可以秒杀的移树问题
可以秒杀的移树问题
湖北分校 王轶
说移树问题可能很多同学没听过，但如果说植树问题，估计还是有很多同学知道的，甚至能迅速地反应出一些相应的考点和公式：
线性植树的棵数=总长÷间隔+1
楼间植树的棵数=总长÷间隔-1
环形植树的棵树=总长÷间隔
但是像这一类基础的植树问题一般都难不倒大家，要么直接套用公式，要么列方程求解，大部分的题目都能手到擒来，而今天要给大家分享的就是其中一类比较难的——移树问题。 话多无益，上题再聊！
【例】马路的一旁种了7棵树，其中路的两端各种有一棵，且所有相邻的树距离相等。现在需要再种入3棵树，且通过移动一部分树(不含首尾) 使所有相邻的树距离相等，则原来的7棵树当中有多少棵不需要移动位置？（ ）
A.1
C.3 B.2 D.4
【传统解法】原来有7棵树即有6个间隔，现在加3棵树，就是10棵树有9个间隔。因此可以假设这条路的长度为18米（6和9的公倍数），这样可得原来每个间隔为3米，而现在每个间隔为2米，当出现3和2的公倍数的时候，树木是不需要移动的，在18米当中3和2的公倍数有6、12、18，再加上起点的一棵树不需要移动，所以一共不需要移动的有4棵树。故此本题答案为D 。
【秒杀法】原来的7棵数有6个间隔，现在10棵数有9个间隔，6和9的最大公约数为3，那么不需要移动的棵数为3+1=4，故此本题答案为D 。
结论推导：假如原来的棵树为a+1（间隔即为a ），现在的棵树为b+1（间隔即为b ），同时a ＜b 。那么我们按照传统的方法来做会先设这条路的总长度为间隔数a 和b 的公倍数，可以设为a ×b 米，那么原来每个间隔为b 米，现在每个间隔为a 米，当出现b 米和a 米的公倍数的时候即是不需要移动的树木。 所以不需要移动的棵树=a ⨯b 米+1 b 米和a 米的最小公倍数
即得结论：不需要移动的棵数=间隔数的最大公约数+1。
有了这个结论以后遇见这类题型就可以直接秒杀了。最后我们拿两道真题验证一下。
【北京市考】某条道路的一侧种植了25棵杨树，其中道路两端各种有一棵，且所有相邻的树离相等。现在需要增种10棵树，且通过移动一部分树(不含首尾两棵) 使所有相邻的树距离相等，则这25棵树中有多少棵不需要移动位置？
A. 3
C. 5
【答案】A
【结论验证】原来的间隔为24个，现在的间隔为34个，24和34的最大公约数为2，所以不需要移动的棵数为=2+1=3。故此答案为A 。
【广东省考】在一条新修的道路两侧各安装了33座路灯，每侧相邻路灯之间的距离相同。为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16座路灯，要使加路灯后相邻路灯之间的距离也相同，最多有（ ）座原来的路灯不需要挪动。
A.9
C.18
【答案】C
【结论验证】原来一侧有33座路灯（间隔为32个），现在一侧有41座路灯（间隔为40个），32和40的最大公约数为8，所以一侧不需要移动的棵数为=8+1=9，那么两侧一共就有9×2=18座灯不需要移动。故此本题答案为C 。 B.10 D.20 B. 4 D. 6
结论梳理：
①不移动的棵数（包括首尾两棵）=间隔数的最大公约数+1
②不移动的棵数（不算首尾两棵）=间隔数的最大公约数-1
③若问道路的两侧不需要移动的棵数，就在①或②的基础上乘以2