矢量与张量常用公式的证明
矢量与张量常用公式的证明
并矢的常用公式有
K K K K K K
(1)∇⋅(AB ) =(∇⋅A ) B +(A ⋅∇) B
K K K K K K
(2)∇×(AB ) =(∇×A ) B −(A ×∇) B
K
,有 设S 为区域Ω的边界曲面,n 为S 的法向单位矢量(由内指向外)
K K K K K
(3)v ∫S d S ⋅(AB ) =∫Ωd V ∇⋅(AB )
K K K
(4)v ∫S d S ×A =∫Ωd V ∇×A
K
(5)v ∫S d S u =∫Ωd V ∇u
K K K K K
(6)v ∫S d S ×(AB ) =∫Ωd V ∇×(AB )
K K K
(7)v ∫d S A =∫d V ∇A
S
Ω
设L 为曲面S 的边界,L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系,有
K K
(8)v ∫d l u =∫d S ×∇u
L
S
K ∂K
,e k 说明:以下的证明都是在直角坐标系下进行的,在直角坐标系下,∇=e k
∂x k ∂∂K
为常矢量,可放在前或后。常把记为∇k ,所以∇=e k ∇k 。在证明过程中
∂x k ∂x k K K K K
注意d S =d S i e i ,d l =d l i e i ,时刻不忘爱因斯坦求和约定。并且在证明过程中,
K K K K K K K K K K K
经常利用公式e i ×e j =εi j k e k ,A ×B =εijk A i B j e k ,∇×A =εijk ∇i A j e k ,(A ×B ) ⋅C
=εijk A i B j C k 等。
下面是证明过程:
(1)
K K K K K K K K ∇⋅(AB ) =(e k ∇k ) ⋅(Ae B e ) =∇(A B ) e i i j j k i j k ⋅e i e j
K K =∇k (A i B j ) δki e j =∇k (A k B j ) e j
K K K ⎤⎡⎤=⎡B ∇A +A ∇B e =B e ∇A +A ∇B e k k j ⎦j j j k k k ⎣k j ⎦j ⎣j k k
K K K K K K
=(B j e j )(∇k A k ) +(A k ∇k )(B j e j ) =B (∇⋅A ) +(A ⋅∇) B
K K K K =(∇⋅A ) B +(A ⋅∇) B
(2)
K K K K K K K K ∇×(AB ) =(e k ∇k ) ×(Ae B e ) =∇(A B ) e i i j j k i j k ×e i e j
K K K K K
=(A i ∇k B j +B j ∇k A i ) εkip e p e j (e k ×e i =εkip e p ) K K K K
=εkip A i ∇k B j e p e j +B j εkip ∇k Ae i p e j
K K K K K K K K K =(−εikp A i ∇k e p )(B j e j ) +(εkip ∇k Ae )(B e ) (A ×B =εA B e ,∇×A =ε∇A e i p j j ijk i j k ijk i j k )
K K K K K K K K =(−A ×∇) B +(∇×A ) B =(∇×A ) B −(A ×∇) B
在后面的几个公式的中,要利用Gauss 公式v ∫S Ω
K K K
可以写成v ∫d S ⋅A =∫d V ∇⋅A ,或者v ∫d S i A i =∫d V ∇i A i 。
S
K K K
A ⋅d S =∫∇⋅A d V ,Gauss 公式也
Ω
ΩS
(3)
K K K K
∫Ωd V ∇⋅(AB ) =∫Ωd V ∇⋅(AB i e i )
K K K K K K K ⎡⎤d S ⋅(AB i ) e i (把AB i 看成Gauss 公式中的A ) =⎡∫d V ∇⋅(AB i ) ⎤e i =v ⎣Ω⎦⎣∫S ⎦
K K K K K K =v ∫d S ⋅(AB i e i ) =v ∫d S ⋅(AB )
S
S
(4)
K ∂f K
首先证明公式:v f d S d V ,(面元d S =d S e =i i ) ∫S i ∫Ω∂x i
K K K K
∫f d S 1=v ∫(f e 1+0e 2+0e 3) ⋅d S v
S
S
∂f K K K
d V =∫∇⋅(f e 1+0e 2+0e 3)d V =∫ΩΩ∂x 1
同样地,有v ∫f d S 2=∫
S
∂f ∂f d V 和v f d S =d V 3∫∫Ω∂x S Ω∂x 23
∂f
d V =∫∇i f d V Ω∂x Ω
i
三式可以合写成:v ∫f d S i =∫
S
由上面的公式,得
K K K K K K K
A ×B =εA B e (利用公式d S ×A =εd S A e =εe d S A ijk i j k ) v ∫v ∫ijk i j k ijk k v ∫i j
S
S
S
K
=εijk e k ∫d V ∇i A j (利用公式v ∫S f d S i =∫Ω∇i f d V ,把A j 看成f ) Ω
K K K K
=∫d V εijk ∇i A j e k =∫d V ∇×A (利用公式∇×A =εijk ∇i A j e k )
Ω
Ω
(5)
K K d S u =u d S e v v ∫∫i i =
S
S
(v ∫
S
K
u d S i e i
)
=
(∫
Ω
K
∇i u d V e i (利用公式v ∫f d S i =∫∇i f d V ) )
S Ω
K
=∫d Ve i ∇i u =∫d V ∇u
Ω
Ω
(6)
K K K K K K d S ×(AB ) =(d S A B ) e ∫∫i j k i ×e j e k v v
S
S
K K K
=∫d V ∇i (A j B k ) e i ×e j e k (利用公式v ∫f d S i =∫∇i f d V ,把A j B k 看成f )
Ω
S
Ω
K K K =∫d V (e i ∇i ) ×(A j e j B k e k ) Ω
K K
=∫d V ∇×(AB )
Ω
(7)
K K K K K K d S A =d S e A e =A d S e v v ∫∫i i j j v ∫j i i e j =
S
S
S
(v ∫
S
K K
A j d S i e i e j
)
K K
d V ∇A e ∫Ωi j i e j (利用公式v ∫S f d S i =∫Ω∇i f d V ,把A j 看成f )
K K K
=∫d V (∇i e i )(A j e j ) =∫d V ∇A
=
()
ΩΩ
(8)
K K K K K K K
由公式(A ×B ) ⋅C =εijk A i B j C k ,Stokes 公式v ∫A ⋅d l =∫∫(∇×A ) ⋅d S 可以写成
L
S
v ∫
L
A i d l i =∫∫εijk ∇i A j d S k
S
K K K K
令A =ue 1+0e 2+0e 3,由Stokes 公式得
v ∫u d l =∫∫ε
L
1
S
i 1k
∇i u d S k
同理,还有v ∫u d l 2=∫∫εi 2k ∇i u d S k ,v ∫u d l 3=∫∫εi 3k ∇i u d S k
L
S
L
S
上面三式合写成v ∫u d l j =∫∫εijk ∇i u d S k ,由此式有
L
S
v ∫
L
K K d l u =v u d l e ∫j j =
L
(v ∫
L
K
u d l j e j
)
⎛⎞K K =⎜∫∫εijk ∇i u d S k ⎟e j =∫∫εijk ∇i u d S k e j
S ⎝S ⎠
K K
=∫∫εijk ∇i u d S k e j =∫∫εkij d S k ∇i ue j (εi j k =εk i j )
S
S
K
=∫∫εijk d S i ∇j ue k (为了更清楚,哑标变换k →i , i →j , j →k )
S
K K K K K
=∫d S i ∇j ue i ×e j (e i ×e j =εi j k e k ) S
K K K
=∫(dS i e i ) ×(∇j ue j ) =∫d S ×∇u
S
S
我们可以把Gauss 公式v ∫S
K K K v ∫d S ⋅A =∫d V ∇⋅A
S
Ω
K K K
A ⋅d S =∫∇⋅A d V 改写成
Ω
由上面的Gauss 公式可以看到,如果我们分别把点乘改成叉乘和外积,则得公式(4)和(7)
K K K v ∫S d S ×A =∫Ωd V ∇×A
K K K v ∫d S A =∫d V ∇A
S
Ω
K
如果把Gauss 公式中的一阶张量A ,分别改成零阶张量、二阶张量,则得公式(5)和(3)
K v ∫S d S u =∫Ωd V ∇u
K K K K K v ∫S d S ⋅(AB ) =∫Ωd V ∇⋅(AB )
K K K K
把公式v ∫S d S ×A =∫Ωd V ∇×A 中的一阶张量A ,改成二阶张量,则得公式(6)
K K K K K v ∫d S ×(AB ) =∫d V ∇×(AB )
S
Ω