（A为有限数），故由定
x→+∞
理1即得limf（x）=0．
x→+∞
+∞
推论2若
0引言
无穷级数和广义积分的敛散性都是通过极限来定义的，一般情况下，广义积分的敛散性问题可以转化为无穷级数的敛散性问题，故他们之间有很多结论是一致的．但也不是所有的结论一致，如无穷级数Σan收敛
n=1
+∞
∞
a
x→+∞
乙f（x）dx收敛，且f（x）在［a，＋∞）上单
+∞
调，则limf（x）=0．
证明不妨设f（x）在［a，＋∞）上单调不增，由
a
f（x）dx乙
的必要条件是liman=0，而广义积分
n→∞
x→∞
乙f（x）dx收敛却不
收敛，则f（x）≥0，x∈［a，＋∞）．
若不然，则至少埚x0≥a，使f（x0）＜0，当x＞x0时，f（x）≤f（x0）＜0，则当坌μ＞x0，有
μ
一定有limf（x）=0．本文主要是对其进行探讨分析，发
+∞
x0
·f（x）dx≤乙f（x）dx=（μ-x）f（x）→-∞（μ→+∞）.乙
x0
+∞
μ
现如果对广义积分
乙f（x）dx收敛附加一些条件可以得
x→∞
即
出同收敛级数相似的必要条件limf（x）=0．
x0
f（x）dx=-∞，从而乙f（x）dx发散，矛盾，由f（x）乙
x0
x→+∞
+∞
在［a，＋∞）上单调不增，且有下界0，故limf（x）=A（A为有限数），故由定理1即得limf（x）=0．
x→+∞
+∞
1.主要结果及证明
+∞
定理1若
x→+∞
乙f（x）dx收敛，且limf（x）=A（A为有
x→+∞
x→+∞
定理2如果广义积分
x→+∞
限数），则limf（x）=0．
证明若A≠0，不妨设A＞0，即limf（x）=A＞0，故埚x0≥a，当x＞x0时，恒有f（x）＞＞0，对于坌x＞
a
f（x）dx收敛，且f（x）在［a，乙
＋∞）上一致连续，则limf（x）=0．
证明由f（x）在［a，＋∞）上一致连续知，对于坌ε＞
0，埚δ＞a，使得对坌x1，x2∈［a，＋∞），只要|x1-x2|＜δ，就
＋∞
2
x
x0，恒有
x0
乙
x
f（x）dx≥
x0
Adx=x-xA＞0.22
x
有｜f（x1）－f（x2）｜＜ε，另外，由于
2
a
乙f（x）dx收敛，由
Cauchy准则知，对于上述ε＜0，埚M＞0，当坌A1，A2＞
A2
又limx-xA=+∞，则lim
x→+∞x→+∞+∞
x0
乙f（x）dx=+∞，从而
M时，有
A1
f（x）dx乙＜εδ.
2
A1+δ
a
乙f（x）dx=+∞，与limf（x）＝A（A为有限数）矛盾，故
x→+∞
x→+∞
+∞
特别地，当A2=A1+δ时，亦有
有limf（x）＝0.
推论1若
x→+∞
A1
乙f（x）dx＜εδ，从a
乙f（x）dx收敛，且乙f′（x）dx也收敛，则
a
+∞
而由积分中值定理，埚ξ∈［A1，A1+δ］，使得|f（ξ）|＜ε．由此推出，当x＞M时，总能找到ξ∈［A1，A1+δ］，使得｜f（x）｜≤｜f（x）－f（ξ）｜＋f（ξ）＜ε+ε=ε.
limf（x）＝0．
+∞
所以limf（x）＝0．
x→+∞
＋∞
证明由
a
f′（x）dx收敛，则对坌ε＞0，埚x≥a，当乙
x2
定理3如果含参变量广义积分
x2＞x1＞x时，恒有｜
x1
乙f′（x）dx｜＜ε，即｜f（x）－f（x）｜＜ε，
2
1
a
乙f（x，y）dx关于
y∈［c，d］一致收敛，且f（x，y）在区域D=［a，+∞）×［c，
d］上一致连续，则当x→+∞时，f（x，y）关于y∈［c，d］一
〈〈
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▲
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致收敛于0．
该定理的证明与定理2的证明基本类似，在此从略．定理4如果f（x）在［a，+∞）上连续可微，且广义
＋∞
1≠0，由定理1知该广义积分发散．
解法二limf（x）存在，则被积函数在定义域上一
x→+∞
积分
a
f（x）dx与乙f′（x）dx都收敛，则limf（x）＝0．乙
a
x→+∞
＋∞
＋∞
致连续，但limf（x）=1≠0，由定理2也可以得出该广
x→+∞
义积分发散．
【参考文献】
［1］华东师范大学数学系．数学分析（下）［M］．北京：高等教育出版社，2001.
［2］关冬月．关于无穷级数和无穷积分收敛的必要条件［J］．内蒙古师范大学学报，2004（5）：73－75.
［3］木壮志，赵星君．广义积分收敛的一个充要条件［J］．哈尔滨理工大学学报，1999（4）：46－49.
［4］ProofoftheFunctionSeriesConvergenceUniformTheo-
证明由f′（x）连续及
＋∞
A
a
乙
f′（x）dx收敛，可推出
a
f′（x）dx=lim乙f′（x）dx=limf（A）-f（a），乙
A→+∞
a
A→+∞
x→+∞
即limf（x）存在，从而f（x）在［a，+∞）上一致连续，故由定理2即得证．2.定理的简单应用
例判断下列广义积分的敛散性．
＋∞
（1）
1
lnxdx；（2）乙cos1dx.乙1
x→+∞
＋∞
remandNecessaryandSufficientConditioninGeneralIntegralCon-vergent［J］．JournalofJiayingUniversity，2003（2）：23－26.
［5］OntheNecessaryConditionsforConvergenceofGeneral-＋∞
解（1）令f（x）=lnx，f（x）单调递增，但limf（x）不存在，由定理1中推论2知该广义积分发散．
（2）解法一令f（x）=cos1，limf（x）存在且limf（x）=
izedIntegral
a
f（x）dx［J］．JournalofAnqingTeachersCollege（Nat-乙
x→+∞x→+∞
uralScience），2006（3）：94－97.
［6］NewMethodsforDiscriminatingConvergenceofNonnega-tiveFunction’sInfiniteIntegral［J］．JournalofChinaThreeGorgesUniversity（NaturalSciences），2006（6）：63－67.
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）
论，双方各有千秋.另外在课堂上与老师交流是否顺利这一问题中，A有19“选择”十分顺利，不仅听懂了，而且还向老师提出了自己的看法和问题；而B只有5％.从其他选项中也反映出：A倾向于老师在课堂上交流，而生生间的课外交流障碍较大；B则倾向于课外，师生、生生间的交流，相互交流的障碍较小.这充分说明在引导数学交流问题上，老师起着主导作用，教师的教学理念、教学方式决定了学生是否喜欢交流、喜欢怎样的交流、会不会交流.
2.学生的数学基础
通过对学生进行按成绩分类，发现学生的数学基础对数学交流的影响很大：“你是否喜欢和别人进行交流”，比较喜欢和非常喜欢的比例C组为62％，D组为28％（C组成绩较好、D组较差）；“从未和同学交流或偶尔只与同学互相参考答案”C组为5％，而D组的比例高达22％；“你和同学讨论交流数学问题遇到障碍的主要原因”，D组有28％同学选“我和他不能很好表达自己的意思”，C组则有44％；表面上看C组同学相互交流存在困难，但真正的原因则是C组同学之间的交流比较频繁，因此相对而言存在的障碍也较多，这一点在选“其他原因”上较为明显，D组高达36％，而C组则只有15％，这表明，成绩较差的学生中，对数学交流障碍的原因，自己也难以找出.在接触中也能感觉到，成绩较差的学生数学语言积累较少，数学思想比较贫乏，学习兴趣不太浓，所以他们要求数学交流的愿望不强，没内容、也不会交流，所以形成了相对自我封闭的学习习惯.
3.新课程的实施
新课程虽然刚刚实施，但对数学交流的推动作用还是比较明显的，而且还有一种逐渐增强的趋势，有两方面因素作用较为明显：课程内容和新课程理念.
（1）新课程内容的可操作性
由于新课程中有许多可供数学交流的内容，使学生得到了很好的锻炼，参与交流的能力与意识也有较大提高，如在课堂上老师提出问题时选“不知如何讨论，等待别人结论”的初二学生只有3％，而初三学生（旧教材）则高达15％，但实施新课程的初三学生也只有4％，说明在旧教材下，学生不会交流；而面对提问，旧教材初三学生65％选“很少主动回答，老师让我回答，我才回答”，而新课程下只有40％，更多的是主动回答.
（2）新课程理念对教学行为的影响
随着新课程的推进，新课程理念也随着各类培训逐渐被广大教师接受，也正影响着教师的教学行为.与老师交流讨论数学问题时，一般情况是：旧教材下有21％是“老师讲解解决方法或老师直接给出答案”，29％选“和老师共同讨论解决方案”，在新课程下两者的比例则分别为5％和54％.这充分说明新课程理念的影响下，教师正逐渐转变原来的“传道”的角色，而更多地向学生学习的合作者角色转化.在访谈中也能体会到，教师更多地考虑学生的情感体验，同时也对传统的授课模式进行深刻的反思.
4.考试压力
数学是一门基础学科，尤其是知识体系比较线性化，教师的讲解、题目的操练短期效果比较明显，面对“分数”的压力，教师、学生、家长都不敢掉以轻心，课堂教学中定义、定理再加上几个例题，往往占去了大部分时间，学生更多的是接受信息，对需要互动的数学交流抑制比较明显.
综上所述，面对新课程改革，全面开展数学交流，改进课堂教学结构任重而道远.
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