行列式的计算方法
行列式的计算方法
摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式 矩阵 降阶
The Methods of Determinant Calculation
Abstract ：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants
produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.
Keywords: determinant matrix reduction.
1．引言
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外, 还在各种工程领域有着广泛的应用, 是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
二阶行列式：三阶行列式：
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a 13
a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33⑵ a 33
a 11a 21
a 12a 22
=a 11a 12-a 12a 21⑴
由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律：
1⑵中每项都是三个数的乘积，○并由行标与列标可以看出，这三个数分别取
自行列式的不同行与不同列；
2⑵式正好有6项，它恰好是1，2，3全排列的个数。 ○
τ(j 1j 2j 3) 3每项a , a ○前面的符号为，其中τ(j 1j 2j 3) 为j 1j 2j 3的逆序(-1) , a 1j 12j 23j 3
数。
这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。
在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是n 个元素的乘积，但是由于这
n 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n 个元素(譬如a 11, a 12 a 1n ) 来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而n 级行列式一共有n ! 项，计算它就需要做n ! (n -1) 个乘法。当n 较大时，n ! 是一个相当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，[1]本文依据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方法。
2. 计算行列式的常用方法
2.1 利用行列式的定义直接计算
根据行列式的定义D n =
j 1j 2 j n
∑(-1) τ
(j 1j 2 j n )
a 1j 1a 2j 2 a nj n ，可以利用行列式的定
义直接计算低阶稀疏行列式。 例1. 利用行列式的定义计算n 阶行列式
010
002 D n =
00
000 n -n 00 0
解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n 个元素的
乘积，通过观察可知D n 的展开式中只有一个非零项12 (n -1) n =n ! ，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为23 n 1，其逆序数为n -1, 故D n =(-1) n -1n ! 当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。 2.2 利用化为三角形的方法计算
利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式, 这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积。而对于非零元素位于次对角线的情形, 行列式的值等于(-1) 上所有元素的乘积。
例2 利用上三角形法计算n 阶行列式
n (n -1)
2
与次对角线
λ1-x 1λ2
λ1λ2-x 2
λ2 D n =λ1
λ3
λ3λ3-x 3
λn λn λn
λ1λ1-x 1
解：D n =
x 1x 1 x 1
λ2λ2
-x 20 0
λ3
λ3
0 -x 3 0
λn -x n
λn
-x n
λ1
x 1
=x 1x 2 x n
-111 1
λ2
x 2-10 0-1
λ3
x 30 0
λn
x n 00
-1
-1
∑x
i =1
n
λi
00 0
i
λ2
x 2-10 0
λ3
x 30 0
λn
x n 00
=x 1x 2 x n
-1
-1
=(-1)
n -1
x 1x 2 x n ∑
i =1
n
λi
x i
-
在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。 2.3 利用降阶法计算行列式
在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个n 阶行列式化为n 个n -1阶行列式来计算。若再继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。
例3. 利用降阶法计算n 阶行列式
a b 0 00
0a b 00
D n =
000 a b b 00 0a
解：依据行列式按行（列）展开的定理，将D n 按第一行展开，即得：
a b 00
0a 00
-b D n =a
00 a b 00 0a
0b 000a 00 00 a b b 0 0a
0b 00
0a 00
=a n -b
00 a b
b 0 0a
然后将后面的行列式按第一列展开，即得
b 0 00
a b 00
=a n +(-1) n +1b n ⨯
00 b 000 a b
D n =a n -bb (-1)n
值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为n 阶行列式D n 的第i 行构成
k
的k 级子式有C n 个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法
往往无效。[2]
利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的
n +1阶行列式呢？
2.4 镶边法
a 11
a 21
一个n 阶行列式
a n 1
a 12 a 1n a 22 a 2n
，如果a 11a 12 a 1n 或a 11a 21 a n 1中除了a 11
a n 2 a nn
外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化为一个计算n -1阶行列式。反过来，也可以利用相同的方法把一个n 阶行列式转化为一个与之相等的n +1阶行列式，这就是镶边法。
2.4.1 镶边法解题步骤
1通过加边（列）的方法把一个n 级行列式转化为一个与之相等的n +1阶 ○
行列式；
2根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）○
使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2 镶边的一般方式
[3]
1首行首列 ○2首行末列 ○3末行首列 ○4末行末列。○
当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。 例4 利用镶边法计算n 阶行列式
x 1+y 1
x 2 x 2
x n x n
x n +y n
(y 1y 2 y n ≠0)
x 1 x 1
x 2+y 2
D n =
1
x 1x 2
x n x n
x n
0x 1+y 1
x 1解： D n =0
01
x 1x 1
x 2
x 2
x 2+y 2 x 2 x n
00
x n +y n
-1y 1
=-10
-1
0 y 2 0
y n
+
=
x x 1
+ +n y 1y n
00 0
x 1y 10 0
x 20 0
x n
00 y n
y 2
=y 1y 2 y n (1+2.5 递推法
x x 1
+ +n ) y 1y n
递推法就是利用行列式元素间的规律，在n 阶与n -1阶（或更低阶）行列式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。递推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：
1. D n =LD n -1型；这时根据递推关系可推出关系式D n =L n -1D 1 2. D n =pD n -1+qD n -2(n >2, q ≠0) 型；
这时可设α、β是方程x 2-px -q =0的根，则由根与系数的关系可得
α+β=p , -αβ=q ，于是有：
D n -βD n -1=α(D n -1-βD n -2) (Ⅰ) D n -αD n -1=β(D n -1-αD n -2) (Ⅱ) 若α≠β，则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得
αn -1(D 2-βD 1) -βn -1(D 2-αD 1)
D n =
α-β
注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得
D n -βD n -1=αn -2(D 2-βD 1) D n -αD n -1=βn -2(D 2-αD 1)
若α=β，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成D n -αD n -1=α(D n -1-αD n -2) ，即
D n -αD n -1=αn -2(D 2-αD 1) ， 故D n =αD n -1+αn -2(D 2-αD 1)
=α(αD n -2+αn -3(D 2-αD 1)) +αn -2(D 2-αD 1) =α2D n -2+2αn -2(D 2-αD 1)
=α2(αD n -3+αn -4(D 2-αD 1)) +2αn -2(D 2-αD 1) =α3D n -3+3αn -2(D 2-αD 1) =„„以此类推，最后可得： D n =αn -1D 1+(n -1) αn -2(D 2-αD 1) 例5 利用递推法计算n 阶行列式
210 00121 00012 00
000 21000 12
D n =
解：由于D n =2D n -1-D n -2，则不妨设α、β是方程x 2-2x +1=0的根，则：
α=β=1。
于是D n =1n -1D 1+(n -1) 1n -2(D 2-D 1) =(2-n ) D 1+(n -1) D 2 其中：D 1=2, D 2=
21
=4-1=3； 12
所以：D n =(2-n ) D 1+(n -1) D 2=4-2n +3n =n +1 即原式=n +1
上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特殊方法。
3．计算行列式的几种特殊方法
3．1 矩阵法
如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式AB =A B 计算出n 阶行列式的值。[4]
例6 利用矩阵法计算n 阶行列式
1-a 1b 1
1-a 1b 1
D n =
n n
1-a n b 11-a n b 1
n n
1-a 1b n
1-a 1b n
n n
1-a n b n
1-a n b n
n n
解：该行列式的第i 行第j 列元素可化为
⎛1⎫ ⎪b j ⎪22n -1
=(1, a i , a i , , a i ) b j ⎪
⎪ ⎪ b n -1⎪⎝j ⎭
1-a i b j 1-a i a j
n n
=1+a i b j +a 2b 2+ +a i
n -1
b j
n -1
所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即
D n = = =
a 1a 2a 3 a n a 1a 2a 3 a n
a 12a 2
2a 3 n a n a 12a 2
2a 3 2a n
2
2
a 1
n -1
a 2
n -1
a 3
n -1
a n
n -1
111 1b 1b 2b 3 b n 2222b 1b 2b 3 b n n -1n -1n -1n -1b 1b 2b 3 b n
1b 3
2b 3 b 3
n -1
n -1
11 a 1
n -1
b 1b 2 a 2
22n -1
b 1b 2 a 3
n -1n -1n -1
b 1b 2 a n
1b n 2
b n
n -1
b n
1≤i
∏
(a j -a i )
1≤i
∏(b
j
-b i ) =
1≤i
∏(a
j
-a i )(b j -b i )
3.2 分离线性因子法
3.2.1 分离线性因子法
分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式，将它变换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除，同时它也可被这些因子的积所整除，就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较，继而找出多相式的所有因子，然后用这些因子的乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
3.2.2 一般的解题思路
1如果行列式D 有些元素是某一变量○（参数）的多项式，不妨设此变量为a ，n
那么可将该行列式D n 看作关于a 的多项式f (a ) ，然后找出因子互素的线性因子
g (a ), h (a ) ，即f (a ) =h (a ) ⋅g (a ) ；
2在h (a ) 和g (a ) 中选出一个特殊项进行比较，如果g (a ) 与f (a ) 的次数相 ○
等，就用待定系数法，确定出h (a ) 的值；如果g (a ) 的次数比f (a ) 的次数小，继续找出h (a ) 的线性因子，直至将f (a ) 的所有线性因子全部找出，从而求出行列式D n 的值。
例7 利用分离线性因子法计算n 阶行列式
x
D n =
2a
x
(x -b ) a
λ1+λ2x
(x -b ) 2a
λ12+λ22
x
(x -b ) n -1a
λ1n -1+λ2n -1
2a λn -2+λn -12a
2λn -1
λn -22
2
2λn -1
2n -1n -1
+λn -1 λn -2+λn -1
2λn -1
n -1
其中λi ≠λj (i ≠j )
a 2b
x -b
(x -b ) 2
(x -b ) n -1
解：D n =
2x
a
2a λn -2+λn -1
a
λ1+λ2
λ12+λ22
λ1n -1+λ2n -1
λn -1
λn -22+λn -12 λn -2n -1+λn -1n -1
λn -12 λn -1n -1
将行列式最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此类推，直至第2行为止，得
x -b (x -b ) 2 (x -b ) n -1D n =2x λ1
λ2
λ12λ22
λ1n -1λ2n -1
λn -1
λn -12λn -1n -1
显而易见，D n 是一个关于x 的多项式D (x ) ，且D n (0) =0 由行列式的性质知
D n (λ1+b ) =0, D n (λ2+b ) =0„„D n (λn -1+b ) =0 所以 D n (x ) 的根为0，λ1+b , a λ2+b , , λn -1+b 故 D n =px ⋅(x -λ1-b )(x -λ2-b ) (x -λn -1-b ) 进而可得D n (x ) 的n 次项系数，令其为p ，即
λ1λ2
p =(-1) n +12⋅
λn -1
λ12λ22
λ1n -2λ2n -1
=(-1) n +12⋅
n -1≥i >j ≥1
∏(λ
i
-λj )
λn -12 λn -1n -2
综上可得：D n =(-1)
n +1
⋅2⋅
n +1≥i >j ≥1
∏(λ
i
-λj ) ⋅∏x (x -λ-b )
i =1
n -1
=2x
n +1≥i >j ≥1
∏(λi -λj ) ∏(λi +b -x )
i =1
n -1
3.2.3 利用分离线性因子法的注意
能够利用分离线性因子法进行计算的行列式大都是含有字母变量（参数）的行列式，当某个变量（参数）取某个特定值的时候行列式的值为0，则该行列式必含有某个特定因子。[3]类如：
1a 1
a 1
a 1a 1
2
1a 2a 2 a 2a 2
2
1a n a n
2
n -2n -1
n -2n -1
a n a n
n -2n -1
0a 、b c a 0c b b c 0a c +a 111b 11-a 11、等 a 111+b 101111-b
3.3 借用“第三者”法
借用“第三者”法计算行列式，就是当所给的行列式A 不易计算时，乘以一个适当的值不为0的行列式B ，且AB =BC (C ≠0) , 使其转化为求乘积的行列式。使用这种方法有优越，但B 的选取不易，需要有足够的知识和经验。 例8 计算n 阶行列式
A =
ω0ω1ω2 ωn -2ωn -1
ωn -1ω0ω1 ωn -3ωn -2
ω1
解：取λ=
B =2πn
ω2ω3 ωn -1
=cos 1
ω0
2π2π+i sin ，f (x ) =ω0+ω1(x ) + +ωn -1x n -1 n n
1
1
λλ2λn -2λ2(n -2) λn -1
λ2(n -1)
λn -1 λ(n -1)(n -2)
λ(n -1)(n -1)
f (λn -1)
f (1) f (1) AB =
f (λ)
λf (λ)
λ2(n -1) f (λn -1)
2
f (1) λn -1f (λ) λ(n -1) f (λn -1)
f (1)
=B
f (λ)
f (λn -1)
B ≠0 ∴A ≡∏f (λk )
k =0n -1
上题中不但计算出了行列式A 的值，而且同时也证明了A 相似于一个对角矩阵。
3.4 利用范德蒙德行列式来计算
范德蒙德行列式是一类比较特殊的行列式，通过观察其中的任一列可以发现，它都是某个数（字母）的不同方幂，且从上至下其幂次数由0递增至n -1，通过证明已经得知n 阶范德蒙德行列式的值就等于组成这个行列式的n 个元素的所有可能差的乘积。利用范德蒙德行列式的时候，应先根据范德蒙德行列式的特点，将所给的行列式转化为范德蒙德行列式，再利用其结果计算出所给行列式的值。
例9 利用范德蒙德行列式计算n 阶行列式
1+a 11+a 1 1+a 1
2n
+a 21+a 2 1+a 2
D n =
2n
+a n 1+a n 1+a n
2
n
解： 镶边得
2
n
1+a 11+a 1 1+a 1
2n
D n =1+a 21+a 2 1+a 2
1+a n 1+a n
2
1+a n
n
再将第一列的（-1）倍加到其它各列得：
D n = -1-1
2
a 1a 1
2
a 2a 2
2
a n a n -1
n
a 1
n
a 2
a n n
2
将此行列式拆分为两项即得
2
2
n
11
2
1
n
1a 1
D n =1a 2
1a n
a 1 a 1a 12n
a 2 a 2-a 2 a n
2
a 1 a 1
2n a 2 a 2 a n 2
a n
n
a n
n -1n -1
a n 0
n
a 1 a 1
n -1
=2a 1a 2 a n
a 2 a 2
n -1
a n a n
a 1-1a 1(a 1-1) a 1(a 1-1)
n -1
-a 2-1a 2(a 2-1) a 2(a 2-1) a n -1a n (a n -1) a n
1≤j
n -1
(a n -1)
=2a 1a 2 a n ⨯
1≤j
∏(a
i
-a j ) -(a 1-1)(a 2-1) (a n -1)
∏(a
i
-a j )
=[2a 1a 2 a n -(a 1-1)(a 2-1) (a n -1)]⨯3.5 利用拉普拉斯定理展开计算
1≤j
∏(a
i
-a j )
拉普拉斯定理：设在行列式D 中任意取定了k (1≤k ≤n -1) 个行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。 在利用拉普拉斯定理计算行列式的时候，应先根据行列式的性质对所给行列式进行转换，使其每行（列）的0元素尽可能的多，然后再利用行列式按行（列）展开定理将其中含0元素多的某一行（列）进行展开。实质上，拉普拉斯定理是对行列式按行（列）展开定理的推广。[1] 例10 利用拉普拉斯定理计算n 阶行列式
12
0-1
D =
1001121341 31
解：在所给行列式中取定第一、二行，得到六个子式：
M 1=
121114
， M 2=， M 3= 0-0201212414
， M 5=, M 6= -12-1121
M 4=
它们对应的代数余子式为
''''
A 1=(-1) (1+2) +(1+2) M 1=M 1, A 2=(-1) (1+2) +(1+3) M 2=-M 2
''''
A 3=(-1) (1+2) +(1+4) M 3=-M 5, A 4=(-1) (1+2) +(2+3) M 4=M 4 ''''
A 5=(-1) (1+2) +(2+4) M 5=-M 5, A 6=(-1) (1+2) +(3+4) M 6=M 6
根据拉普拉斯定理得
D =M 1A 1+M 2A 2+ +M 6A 6 =
[1**********]1
-+
0-[***********]1410
-+
-1201-11032101
+
=(-1) ⨯(-8) -2⨯(-3) +1⨯(-1) +5⨯1-6⨯3+(-7) ⨯1 =8+6-1+5-18-7=-7 例11利用拉普拉斯定理计算n 阶行列式
a
βλ
D n =
β
λλλ λλb b b b λb b
b b λ b
b
b
b λ
β
解：如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从第3列开始每一列都加到第2
列，可使行列式中更多的元素变为0。
a
ββ
D n =
β
λλλ λλb b b b λb b
b b λ b
b
b
b λ
β
a
β
=
00 0
λλ
b -λb -λ b -λ
λ
b
λ
b 0 0
λ
b 00
λ-b
0 0
λ-b
λ-b
a (n -1) λλ
b
λ
b 0 0
λ
b 00
β
=
00 0
λ+(n -2) b
00 0
λ-b
0 0
λ-b
λ-b
再由拉普拉斯定理得 D n =
a
β
(n -1) λ
(λ-b ) n -2=[a λ-(n -1) λβ+a (n -2) b ](λ-b ) n -2
a +(n -2) b
4. 结束语
行列式的计算方法有很多，上面只是列举出了其中的一部分，并且根据所给行列式的不同特点给出了适用的方法以及使用时的注意，但这并不是孤立的，有时可以使用不同的方法计算出一个行列式的结果。行列式是解决线性代数的工具，它的产生和应用都是在解线性方程组中。现在它的应用已拓宽的较为广泛，它在消元法、矩阵论、坐标变换、多重积分中的变量替换、解行星运动的微分方程组、将二次型化简为标准型等诸多问题中都有着广泛的应用。[5]本文只是总结了几种较为常用的一般和特殊的行列式计算方法，随着行列式应用的增多，会出现新类型的行列式，也随之会出现很多新的计算行列式的方法。这需要同学们在学习中，善于发现知识间的联系并及时总结好的方法。
参考文献：
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