随机变量及其分布列[1].版块三.离散型随机变量的期望与方差1.学生版

数学期望

知识内容

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X,Y,表示．

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值

x与该取值对应的概率p(i=1,2,,n)列表表示：

X的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

其中0

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量XX的分布列满足二点分布．

两点分布又称0-1布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，

这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

n-m

CmMCN-M

(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)． P(X=m)=

CnN

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，

M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列． ⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

kn-k

(k=0,1,2,,n)． Pn(k)=Cknp(1-p)

2．二项分布

若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复

kn-k

试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=Ck，其中k=0,1,2,npq是得到

,n．于

由式

0n-1nkn

(q+n

p=)0C+p+Cn+1p1q-n+kCk pqCpnqnnqn

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作X~B(n,p)．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则

E(X)=np，D(x)=npq(q=1-p)．

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个

b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 数a，

2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)x∈R

，其中μ，σ是参数，且σ>0，-∞

-(x-μ)22σ2

，

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望

为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ,σ2)． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)，(μ-2σ,μ+2σ)，(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

+∞)内的取值的概率为1，在区间(μ-3σ，μ+3σ)之外的取值的概率②正态变量在(-∞，

是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．

⑷若ξ~N(μ，则称F(x)=P(ξ≤x)=⎰-∞f(t)dt为概率分布σ2)，f(x)为其概率密度函数，

x-t2ξ-μ2

dt为标准正态分布函数． 函数，特别的，~N(0，

1)，称φ(x)=⎰σx-μ

P(ξ

σ

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

2

x

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(x)=x1p1+x2p2++xnpn，叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的

22

概率是p1，p2，…，pn，则D(X)=(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))p2++(xn-E(x))pn叫做这个离散型随机变量X的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

D(X

)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量．

b为常数，则E(aX+b)=aE(X)+b，3．X为随机变量，a，D(aX+b)=a2D(X)；

4． 典型分布的期望与方差： ⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．

⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)=np，D(x)=npq(q=1-p)．

M，n的超几何分布， ⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，

n(N-n)(N-M)MnM

则E(X)=，D(X)=．

N2(N-1)N

4．事件的独立性

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)，

这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发

An)=P(A1)⨯P(A2)⨯⨯P(An)，生的概率的积，即P(A1A2并且上式中任意多个事

件Ai换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概

率，用符号“P(B|A)”来表示．把由事件A与B的交（或积），记做D=AB（或D=AB）．

典例分析

A．3

【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）

B．3.5

C．4

D．4.5

【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向

上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）

A．20 B．25 C．30 D．40

2，3，4，5，6这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ． 【例3】 从1，

【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，

命中后尚余子弹数目ξ的期望为（ ）

A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4

【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概

1)）率为c（a、b、c∈(0，，已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它

得分情况），则ab的最大值为（ ）

11A． B．

4824

C．

1 12

D．

1 6

【例6】 一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有

15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．

P2(P【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为P1，1>P2)，已知该题被甲或

乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：

PP2； ⑴1，

⑵解出该题的人数X的分布列及EX．

【例8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示

只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人

1

都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求签约

2

人数ξ的数学期望．

【例9】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计

结果如下表所示：

⑴ ⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

【例10】 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参

加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格

2

方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，

3

1

科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影

2

响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

【例11】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，

飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为

30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投

掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望．

10

【例12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． ⑴ 求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； ⑵ 求η的分布列及期望Eη．

【例13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞

的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且

7

． 10

⑴求文娱队的人数； ⑵写出ξ的概率分布列并计算期望． P(ξ>0)=

【例14】 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话．已知某一时刻电话A、B占线的

概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．

【例15】 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是

0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市

时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X的分布及数学期望．

【例16】 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考

核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别

423

为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． 555⑴ 求该选手被淘汰的概率； ⑵ 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示）

【例17】 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试

过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．

⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率； ⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率； ⑶设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数

学期望EX．

【例18】 在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．

⑴ 求这3个数中恰有1个是偶数的概率； ⑵ 设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

【例19】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示

只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人

11

都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试

23

是否合格互不影响．求：

⑴ 至少有1人面试合格的概率； ⑵ 签约人数X的分布列和数学期望．

【例20】 某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段

时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：

①求至少一种电话不能一次接通的概率； ②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”． ⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望．

【例21

】 某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车

事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

11

，路段CD发生堵车事件的概率为）．记路线A→C→F→B中遇到1015

堵车次数为随机变量X，求X的数学期望E(X)．

1

10

15

【例22】 口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回

摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分

布列及数学期望．

【例23】 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中

每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：

⑴X的概率分布；⑵X的期望．

【例24】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A点和C1点处，每只

小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原

1

路线返回．如：甲在A时可沿AB，AD，AA1三个方向移动，概率都是，到

3

1

达B点时，可沿BC，BB1两个方向移动，概率都是．已知小蚂蚁每秒钟移动

2

的距离为1个单位．

⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？

⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？

D1A1

A甲1(乙)

C

【例25】 从集合{1，中，等可能地取出一个． 2，3，4，5}的所有非空子集．．．．

⑴记性质γ:集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

⑵记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，【例26】 某地有A、B、其中只有A到过疫区．B

肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是

1

．同样也假定D受A、B和C感染的概率都2

1

是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变．．3

量．写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）．

【例27】 ⑴用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区

域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?

⑵用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率． ⑶条件同⑵，记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求它的分布列及其数学期望EX．

图一图二

【例28】 有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字

1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2．

⑴如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少？

⑵从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X，求X的分布列和期望．

B两个代表队进行乒乓球对抗赛，【例29】 A，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B

B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

队队员是B1，

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队、B队最后总分分

η．求ξ，η的期望． 别为ξ，

【例30】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使

a1+a2+

ak=6，则称k为你的幸运数字．

⑴求你的幸运数字为4的概率；

⑵若k=1，则你的得分为6分；若k=2，则你的得分为4分；若k=3，则你的得

分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．

【例31】 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进

一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

⑴ 2⑵ 求随机变量ξ的数学期望Eξ； ⑶ 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

【例32】 在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．

⑴通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参

赛号码相同的概率；

12，，10）的⑵记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，，

概率分别为P1、P2．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．

【例33】 某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据盈利表进行决策，那么，合理的投资方案应该是哪种？

【例34】 甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果分别如下：

试比较他们的加工水平．

【例35】 一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开

发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可销售75万元．

⑴求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率．

⑵如果开发成功就召开新闻发布会的话，求开发商的盈利期望．

⑶如果不召开新闻发布会，求开发商盈利的期望值，并由此决定是否应该召开新闻发布会．

【例36】 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，

将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．）

【例37】 最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：

第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利

1

40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为；

2

第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利

311

20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为；

555

第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．

针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．

【例38】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林

的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概

率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令ξi(i=1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． ⑴写出ξ1，ξ2的分布列； ⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ ⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

【例39】 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数

q3

关系式为C=-3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景无法确定，有三种

3

可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：

23kq，1而市场前景无法确定的利润． ⑴分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；

⑵当产量q确定时，求期望Eξk； ⑶试问产量q取何值时，市场无法确定的利润取得最大值．

【例40】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的

分布列P(ξ=k)=

1

(ξ=1，2，，12)，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利12

300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商

月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？

【例41】 某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据

以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．

⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望； ⑵店主每天玫瑰花的进货量x（30≤x≤50，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰

21