工程流体水力学第四章习题答案
第四章 理想流体动力学和平面势流答案
4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径d 1=
12
d 2，d 2=
12D ，
过流断面1-1处压强p 1>大气压强p a 。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。
解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。
4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h ＝150mmH 2O ，空气的密度ρa =1.20kg/m3，水的密度ρ =1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c =1，试求空气流速u 0。
解：由伯努利方程得
p 0
ρa g
+
u 0
2
2g
=
p s
ρa g
（1）
u 0=
式中p s 为驻点压强。 由压差计得 p 0+ρgh =p s
p s -p 0=ρgh （2）
联立解（1）（2）两式得
u 0=
===49.5m/s
4－3 设用一装有液体（密度ρs =820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A 点和B 点的流速，如图所示。已知h 1 =1m，h 2 =0.6m，不计能量损失，试求A 点流速u A 和B 点流速u B 。
3
水的密度ρ=1000kg/m。
解：（1
）u A =
=
=4.427m/s
（2）由伯努利方程可得
26
h A +h B +
u A u B
2
2g
2
==
p A
ρg p B
（1） （2）
2g ρg
式中h A 、p A 和h B 、p B 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得
p A -p B
ρg p A -p B
=h A +
u A
2
2g
-h B -
u B 2g
2
（3）
由压差计得，p A -ρgh A -ρgh 2+ρs gh 2+ρgh B =p B ，所以
ρg 由（3）式、（4）式得
u B 2g
2
=h A +h 2-0.82h 2-h B (4)
=
u A 2g
2
-h 2(1-0.82) =
4.427
2
2⨯
9.8
-0.6(1-0.82) =0.892
u B =
=4.18m/s。
4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m，h =0.05m；y =0.05m，h =0.08m；y =0.10m，h =0.10m。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。
解：因u =，所以
u 1==1⨯u 2==1⨯u 3==1⨯
=
0.99m/s =
1.25m/s =1.40m/s
过流断面上的流速分布如图所示。
-y x
4－5 已知u x =2, u =, u z =0, 试求该流动的速度势函数，并检查速度y 222
x +y x +y
势函数是否满足拉普拉斯方程。
解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。
-y d x +x d y 1y -y x
==d () d Φ=u x d x +u y d y =2d x +d y 22222
y x +y x 2x +y x +y
1+
() x
27
积分上式可得Φ=arctan
（2）
∂Φ∂x
2222
y x
) =2) =
2xy (x +y ) -2xy (x +y )
2
2
2
2
2
2
==
∂∂
∂x x +y (
x
2
2
(
-y
2
, ∂Φ∂z
22
∂Φ∂y
∂y x +y
, =0
+0=0 222222
(x +y ) (x +y )
满足拉普拉斯方程。
-y x
4－6 已知u x =2，，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、u =y 222
x +y x +y
迹线方程。
解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数ψ。等流函数
-
2xy 2xy
线方程即为流线方程。
x = d ψ=u x d y -u y d
0，-
y x +y
2
2
d y -
2
2
x x +y
2
2
d x =0
y
x +y
积分上式可得
2
2
d y +
x x +y
2
2
d x =0，
d (x +y ) x +y
2
2
=0
22
ψ=ln(x +y ) =C （2）迹线方程
d x d y d x
= ， =
-y u x u y
d y x x +y
22
2
x +y
2
2
22
-(x +y ) x d x =(x +y ) y d y
2
y d y
x +y
积分上式可得
2
22
+
x d x x +y
2
2
=0，
d (x +y ) x +y
2
2
22
=0
ln(x +y ) =C
2
4－7 已知u x =－ky ，u y =kx ，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数）。
解：流函数和流线方程：d ψ=u x d y -u y d x =-ky d y -kx d x =-积分上式可得
22
ψ=x +y 迹线方程:
2
2
k 2
[d(x +y )]
22
d x -ky
2
=
d y kx
=
d z 0
x +y =r ，z =C
由上式可知，流线为平行于Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。
4－8 已知u x =4x ，u y =－4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。 解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数ψ和速度势函数Φ。
28
∂Φ∂x
=u x =4x ，
∂Φ∂y
=u y =-4y
2
2
d Φ=u x d x +u y d y =4x d x -4y d y =2d(x -y )
积分上式可得：Φ=2(x 2-y 2)
∂ψ∂y
=u x =4x ，
∂ψ∂x
=-u y =4y
d ψ=u x d y -u y d x =4x d y +4y d x =4d (xy )
积分上式可得 ψ=4xy
流动图形如题4－16图所示。
4－9 已知Φ=a（x 2－y 2），式中a 为实数且大于零。试求该流动的流函数ψ。
解：u x =
∂Φ∂x
=2ax ，u y =
∂Φ∂y
=-2ay
d ψ=u x d y -u y d x =2ax d y +2ay d x =2a d (xy )
积分上式可得 ψ=2a x y
4－10 已知速度势函数Φ=
M 2πρ
cos ϕ，式中M 是不为零的常数。试求该流动的流函
数，并绘出流动图形。
∂ΦM 1∂ψ∂ψM
解：u ρ=，=-cos ϕ==-cos ϕ 2
∂ρ2πρρ∂ϕ∂ϕ2πρ
对ϕ积分可得
ψ=
⎰∂ϕ
∂ψ
ϕ+f (ρ) =
⎰-
M 2πρ
cos ϕd ϕ+f (ρ) =-
M 2πρ
sin ϕ+f (ρ)
上式对ρ取偏导数，则
∂ψM '
=sin ϕ+f (ρ) =-u ϕ 2
∂ρ2πρ∂Φ
又 -u ϕ=ρ∂ϕ
'
M s i n ϕ 22πρ
由上两式可得 f (ρ) =0，即f (ρ) ＝常数。因此可得
ψ=-
M 2πρ
sin ϕ
上述流动即为偶极流。流动图形可参照题4—10图。
题4-10图
4－11 已知流函数ψ =3x 2y －y 3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。
∂ψ∂ψ22
解：u x ==3x -3y , u y =-=-6xy
∂y ∂x
∂u x ∂y
2
=-6y ,
2
2
∂u y ∂x
=-6y ，所以是有势流。
2
2
2
2
2
2
2
2
4
u =u x +u y =9(x -y ) +36x y =9(x +y ) =9ρ
u =3ρ，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。
2
29
4-12 设水平面流场中的速度分布为u =u ϕ=
k
ρ
，u ρ=0，k 是不为零的常数，如图所
示。试求流场中压强p 的分布。设ρ =∞，u j =0处的压强为p ∞；水的密度为ρF 。
解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场中除原点（ρ=0，u =∞）外，
p
ρF g 2g ρF g
式可知，压强p 随半径ρ的减小而降低。
题4-12图
+
u ϕ
2
=
p ∞
，因此 p =p ∞-
u ϕρF
2
2
=p ∞-
k ρF 2ρ
2
2
。由上
4-13 水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗
k
形，如图a 所示。流速场在平面内，如图b 所示，可表示为u =u ϕ=，u ρ =0，k 是不为零
ρ
的常数。试求自由水面曲线的方程式。
解：该流体流动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。
当ρ→∞时，水面高程为h ；另取自由表面上任意点M ，对上述两点写伯努利方程，可得
h =z +
u M 2g
2
=z +
u ϕ
2
2g
=z +
k
22
2g ρ
, z =h -
k
22
2g ρ
, 该式即为自由表面方程式。
4－14 直角（90）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。已知弯头内、外侧壁的曲率半径r 1、r 2分别为0.4m 和1.4m ，直段中均匀来流的流速为10m/s，流体密度为1.2kg/m3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。
k
解：由例4－6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为u ϕ=，式中k 是不为零的
ρ常数。k 值可由连续性方程决定，即
vb =
r 2r 1
r 2r 1
⎰
u ϕd ρ=
⎰
k
ρ
d ρ=k ln
r 2r 1
k =
10⨯(1.4-0.4)
ln 1.4
=7.99
外壁处流速 u ϕ
2
0.4k 7. 99==m /s =5. 71m /s ， ρ21. 4k
内壁处流速 u ϕ=
1
ρ1
7. 99
=m /s =19. 98 m /s 0. 4
30 题4-14图
内外壁处的压强差
∆p =p 2-p 1=
ρF
2
(u ϕ1-u ϕ2) =
22
1.22
(19.98-5.71) N /m=219.96N /m
2222
（注：外侧压强大）
ρ
常数。试求上述两流场中半径为ρ1和ρ2的两条流线间流量的表示式。
∂ψk
解：（1）=-u ϕ=-，ψ=-k ln ρ+f (ϕ)
∂ρρ
∂ψ
4－15 已知（1）u ρ=0，u ϕ=
k
，k 是不为零的常数；（2）u ρ=0, u ϕ=ωρ, ω为
2
ρ∂ϕ
=u ρ=
1
ρ
'
f (ϕ) =0，f (ϕ) =C 1
ψ=-k ln ρ+C 1，q =ψ2-ψ1=k ln （2）
∂ψ∂ρ
2
=-u ϕ=-ωρ，ψ=-
ρ1ρ2
12
ωρ+f (ϕ)
22
∂ψ
ρ∂ϕ
=u ρ=
12
2
1
ρ
2
'
f (ϕ) =0，f (ϕ) =C 2
ψ=-
ωρ+C 2，q =ψ2-ψ1=
12
ω(ρ1-ρ2)
222
4－16 直角内流动。已知平面流动的速度势Ф=a (x 2－y 2) ，流函数ψ=2axy ，式中a 为实数且大于零。等流函数、等势线，如图所示；当ψ=0时的流线称零流线，与两轴线重合。如果将x 、y 轴的正轴部分，用固体壁面来替换，即得直角内流动。试分析该流动沿壁面流动时，壁面上的压强分布。设静止处（坐标原点）的相对压强为零，流体密度为ρF 。
∂Φ∂Φ
=2ax ，u y =解:u x ==-2ay ∂x ∂y 沿壁面流动时，分两种情况：当沿x 轴流动时，y =0，u x =u =2ax p +ρF g
u
2
2g
=p +ρF g
(2ax ) 2g
2
=0，p =-2a x ρF
22
22
当沿y 轴流动时，x =0，u y =u =-2ay ，可得p =-2a y ρF
上述两种情况说明，负压随距转角点距离的平方成正比地增大。
4－17 兰金（Rankine ）椭圆。均匀直线流沿x 轴方向的速度为u ；源流强度与汇流强度均为q ，汇点置于x 轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点O 的距离均为a 。如果将上述组合成的复合势流的流函数ψ=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭圆，如图所示。试求该椭圆长半轴l 、短半轴b 的方程。
31
解：题述流动组合成的复合势流的流函数ψ为
ψ=uy +
q 2π
(arctan
y x +a
-arctan
y x -a
)
速度分布为
u x =u +u y =
q
q
(x +a )
2
2
2π(x +a ) +y
y
2
2
-q
q (x -a )
2
2
2π(x -a ) +y
y
2
2
2π(x +a ) +y
-
2π(x -a ) +y
因为驻点速度为零，即u x =0，u y =0解上两式可得驻点位置(x s ，y s 或ρs ，ϕs ) 为
x s =±，y s =0。
ρs =l （即为椭圆长半轴），ϕs =0，π。
通过驻点的流线的流函数ψs ，对于ϕ1=ϕ2=π，sin ϕ=sin π=0，则由上述复合势流的流函数表示式可得ψs =u ρsin π+
uy +
q 2π
(arctan
y x +a
-arctan
y x -a
q 2π
π-
q 2π
π=0。所以ψ=0的流线方程即为
) =0。如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这
个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b ，可将x =0，y =b 代入上式，由试算求得。
实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的情况不同，所以不能按上述方法求解。但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。 4－18 源流和汇流的强度q 均为60m 2/s，分别位于x 轴上的（－a ，0）、（a ，0）点，a 为3m 。计算通过（0，4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。 解：ψ=
30π
q 2π
(arctan
y x +a
-arctan
y x -a
) =
602π
(arctan
y x +3
-arctan
y x -3
)
通过（0，4）点的流线的流函数值为
ψ=
(arctan
43
-arctan
4-3) =
30π
[2⨯arctan
43
-π]=-12.29
通过（0，4）点的流速为
∂ψq x +a x -a 603-3u x ==[-]=(-)m/s=2.29m/s22222222
∂y 2π(x +a ) +y (x -a ) +y 2π3+43+4u y =-
∂ψ∂x
=-
q
2π(x +a ) +y [
-y
2
2
+
y (x -a ) +y
2
]=2
-602π
(
-43+4
2
2
+
43+4
2
2
)m/s=0m/s
4－19 向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。
试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。
Γq y 22
ln(x +y ) +arctan 解：ψ=uy +
4π
2π
u x =
∂ψ∂y
=u +
Γ⋅2y 4π(x +y )
2
2
++
q
2
x
x
2π(x +y ) q
(-y )
2
2
2
=u +]=
12π(x +y ) qy -Γx
2
22
2
(Γy +qx )
u y =-
∂ψ∂x
=-[
Γ⋅2x 4π(x +y )
2
2
2π(x +y ) 2π(x +y )
驻点的 u x =u y =0，所以
32
u x =u +u y =
Γy +qx 2π(x +y )
2
22
2
=0，u =
-(qx +Γy ) 2π(x +y ) x
2
2
qy -Γx 2π(x +y )
=0，y =
Γq
-[qx +u =
2π[x +(
x =
-q 2πu
2
Γx q
2
]
=
2
-q 2πx
Γq
x ) ]
，y =
Γ(-q ) q 2πu
=-
Γ2πu
（驻点坐标）
4－20 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱体中心位于坐标原点（0，0），半径为r 0=1m；均匀直线流速度u =3m/s。试求x =－2m ，y =1.5m点处的速度分量（u ρ，u ϕ）和（u x ，u y ）。
解：ρ=
=
y x
=2.5m
1.5-2
=143.13(第二象限)
ϕ=arctan =arctan
)m /s=-2.02m /s)m /s=-2.09m /s
u ρ=u cos ϕ(1-
r 0
2
ρ
) =3⨯cos143.13⨯(1-2
2
12.5
2
u ϕ=-u sin ϕ(1+
'
r 0
ρ
) =-3⨯sin 143.13⨯(1+2
12.5
2
由图中可知，ϕ=180-ϕ=180-143.13=36.87，所以
u x =u ρcos ϕ+u ϕsin ϕ(u ρ、u ϕ均取正值)
u x =(2.02? cos 36.87
'
' '
2.09 sin 36.87)m /s=2.87m/s
'
u y =u ϕcos ϕ-u ρsin ϕ=(2.09⨯cos 36.87-2.02⨯sin 36.87)m/s=0.46m /s
4-21 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱表面上的流速分布为u ϕ=－2u sin ϕ，u ρ =0，u 是均匀直线流速度。试证明作用于圆柱表面上的压强在x 轴及y 轴方向的合力都等于零。
解：由伯努利方程可得
p ∞
ρF g
+
u
2
2g
=
p
ρF g
+
u ϕ
2
2g
=C
33
或 p ∞+
ρF
2
u =
2
2
2
p +2ρF u s i n ϕ=
22
C
p =C -2ρF u sin ϕ
在圆柱上取d s =ρ0d ϕ，ρ0=r 0，作用于此
微段上的压力d F =p d s =p ρ0d ϕ；在x 、y 轴的分量分别为
d F x =-p ρ0cos ϕd ϕ，d F y =-p ρ0sin ϕd ϕ，对上
两式积分，分别为
F x =-⎰F y =-⎰
2π02π0
p ρ0cos ϕd ϕ=-⎰p ρ0sin ϕd ϕ=-⎰
2π02π0
(C -2ρF u sin ϕ) ρ0cos ϕd ϕ=0
2
2
22
(C -2ρF u sin ϕ) ρ0sin ϕd ϕ=0
2π0
因为
⎰
2π0
c o s ϕϕd =
，0⎰
2π0
2
sin ϕcos ϕd ϕ=0；⎰sin ϕd ϕ=0，⎰
2π0
sin ϕd ϕ=0.
3
即证明之。
34