小学数学思想方法的梳理(六)

课程教材研究所　王永春

六、几何变换思想

变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。

1. 初等几何变换的概念。

初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。

(1)平移变换。

将平面上任一点P变换到P′，使得：(1) 射线PP′的方向一定；(2) 线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。

平移变换有以下一些性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。

③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。

(2)旋转变换。

在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ

旋转变换有以下一些性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。

③在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。

(3)反射变换。

在同一平面内，若存在一条定直线Ｌ，使对于平面上的任一点P及其对应点P′，其连线PP′的中垂线都是Ｌ，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线Ｌ称为对称轴，也叫反射轴。

轴对称有如下性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在反射变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角的平分线为Ｌ。

③两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。

轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念，前者是指图形之间的关系或折叠运动，后者是指一个图形。中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴对称性质，可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。

(4)相似变换。

在同一平面内，图形中的任意两点A、B，变换后的对应点为A′、B′，也就是任一线段AB变换成A′B′，总有

A′B′＝K·AB(K>0，且为常数)，

则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。其中的K称为相似比或相似系数，当K＝1时，即为合同变换。

相似变换有以下一些性质：

①两个图形的周长的比等于相似比。

②两个图形的面积的比等于相似比的平方。

③两条直线的夹角保持不变。

生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。

2. 几何变换思想的重要意义。

课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质，周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理能力及观察、操作、实验能力并重的全面的、和谐的发展。其中推理不仅仅重视演绎推理，还特别强调合情推理。也就是说，新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念、创新精神、探索能力、推理能力、计算能力、几何模型等全面、和谐的发展。而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一，在几何的育人功能方面发挥着非常重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象，因而了解图形的变换，有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步的空间观念。利用图形变换设计美丽的图案，有利于感受、发现和创造生活的美，有利于认识图形之间的关系和发展空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过运动变换，找到更加简捷的解决问题的方法。

3. 几何变换思想的具体应用。

图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一，在图形的性质的认识、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要的应用。

小学数学中几何变换思想的应用如下表。

思想方法

知识点

应用举例

轴对称

画简单的轴对称图形

认识轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形

平移变换

认识平移，把简单图形平移

判断生活中物体的运动哪些是平移现象

画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形

旋转变换

感知旋转现象

判断生活中物体的运动哪些是旋转现象

把简单图形旋转90°

画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转90°后的图形

合同变换

图形的性质、面积的计算

平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想

图案的欣赏和设计

判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；

利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案

相似变换

把简单图形放大或缩小

画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形

4．几何变换思想的教学。

(1)课程标准关于图形变换的教学要求。

课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次：

学段

内容和目标

第一学段

结合生活实例，感知平移、旋转和轴对称现象。

在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形

认识轴对称图形，在方格纸上画出简单图形的轴对称图形

第二学段

认识图形的平移和旋转，体会图形的相似

确定轴对称图形的对称轴，在方格纸上画出一个图形的轴对称图形

在方格纸上画出简单图形平移或旋转90°后的图形；在方格纸上画出简单图形按一定比例放大或缩小后的图形

判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的，利用平移、旋转和轴对称等变换，设计图案

(2)教学中需要注意的问题。

图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了轴对称，而且不是几何中的主要内容。课程标准与大纲相比，在第一、二学段的空间与图形领域的图形变换方面，新增加了平移、旋转和相似变换。这些内容虽然难度不大，但是对概念的准确性和教学要求比较难把握，给一些教师的备课和教学带来一定困惑。下面谈一谈如何把握相关的概念和教学要求。

第一，对一些概念的准确把握。

平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动，都可以称之为平移现象或旋转现象。而中小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换，也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形，而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平移现象、旋转现象和轴对称现象，如果把生活中这些物体画成平面图形，并且在同一平面上运动，就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。

一个变换是不是合同变换或相似变换，要依据概念进行判断。如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向，实际上平移也可以沿斜线方向平移，只要满足平移的两个条件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移现象，画成平面图形就是平移变换。再如旋转，象旋转门、螺旋桨、水龙头等都可以看成旋转现象，但是要注意它的严密性：一是旋转中心必须固定，二是物体不能变形，三是旋转的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运动才是旋转变换。另外，几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的，与图形的颜色等无关。

案例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？

分析：严格来说，物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上的位置是固定的，轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了，轮胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，后者是平移。

案例2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？

分析：直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动，但是它的旋转中心一直在移动，没有固定，因此不能看成几何意义上的旋转，只能说它是生活中的旋转现象。当它停在陆地上时螺旋桨的转动就可以看成旋转了。

案例3：下面的图形是轴对称图形吗？

分析：一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，这样的图形才是轴对称图形，而光有四周或轮廓重合是不够的。图(1)从三角形的顶点向底边作一条垂线，垂线两边的轮廓能够重合，但是小方格没有对应的重合的部分，因此，它不是轴对称图形。图(2)是轴对称图形。

第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。

小学几何中的很多平面图形都是轴对称图形，如长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有关性质的认识；另一方面要在学习这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点。

在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时，包括在计算组合图形的面积时，都用到了变换思想。如三角形面积公式的推导，是把任意两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，再利用三角形和平行四边形的关系，求出三角形的面积公式。这实际上是把任意一个三角形旋转180度，再沿着一条边平移，就组合成了一个平行四边形。也就是说，把任意一个三角形经过旋转和平移变换，就变换成了平行四边形。梯形面积公式的推导也是利用了这个原理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形的面积，实际上也用到了旋转变换。

案例4:小明家的院子里有一块长30米、宽20米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而且宽都是1米的小路。这块地实际种菜的面积是多少？

分析：此题对于小学生来说，并不是难题，可以有多种方法。这里可以应用平移原理，把小路向底边和右边平移。这时实际种菜的面积就转化为求长29米、宽19米的长方形的面积，用长乘宽就可求出面积。

案例5: 如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是2cm，求阴影部分的面积。

分析：此题从表面上看，阴影部分比较分散，没有足够的数据计算每部分阴影的面积。根据两条直径相互垂直可以得出每个圆都被平均分成了4份，每一份旋转90度都可以与相邻的部分重合。因此，可以把最外圈阴影部分的四分之一大圆绕圆心顺时针旋转90度，把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转90度，使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影的面积为：

×π×22=π(cm2)。

以上解题思路告诉我们，在计算一个图形尤其是组合图形的面积时，利用变换原理可以使原有的图形得到新的组合图形，转化为易于计算面积的图形，从而简化计算的步骤。

第三，对教学要求和解题方法的准确把握。

如前所述，课程标准对图形变换的内容和教学要求有比较清晰的描述，尤其是要把握好两个学段的内容、教学要求和解题方法。

首先像直观判断题，例如，一个平面内有若干图形，要判断哪些图形经过平移可以互相重合，对于小学生来说很难用任何一对对应点的连线平行且相等来判断，只能通过直观感受判断，也就是说直观感受原图形在没有任何转动的情况下，通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合，就是平移。同一平面内的任何两个图形，如果通过平移后能够重合，那么最多只需要通过两次水平或者竖直方向的平移就能够重合，借助方格纸可以帮助我们理解其中的道理。如在方格纸上原图形中的点Ａ(2，3)，经过平移后它的对应点为A′(8，10）。那么原图形可以通过先向右平移6格，再向上平移7格；或者先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移后的图形。

其次像作图题，例如，画出一个图形沿着一个方向平移几格后的图形，应让学生明确，一个图形沿着一个方向平移几格，那么这个图形上的任何一个点和线段都沿着相同的方向平移几格。可重点掌握以下几个步骤：找出图形的关键的几个点；明确平移的方向和距离；画出平移后关键点的对应点；按照原图形的顺序连结各个点。再如，画出一个图形旋转90度后的图形，应让学生明确，一个图形绕一个点沿一个方向旋转多少度，那么这个图形上的任何一个点和线段都围绕该点沿着相同的方向旋转相同的度数。可重点掌握以下几个步骤：确定旋转中心、旋转方向；找出图形的关键的几个点；画出旋转后关键点的对应点；按照原图形的顺序连结各个点。其中的难点是，图形的关键点与旋转中心的连线是斜线的时候如何旋转90度，可以先画能够确定旋转90度的线段，再根据原图形的形状特点来确定其他的关键点。

另外，在学习利用平行线画平行四边形之前，还可以利用平移在方格纸上画平行四边形，在方格纸上先任意画出顶点在方格交叉点上的相邻两条边，再根据平移的原理画出相对的两条边。