高考数学专题复习--导数
2016年高考数学专题复习——导数
目录
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
一、有关切线的相关问题
例题、【2015高考新课标1,理21】已知函数f (x )=x 3+ax +(Ⅰ) 当a 为何值时,x 轴为曲线y =f (x ) 的切线; 【答案】(Ⅰ)a =
1
, g (x ) =-ln x . 4
3 4
跟踪练习:
1、【2011高考新课标1,理21】已知函数f (x ) =处的切线方程为x +2y -3=0。 (Ⅰ)求a 、b 的值;
a ln x b
+,曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))x +1x
α(
解:(Ⅰ)f '(x ) =
x +1
-ln x )
b - 22
(x +1) x
⎧f (1)=1,
1⎪
由于直线x +2y -3=0的斜率为-,且过点(1,1),故⎨1即
2f '(1)=-, ⎪⎩2
⎧b =1,
⎪⎨a 1 -b =-, ⎪⎩22
解得a =1,b =1。
2、(2013课标全国Ⅰ,理21) 设函数f (x ) =x 2+ax +b ,g (x ) =e x (cx +d ) .若曲
线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1)求a ,b ,c ,d 的值;
解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4. 而f ′(x ) =2x +a ,g ′(x ) =e x (cx +d +c ) , 故b =2,d =2,a =4,d +c =4. 从而a =4,b =2,c =2,d =2.
be x -1x
3、 (2014课标全国Ⅰ,理21) 设函数f (x 0=ae ln x +,曲线y =f (x ) 在点(1,
x
f (1)处的切线为y =e (x -1) +2. (Ⅰ) 求a , b ;
a x b x -1b x -1x
【解析】:(Ⅰ) 函数f (x ) 的定义域为(0, +∞),f '(x ) =ae ln x +e -2e +e
x x x
由题意可得f (1)=2, f '(1)=e ,故a =1, b =2 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
(一)单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题:【2015高考江苏,19】
已知函数f (x ) =x +ax +b (a , b ∈R ) . (1)试讨论f (x ) 的单调性;
【答案】(1)当a =0时, f (x )在(-∞, +∞)上单调递增; 当a >0时, f (x )在 -∞, -
3
2
⎛
⎝2a ⎫⎛2a ⎫
0, +∞,上单调递增,在()⎪ -,0⎪上单调递减;
3⎭⎝3⎭2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增,在 0, -⎪上单调递减.
3⎭⎝3⎭⎝
当a
2a ⎫⎛2a ⎫⎛'x ∈-∞,0 -, +∞x ∈0, -f x >0() 当a
所以函数f (x )在(-∞,0), -
2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增,在 0, -⎪上单调递减.
3⎭⎝3⎭⎝
练习:1、已知函数f (x ) =ln x -ax +
⑴当a ≤
1-a
-1(a ∈R ) . x
1
时,讨论f (x ) 的单调性; 2
1-a l a -1-ax 2+x +a -1
-1(x >0) ,f '(x ) =-a +2=答案:⑴f (x ) =ln x -ax +(x >0) 2x x x x
令h (x ) =ax 2-x +1-a (x >0)
①当a =0时,h (x ) =-x +1(x >0) ,当x ∈(0,1),h (x ) >0, f '(x )
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0,函数f (x ) 单调递增.
②当a ≠0时,由f '(x ) =0,即ax 2-x +1-a =0,解得x 1=1, x 2=当a =
1
-1. a
1
时x 1=x 2,h (x ) ≥0恒成立,此时f '(x ) ≤0,函数f (x ) 单调递减; 211
当01>0, x ∈(0,1)时h (x ) >0, f '(x )
2a 1
x ∈(1,-1) 时,h (x ) 0,函数f (x ) 单调递增;
a 1
x ∈(-1, +∞) 时,h (x ) >0, f '(x )
a
1
当a 0, f '(x )
a
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0,函数f (x ) 单调递增.
综上所述:当a ≤0时,函数f (x ) 在(0,1)单调递减,(1,+∞) 单调递增;
1
时x 1=x 2, h (x ) ≥0恒成立, 此时f '(x ) ≤0,函数f (x ) 在(0,+∞) 单调递减; 2111
当0
2a a
当a =
2、已知a 为实数,函数f (x ) =(1+ax )e x ,函数g (x ) =当a
解:函数F (x ) =
1
,令函数F (x ) =f (x ) ⋅g (x ) . 1-ax
1+ax x ⎧
e ,定义域为⎨x x ≠1-ax ⎩
-a x +2a +1x
e =
(1-ax ) 2
2
2
1⎫⎬. a ⎭
-a 2(x 2-
当a
2a +1
)
2e x . (1-ax ) 2
令F '(x ) =0,得x 2=
2a +1
. ……………………………………9分 a 2
1
①当2a +1
2
111
∴当a
2a a 12a +1
x 2= ②当-
2得x 1= 2a
1
∵
a 11
∴令F '(x )
a a
令F '(x ) >0,得x ∈(x 1, x 2) . ……………………………13分
1
11
,
) ,(a a 2
(+∞) ;函数F (x
) 单调增区间为. …………15分
1
③当2a +1=0,即a =-时,由(2)知,函数F (x ) 的单调减区间为(-∞, -2) 及
2
(-2, +∞)
∴当-
2、根据判别式进行讨论
例题:【2015高考四川,理21】已知函数f (x ) =-2(x +a )ln x +x 2-2ax -2a 2+a ,其
中a >0.
(1)设g (x ) 是f (x ) 的导函数,评论g (x ) 的单调性; 【答案】(1)当0
1时,g (x
) 在区间
+∞) 上单调递增,4在区间增.
1上单调递减;当a ≥时,g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递
4【解析】(1)由已知,函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ,
a
g (x ) =f '(x ) =2x -2a -2ln x -2(1+) ,
x 112(x -) 2+2(a -)
22a . 所以g '(x ) =2-+2=2x x x
当0
1时,g (x
) 在区间+∞) 上单调递增,
4在区间当a ≥
上单调递减; 1
时,g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递增. 4
a
,a ∈R . x
练习: 已知函数f (x ) =ln x -x -
(1)求函数f (x ) 的单调区间; 解:函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) .
1a -x 2+x +a
f '(x ) =-1+2=.
x x x 2
令f '(x ) =0,得-x 2+x +a =0,记∆=1+4a .
1
(ⅰ)当a ≤-时,f '(x ) ≤0,所以f (x ) 单调减区间为(0,+∞) ; …………5分
41
x 2= (ⅱ)当a >-时,由f '(x ) =
0得x 1= 4
1
①若-x 2>0,
4
由f '(x ) x 1;由f '(x ) >0,得x 2
) ,+∞
) ,单调增区间为 所以,f (x
) 的单调减区间为; …………………………………………………………7分
②若a =0,由(1)知f (x ) 单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞) ;
③若a >0,则x 1>0>x 2,
由f '(x ) x 1;由f '(x ) >0,得0
+∞
) ,单调增区间为. ……9分 f (x
) 的单调减区间为1
综上所述:当a ≤-时,f (x ) 的单调减区间为(0,+∞) ;
4
1
,+∞) ,
当-
) 的单调减区间为4
; 单调增区间为+∞) ,单调增区间
为 当a ≥0时,f (x ) 单调减区间
为. ………………………………………………………10分
1
2. 已知函数f (x ) =a (x -) -2ln x (a ∈R ) .
x
求函数f (x ) 的单调区间;
12ax 2-2x +a
解:函数的定义域为(0, +∞),f '(x ) =a (1+2) -=. ……………1分
x x x 2
(1)当a ≤0时,h (x ) =ax 2-2x +a
则f '(x )
2
(2)当a >0时,∆=4-4a ,
(ⅰ)若0
由f '(x ) >0,即h (x ) >
0,得x
或x >; ………………5分
11+由f '(x )
0,得.………………………6分
a a 1
1所以函数f (x
) 的单调递增区间为(0,和(+∞) ,
a a
单调递减区间为. ……………………………………7分
(ⅱ)若a ≥1,h (x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立,则f '(x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立,此时f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增. ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
例题:已知函数f (x ) =x x -a -ln x .
(1)若a =1,求函数f (x ) 在区间[1,e ]的最大值; (2)求函数f (x ) 的单调区间; (3)若f (x ) >0恒成立,求a 的取值范围 解:(1)若a =1, 则f (x ) =x x --ln x .
12x 2-x -1
>0, 当x ∈[1,e ]时, f (x ) =x -x -ln x , f (x ) =2x -1-=
x x
2
'
所以f (x ) 在[1,e ]上单调增, ∴f (x ) max =f (e ) =e 2-e -1. ……………2分 (2)由于f (x ) =x x -a -ln x ,x ∈(0,+∞) .
12x 2-ax -1
(ⅰ)当a ≤0时,则f (x ) =x -ax -ln x ,f (x ) =2x -a -=,
x x
2
'
a + 令f (x ) =
0,得x 0=, >0(负根舍去)
4
'
且当x ∈(0,x 0) 时,f (x ) 0,
' '
a
a + 所以f (x
) 在(0,上单调减,在(+∞) 上单调增. ……4分
44
(ⅱ)当a >0时,
12x 2-ax -1
①当x ≥a 时, f (x ) =2x -a -=,
x x
'
令f (x ) =
0,得x 1=
x =,
'
≤a ,即a ≥1, 则f ' (x ) ≥0,所以f (x ) 在(a , +∞) 上单调增;
) 时,>a ,即0
a
a +上是单调减,在(+∞) 上单调f (x ) >0,所以f (x
) 在区间(0,
44
'
增. ……………………………………………6分
1-2x 2+ax -1
②当0x x
'
'
令f (x ) =0,得-2x +ax -1=0,记∆=a -8,
22
'
若∆=a -8≤
0,即0
2
若∆=a -8>
0,即a >
2
a a +则由f (x ) =
0得x 3=
,x 4=且044
'
当x ∈(0,x 3) 时,f (x ) 0;当x ∈(x 4, +∞) 时,
' '
a
a a +
上是单调减,在(f (x ) >0,所以f (x
) 在区间(0,
444
'
a 上单调增;在(+∞) 上单调减. …………………………………………8分
4
综上所述,当a
) 单调递减区间是 ,f (x ) 单调递增区间
a +是(+∞) ;
4
当1≤a ≤, f (x ) 单调递减区间是(0,a ) ,f (x ) 单调的递增区间是
(a , +∞) ;
当a >, f (x ) 单调递减区间是
(0, )
和a ) ,
a a f (x
) 单调的递增区间是(和(a , +∞) . ………………10分
44
(3)函数f (x ) 的定义域为x ∈(0,+∞) . 由f (x ) >0,得x -a >
ln x
. * x
ln x
(ⅰ)当x ∈(0,1)时,x -a ≥0,(ⅱ)当x =1时,-a ≥0,
ln x
=0,所以a ≠1; ………………12分 x
(ⅲ)当x >1时,不等式*恒成立等价于a
ln x ln x
恒成立或a >x +恒成立. x x
ln x x 2-1+ln x
令h (x ) =x -,则h '(x ) =.
x x 2因为x >1,所以h '(x ) >0,从而h (x ) >1. 因为a
ln x
恒成立等价于a
ln x x 2+1-ln x
令g (x ) =x +,则g '(x ) =. 2
x x
1
再令e (x ) =x 2+1-ln x ,则e '(x ) =2x -0在x ∈(1,+∞) 上恒成立,e (x ) 在x ∈(1,+∞) 上
x 无最大值.
综上所述,满足条件的a 的取值范围是(-∞,1) . …………………………16分 2.设a 为实数,函数f (x ) =x |x -a | (2)求函数f (x ) 的单调区间
2
4、分奇数还是偶数进行讨论
n *
例题:【2015高考天津,理20已知函数f (x ) =n x -x , x ∈R ,其中n ∈N , n ≥2.
(I)讨论f (x ) 的单调性;
【答案】(I) 当n 为奇数时,f (x ) 在(-∞, -1) ,(1,+∞) 上单调递减,在(-1,1) 内单调递增;当n 为偶数时,f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增,f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减. (II)见解析; (III)
见解析
.
(2)当n 为偶数时,
当f '(x ) >0,即x 1时,函数f (x ) 单调递减.
所以,f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增,f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减.
5、已知单调区间求参数范围
例题:(14年全国大纲卷文)函数f(x )=ax 3+3x 2+3x (a≠0).
(1)讨论函数f(x ) 的单调性;
(2)若函数f(x ) 在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.
22解:(1)f '(x ) =3ax +6x +3,f '(x ) =3ax +6x +3=0的判别式△=36(1-a ).
(i )若a ≥1,则f '(x ) ≥0,且f '(x ) =0当且仅当a=1,x =-1,故此时f (x )在R 上是增函数.
(ii )由于a ≠0,故当a
0有两个根:x 1=
, x 2=
若00,故f (x )在(-∞,x 2),(x 1,+∞)上是增函数;
当x ∈(x 2,x 1)时,f '(x )
(2)当a>0,x >0时, f '(x ) >0,所以当a>0时,f (x )在区间(1,2)是增函数. 若a
-
5
≤a
综上,a 的取值范围是[-
5
,0) (0,+∞) . 4
二、极值
(一)判断有无极值以及极值点个数问题
例题:【2015高考山东,理21】设函数f (x )=ln (x +1)+a (x 2-x ),其中a ∈R .
(Ⅰ)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由;
(2)当a >0 时, ∆=a -8a (1-a )=a (9a -8)
2
①当0
8
时,∆≤0 ,g (x )≥0 9
所以,f '(x )≥0,函数f (x )在(-1, +∞)上单调递增无极值; ②当a >
8
时,∆>0 9
设方程2ax 2+ax +1-a =0的两根为x 1, x 2(x 1
1 2
11, x 2>- 44
1
, 4
由g (-1)=1>0可得:-1
所以,当x ∈(-1, x 1)时,g (x )>0, f '(x )>0 ,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 1, x 2)时,g (x )0, f '(x )>0 ,函数f (x )单调递增; 因此函数f (x )有两个极值点. (3)当a 0 由g (-1)=1>0可得:x 1
当x ∈(-1, x 2)时,g (x )>0, f '(x )>0 ,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2, +∞)时,g (x )
当a
8
时,函数f (x )在(-1, +∞)上无极值点;9
8
时,函数f (x )在(-1, +∞)上有两个极值点; 9
2
例题:【2015高考安徽,理21】设函数f (x ) =x -ax +b .
(Ⅰ)讨论函数f (sinx ) 在(-【解析】
ππ
, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
22
(Ⅰ)f (sinx ) =sin x -a sin x +b =sin x (sinx -a ) +b ,- [f (sinx )]'=(2sinx -a ) cos x ,- 因为-
2
π
2
π
2
.
π
2
π
2
.
π
2
π
2
,所以cos x >0, -2
①当a ≤-2, b ∈R 时,函数f (sinx ) 单调递增,无极值. ②当a ≥2, b ∈R 时,函数f (sinx ) 单调递减,无极值. ③当-2
ππ
, ) 内存在唯一的x 0,使得2sin x 0=a . 22
π
2
π
2
时,函数f (sinx ) 单调递增.
因此,-2
a a 2
f (sinx 0) =f () =b -.
24
(二)已知极值点个数求参数范围
e x 2
例题:【14年山东卷(理)】 设函数f (x )=2-k (+ln x ) (k 为常数,e =2.71828
x x
是自然对数的底数)
(I )当k ≤0时,求函数f (x )的单调区间;
(II )若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围。
e x ⋅x 2-2xe x 21
解:(1)f (x ) =-k (-+)
x 4x 2x
(x -2)(e x -kx ) =(x >0)
x 3
当k ≤0时,kx ≤0, ∴e x -kx >0
'
令f ' (x ) =0, 则x =2
∴当x ∈(0, 2) 时,f (x ) 单调递减;当x ∈(2, +∞) 时,f (x ) 单调递增。(2)令g (x )=e x -kx 则g ' (x ) =e x -k ∴e x =k , x =ln k
g ' (0) =1-k 0
e 2
g (2) =e -k >0, g (2)=e -2k >0∴k
2
g (ln k )=e ln k -k ln k 1∴k >e
'
2
2
e 2
综上:e 的取值范围为(e , )。
2
练习:1、【2014年天津卷(理)】
2、(2014湖南)(本小题满分13分)
已知常数a >0,函数f (x ) =ln(1+ax ) -
(Ⅰ)讨论f (x ) 在区间(0,+∞) 上的单调性;
(Ⅱ)若f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2,且f (x 1) +f (x 2) >0,求a 的取值范围.
2x
. x +2
ax 2+4(a -1)a (x +2)-4(1+ax )a 4
-【解析】(Ⅰ)f ' (x )=(, *) ==22
1+ax (x +2)2(1+ax )(x +2)(1+ax )(x +2)
因为(1+ax )(x +2)>0, 所以当1-a ≤0时,
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时,函数f (x )在(0, +∞)单调递增,
2
2
x 2=-, 当x ∈(0,x 1) 时,f ' (x )
当0
x )=0⇒x 1=故f (x )在区间(0,x 1) 单调递减, 在(x 1, +∞) 单调递增的. 综上所述
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时,函数f (x )在(0, +∞)单调递增, 当0
)在区间 的.
⎛ ⎝⎛⎫上单调递减,
在 上单调递增∞⎪ ⎪⎝⎭
(Ⅱ)由(*)式知,当a ≥1时,f ' (x )≥0函数f (x )不存在极值点,因而要使得f (x )有两个极值点,必有0
是x 1=
和x 2=-, 且由f (x )的定义可知,x >-且x ≠-
2,所以-1a 1>-
,--2,a 解得a ≠-,此时,(*)式知x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点,而
1
2
f (x 1) +f (x 2) =ln(1+ax 1) -
2x 12x 2
+ln(1+ax 2) - x 1+2x 2+2
2
=ln ⎡⎣1+a (x 1+x 2)+a x 1x 2⎤⎦-
4x 1x 2+4(x 1+x 2)2x 1x 2+2x 1+x 2+4
2
=ln (2a -1)-
令2a -1=x ,由0
当0
2
4(a -1)2a -1
=ln (2a -1)+
2
-2 2a -1
a ≠-
12知
112
时, -122x
2
-2,所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=
x x x 2
因此,g (x ) 在(-1,0)上单调递减,从而g (x )
(ⅰ)当-11
时,f (x 1) +f (x 2)
2
-2,所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=2
x x x
因此,g (x ) 在(0,1)上单调递减,从而g (x ) >g (1)=0,
(ⅱ)当0
1
0 2
⎛1⎫
综上所述,满足条件的a 的取值范围是为 ,1⎪.
⎝2⎭
【考点定位】函数与导数:应用导数研究函数单调性与极值,不等式.
(三)最值