周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析
周期函数运算
（加、减、乘、除、复合）结果分析
摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义. 进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性, 从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理, 并说明了定理的应用.
关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期
1周期函数与周期
1.1 周期函数与周期的定义
设函数y =f (x , 如果存在一个数T , 对任意x ∈A , 有x +T ∈A , 且) , ∈x A
f (x +T ) =f (x ) , 则函数y =f (x ) 叫做周期函数, 数T 叫做函数y =f (x ) 一个周期. 函数具
有周期的性质叫做函数的周期性.
1.2 周期函数的周期的性质
性质1 若T 是y =f (x ), x ∈A 的周期, 则-T 也是y =f (x ) 的周期.
证明 因为T 是y =f (x ), x ∈A 的周期, 所以f (x +T ) =f (x ), x +T ∈A .
令x ' =x +T ∈A , 则x =x ' -T ∈A , 代入上式得: f (x ') =f (x ' -T ) , 即: f (x ' -T ) =f (x '), x -T ∈A .
所以-T 也是y =f (x ) 的周期.
性质2 若T 是y =f (x ), x ∈A 的周期, 且x +nT ∈A (n ∈Z ) , 则nT 也是y =f (x ) 的周
期.
证明 (1)证明当n ∈N 时, x +nT ∈A , 则nT 是y =f (x ) 的周期(运用数学归纳法). ② 当n =1时, T 是y =f (x ) 的周期.
②假定当n =k 时, kT 是y =f (x ) 的周期, 则f (x +kT ) =f (x ) , 那么当n =k +1时, 有f [x +(k +1) T ]=f (x +kT +T ) =f (x +kT ) =f (x ) .
所以(k +1) T 是y =f (x ) 的周期.
由①、②可知:对于所有的自然数n , x +nT ∈A , 则nT 是y =f (x ) 的周期.
(2)当n =0时, x +nT =x ∈A , nT =0, 显然, nT 是y =f (x ) 的周期(特殊周期).
-
(3)证明当n ∈Z 时, x +nT ∈A , 则nT 是y =f (x ) 的周期.
因为T 是y =f (x ), x ∈A 的周期, 所以由性质1可得: -T 也是y =f (x ) 的周期.
又因为-n ∈N , x +(-n ) ⋅(-T ) =x +nT ∈A 即: x +(-n )(-T ) ∈A , 所以由以上(1)的结论可得: -n (-T ) 是y =f (x ) 的周期. 即: nT 是y =f (x ) 的周期.
综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若T 是y =f (x ), x ∈A 的周期, x +nT ∈A (n ∈Z ) , 则nT 也是y =f (x ) 的周期.
由性质1和性质2可得出如下结论:
结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期. 结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.
1.3 最小正周期的定义
由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个, 或者是多个直至无限多个. 由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期. 因此, 可作出如下定义:
设周期函数y =f (x ) , 把y =f (x ) 的所有正周期中的最小的一个叫做函数y =f (x ) 的最小正周期.
显然, 一个函数的最小正周期是唯一的, 故最小正周期具有特殊的意义. 因此, 一个函数的周期通常是指最小正周期.
2 周期函数的和、差、积、商函数
2.1周期函数的和、差、积、商函数的周期性
周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点? 下面的定理可给出明确的回答. 定理1 设函数y =f 1(x ) 与y =f 2(x ) 都是定义在A 上的周期函数, 周期分别为T 1与T 2,
T 1p ++
（a 为正有理数, p ∈Z , q ∈Z , 且p 与q 互为质数), =a =
T 2q
M , 则为函M =qT 1=pT 2, x +M ∈A
f (x )
f 1(x ) +f 2(x ) 、f 1(x ) -f 2(x ) 、f 1(x ) ⋅f 2(x ) 1
f 2(x )
（f 2(x ) ≠0，x ∈A ) 的周期.
T p
证明 因为1=(p ∈Z +, q ∈Z +, 且p 与q 互为质数), 所以qT 1=pT 2=M , 即: M
T 2q
T 1与T 2的最小公倍数.
又因为T 1与T 2分别为y =f 1(x ) 与y =f 2(x ) 的周期, 所以根据性质2可得: M
且
若数
为
为
y =f 1(x ) 与y =f 2(x ) 的周期.
所以 f 1(x +M ) =f 1(x ), f 2(x +M ) =f 2(x ). f 1(x +M ) +2f (x +M ) =1f (x ) +2f ( x ). 所以M 为函数f 1(x ) +f 2(x ) 的周期.
同理可证明: M 为函数f 1(x ) -f 2(x ) 、f 1(x ) ⋅f 2(x ) 1
f (x )
f 2(x ) ≠0，x ∈A ) 的周期. f 2(x )
这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.
2.2周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用
周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法. 具体的求解步骤如下:
第一步:求出两个周期函数y =f 1(x ) 与y =f 2(x ) 的周期. 设周期分别为T 1与T 2.
第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比. 即
++
(a 为正有理数, p ∈Z , q ∈Z , 且p 与q 互为质数).
T 1p =a = T 2q
第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数, 即求出M =qT 1=pT 2. 那么最小公倍数
M 即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期. 显然, 对于有限个周期函数的和、差、积
函数, 重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可
3 复合函数周期性
3.1复合函数周期性的判定
定理2 设u =f (x ) 是周期函数, 函数y =g (u ) 与u =f (x ) 满足复合函数的条件, 则复合函数y =g [f (x )]是周期函数, 且u =f (x ) 的周期也是复合函数y =g [f (x )]的周期.
证明 记F (x ) =g [f (x )], 设l 为函数f (x ) 的一个周期.
任何x ∈D (f ) , 则f (x +l ) =f (x ) , F (x +l ) =g [f (x +l )]=g [f (x )]=F (x ) . 同理u =f (x ) F (x -l ) =F (x ) ,
因此, F (x ) =g [f (x )]为周期函数, f (x ) 的周期也是g [f (x )]的周期. 必须指出, u =f (x ) 的最小周期未必是y =g [f (x )]的最小正周期.
1-cos 2x 22
例1 y =g (u ) =u , u =f (x ) =sin x . 复合函数y =sin x =, f (x ) =sin x 的
2
2
最小正周期是2π, g [f (x )]=sin x 的最小正周期是π, 所以f (x ) 的最小正周期2π是g [f (x )]的周期, 但不是它的最小正周期.
定理1可以推广到有限个函数复合的情形. 推论 设y 1=f 1(x ) 是周期函数, y 1=f 1(x ) , y 2=f 2(y 1) ,
, y n =f n (y n -1) ,
这n 个函数满足复合的条件, 记 F (x ) =f n [f n -1
f 2(f 1(x ))],
则F (x ) 是周期函数, 且f 1(x ) 的周期是复合函数F (x ) 的周期.
例2
讨论函数y =的周期性. 解 函数y 的定义域
D ={x ∈R n π+
π
4
≤x
π
2
12
(n ∈Z )},
函数y =可看作y =u , u =ln v , v =tan x 的复合函数, 容易验证tan x 在D 上是周期函数, 具有最小正周期π, 有定理1的推论
, y =是周期函数. π
是函数
. 函数y 的零值集
π
D 0={x x =n π+(n ∈Z )}
4
有最小正周期π, 因此, π
的最小正周期.
在定理1中, 如果y =g (u ) 是周期函数, u =f (x ) 是一般的函数, 特别u =f (x ) 不是周期
22
函数时, 复合函数y =g [f (x )]未必是周期函数. 如y =sin u , u =x 的复合函数y =sin(x ) 不是周期函数. 而y =sin u , u =ax +b 的复合函数y =sin(ax +b ) 是周期函数. 有下面一般性
的结论.
定理3 设y =g (u ) 是周期函数, l 是g (u ) 的一个周期, u =ax +b (a , b ∈R , a ≠0) , 则复合函数y =g (ax +b ) 是周期函数, 且
l
时函数g (ax +b ) 的周期. a
证明 设y =g (u ) 的定义域为D , 记G (x ) =g (ax +b ) , 则y =G (x ) =g (ax +b ) 的定义
l a
域D 1={x ∈R ax +b ∈D }.
任意x ∈D 1, 则ax +b ∈D , 由l 为g (u ) 的周期, 有ax +b ±l ∈D , 即a (x ±) +b ∈D , 所以x ±
l
∈D 1. a
又G (x +) =g [a (x +) +b ]
l a
l a
=g [(ax +b ) +l ] =g (ax +b ) =G (x ) ,
l
为G (x ) 的周期. a
因此, G (x ) =g (ax +b ) 为周期函数,
也要指出, 两个非周期函数的复合, 可能是周期函数.
例3
y =u =x 2, 这两个函数都不是周期函数, 但它们的复合函
数
y ==cos x =cos x 是周期函数, 且有最小正周期.
3.2几类复合周期函数的最小正周期问题
1
3.2.1 的最小正周期
f (x )
定理4 函数f (x ) 是定义在D 上的不恒为零的周期函数, 则其倒数函数F (x ) =是集合{x ∈D f (x ) ≠0}上的周期函数, 且函数f (x ) 的周期都是
必须指出, 函数f (x ) 与例4 函数f (x ) =⎨
1f (x )
1
的周期. f (x )
1
的周期未必是一致的. f (x )
⎧0, x 为偶数,
⎩1, x ∈R -Z .
1
≡1(x ∈R -Z ) f (x )
显然, f (x ) 是以2为最小正周期的周期函数.
易见
1
是以1为最小正周期的周期函数. f (x )
1
的周期一致. f (x )
定理5 若函数f (x ) 是R 上的不恒为零的周期函数, 则函数f (x ) 与
证明 由定理1, 函数f (x ) 的周期都是函数F (x ) 的周期. D (F ) ={x ∈R f (x ) ≠0}, 设
l 0为函数F (x ) 的任意一个正周期.
任意x ∈D (F ) , 则x ±l 0∈D (F ) , 且F (x ±l 0) =F (x ) ,
从而f (x +l 0) =f (x ) (1) 任意R -D (F ) , 则f (x ) =0, 因此f (x +l 0) =0. 从而,
f (x +l 0) =f (x ) =0 (2)
由(1),(2)两步证明, l 0为函数f (x ) 的周期, 所以函数F (x ) 的每个周期都是f (x ) 的周期.
由定理5, 立即有:
推论 函数f (x ) 是R 上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数, 则函数
1
与f (x )
f (x ) 具有相同的最小正周期.
3.2.2 f (x ) 的最小正周期
定理6 函数f (x ) 是周期函数, 则f (x ) 是周期函数, 且函数f (x ) 的周期都是f (x ) 的周期.
证明 因为f (x ) 是周期函数, T 是它的周期
所以f (x +T ) =f (x ) (x 、x +T 都是在定义域内) , 由绝对值的性质得f (x +T ) =f (x ) , 所以f (x ) 也是周期函数, T 是它的周期.
必须指出, 函数f (x ) 的周期未必是函数f (x ) 的周期, 甚至可能f (x ) 有最小正周期, 但
f (x ) 未必有最小正周期.
例 1: 证明函数f (x ) =sin x +cos x 是周期函数, 并求出它的一个周期.
证明 因为sin x 和cos x 都是周期函数, 2π是它们的周期, 所以由上面定理 6得
sin x 和cos x 都是周期函数, 并且2π是它们的周期, 由上面定理 得sin x +cos x 也
是 周 期 函 数 , 又 因 为sin(x +所以
π
) +cos(x +) =cos x +-sin x =sin x +cos x , 22
π
π
2
是f (x ) =sin x +cos x 的一个周期.
例5 函数f (x ) =sin x , 函数f (x ) =sin x 有周期x , 但π不是sin x 的周期. 还要指出, 定理6的逆不成立, 即函数f (x ) 为周期函数时, 函数f (x ) 未必是周期函数. 例6 函数f (x ) =sin x 不是周期函数, 但函数f (x ) =sin x =sin x 是周期函数. 3.2.3 [f (x )](n ∈Z , n ≠0) 的最小正周期
定理7 函数f (x ) 是周期函数, 若n 为正奇数, 则函数[f (x )]是周期函数, 且函数f (x ) 与
n
n
[f (x )]n 的周期一致.
n
定理8 函数f (x ) 是周期函数, 若n 为正偶数, 则函数[f (x )]是周期函数, 且函数[f (x )]n 与f (x ) 的周期一致.
定理9函数f (x ) 是不恒为零的周期函数, 若n 为负奇数, 则函数[f (x )]是周期函数, 且
n
1
的周期一致. f (x )
n
定理10函数f (x ) 是不恒为零的周期函数, 若n 为负偶数, 则函数[f (x )]是周期函数,
1n
且[f (x )]与的周期一致.
f (x )
[f (x )]n 与
3.2.4 [f (x (n ∈Z , n ≠0) 的最小正周期
3.2.4.1
1n
n 为正奇数时, 函数[f (x ]的定义域与f (x ) 的定义域相同, 且
1n
1n
f (x ) ={[f (x )]}n , 因此, 由定理7可得
定理7＇函数f (x ) 是周期函数, 若n 为正奇数, 则函数[f (x )]是周期函数, 且函数f (x ) 与[f (x )]的周期一致.
1n
1n
n 为正偶数时, 函数f (x ) 是非负的周期函数, 则函数[f (x )]的定义域
D 1={x ∈R f (x ) ≥0}=D (f ) .
3.2.4.2
1n
{[f (x )]}n =f (x ) .
因此, 由定理8, 有
1n
定理8＇函数f (x ) 是非负的周期函数, 若n 为正偶数, 则函数[f (x )]是周期函数, 且函数[f (x )]与f (x ) 的周期一致.
3.2.4.3
1n
1n
n 为负奇数时, 函数[f (x ]的定义域与
1n
1
的定义域相同, 且f (x )
1
1
={[f (x )]n }-n . f (x )
因此, 由定理9, 有
定理9＇函数f (x ) 是不恒为零的周期函数, 若n 为负奇数，则函数[f (x 是周期函数, 且函数[f (x 与
3.2.4.4
1n
1n
1
的周期一致. f (x )
1n
n 为负偶数时, 函数f (x ) 是不恒为零的非负的周期函数, 函数[f (x 的定义
1
11域与的定义域相同, 且{[f (x )]n }-n =.
f (x ) f (x )
因此, 由定理10, 有
定理10＇函数f (x ) 是不恒为零的非负的周期函数, 若n 为负偶数，则函数[f (x 是周
1
1
期函数, 且函数与[f (x )]n 的周期一致.
f (x )
1n
参考文献
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英文摘要
Probed into cycle function and cycle properties of the sum, the difference, the product and the quotient of it
Abstract The paper probes into the definition of cycle function and cycle,
cycle properties of cycle function and the definition of least positive cycle, and furthermore
probes into cycle properties of the sum ,the difference ,the product ,the quotient of cycle function ,thus coming to its theorem ,and illustrates its application.
Key words cycle function; cycle; cycle properties; least positive cycle