直线与平面平行的性质教案设计
《直线与平面平行的性质》教学案例
教学目的
(1)知识与技能:通过观察探究,进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理,并能准确地用数学语言表述该定理;能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证,并能进行一些简单的应用.
情感、态度、价值观: 通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程,激发学生学习数学的自信心和积极性,培养学生良好的思维习惯,渗透化归与转化的数学思想,体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法.
通过教师的适当引导和学生的自主学习,使学生由直观感知、获得猜想,经过逻辑论证,推导出直线与平面平行的性质定理,并掌握这一定理;
(2)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用,让学生体会定理的现实意义与重要性;
(3)通过命题的证明,让学生体会解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想,培养、提高学生分析、解决问题的能力.
教学重点和难点:
重点:通过直观感知、提出猜想进而操作确认,获得直线与平面平行的性质定理.
难点:综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化.
过程与方法:通过直观感知和操作确认的方法,培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力;体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程.
课前测评与设置情境引入
【练习】1、若直线l ∥平面α,直线a ⊂α,则l 与a 的位置关系是___________
2、下列命题不正确的是_______________
①如果a , b 是两条直线,且a //b ,那么a 平行于经过b 的任何平面; ②如果直线a , b 和平面α满足a //b ,a //α,b ⊄α,那么b //α;
③如果直线a , b 和平面α满足a //α, b //α,那么a //b
3、如图的几何体中,△ABC 为正三角形,AE 和CD 都垂直于平面ABC ,且AE =AB=2a,CD=a,F为BE 的中点. 求证:DFD F ∥平面ABC;
C 以检测来回顾前面主要知识点,简单点评后切换到下面内容:空间两直线有三种位置关系:平行、相交与异面.直线和平面有哪几种位置关系?教室天花板边缘的一条棱所在
的直线与地面所在平面的位置关系属于哪一种?
【复习】以提问的形式引导学生回顾相关的知识:线线、线面的位置关系及判定线面平行的方法. 思考并回答问题. 温故知新,为新课的学习做准备.
(1)提出例3给出的实际问题,让学生稍作思考;
(2)点明该问题解决的关键是由条件“棱BC ∥面A 'C '”如何在木料表面画线,使得工人师傅按照画线加工出满足要求的工件;
(3)引入课题——在我们学习了《直线与平面平行的性质》这一节课之后,我
们就知道如何解决这个实际问题了. 思考问题,进入新课的学习. 通过实际例子,引发学生的学习兴趣,突出学习直线和平面平行性质的现实意义.
【设问】
这个平面内的所有直线都平行?
引导学生做小实验:利用笔和桌面做实验,把一支笔放置到与桌面所在平面平行的位置上,把另一支笔放置在桌面,笔所在的直线代表桌面所在平面上的一条直线,移动桌面上的笔到不同的位置,观察两笔所在直线的位置关系.
(2)一条直线与平面平行,那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系? 分析:a ∥α a 与α无公共点,a 与α内的任何直线都无公共点,a 与α内的直线是异面直线或平行直线.
(1)学生动手做实验,并观察得出问题的结论:与平面平行的直线并不与这个平面内的所有直线都平行.
(2)学生由实验结果猜想问题的答案,再由教师的引导进行严谨的分析,确定猜想的正确性. 通过学生的动手实验,得出问题的结论,提高学生的探索问题的热情.
互动探究
一条直线与一个平面平行,在什么条件下,平面内的直线与这条直线平行? 讲述:与平面平行的直线,和平面内的直线或是异面直线或是平行直线,它们有一个区别是异面直线不共面,而平行直线共面,那么如何利用这个不同点,寻找这些平行直线呢?
(1)长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中,A 'C '∥面ABCD ,请在面ABCD 内找出一条直线与平面A 'C '平行?
启发得到:(1)AC 与A 'C '这两条平行直线共面,同在面AC C 'A '内,可见AC 是过A 'C '的平面AC C 'A '与面ABCD 的交线.
(2)在面ABCD 内,除了AC 还有直线与平面A B 'C 'D '平行吗? 如果有,可以通过什么方法找到?
师:利用课件演示过A 'C '任意作一平面A 'C 'EF 与平面ABCD 相交于线EF ,验证学生的猜想.
(引导学生从定义入手说明)生:因为A 'C '∥平面ABCD ,所以A 'C '与这个面内的直线EF 没有公共点,由大家的这个方法作出直线EF ,就使得EF 与A 'C '共面,故EF ∥A 'C '. 学生随着教师的引导,思考问题,回答问题.
(1)根据长方体的知识,学生能够找到直线AC 与A 'C '平行. 随教师的引导,发现AC 的特殊位置关系.
(2)由上面特殊例子的启发,学生逐渐形成对问题答案的猜想,随教师的引导,证明猜想的正确性. 以长方体为载体,引导学生猜想问题成立的条件,推导出定理.
【剖析定理】
性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么
这条直线就和交线平行.
此定理表述为“若线面平行,则线线平行”.
符号语言为: a //α, a ⊂β, α⋂β=b , ∴a //b
(1)证明定理;
引导学生对比认识:线面平行的判定定理和性质定理都必须满足三个条件,三个条件缺一不可,它们经常交替使用,应用时注意如下条件:
线线平行 线面平行
(2)让学生分析定理成立的条件和结论;
(3)指导学生按小组共同阅读自习探讨课本60页倒数第一段的内容. 要求学生听教师的分析后,互相交流想法,再反思领悟定理的证明过程,阅读和理解课本60页倒数第一段的内容. 深化学生对定理的理解,明确该定理给出了一种作平行线的重要方法.
【巩固练习】
1、提出本节开始提出的问题(2),让学生自由发言.(不局限只有引平行线的方法)
2、下列命题不正确的是_________________
①如果a , b 是两条直线,且a //b ,那么a 平行于经过b 的任何平面;
②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何直线平行 ③如果直线a , b 和平面α满足a //α, b //α,那么a //b
④如果直线a , b 和平面α满足a //b ,a //α,b ⊄α,那么b //α
学生进入独立思考活动阶段,随后自由举手发言,说明理由,并通过提问等方式带动其他学生交流活动,再次深化对定理的理解.
【讲解例题】例3、例4要求学生先思考在小组互动探究、互相交流想法,再跟随教师的分析引导,自己修改自己的思考,从而解决问题. 让学生体会定理的现实意义与重要性及解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想
【课堂巩固练习】
【活动探究】1、已知:α⋂β=a , α⋂γ=b , β⋂γ=c ,a ∥b ,求证:a ∥c . 本题教师要花主要精力用于引导学生思考发现a ∥b 条件的使用上,过渡到线面平行后利用性质定理证得线线平行,适宜师生集体互动探究,我觉得从效率角度讲不适宜小组讨论,因为学生此时对定理及其应用很陌生,没有方向,所以教师言简意赅的精准引导尤为关键,最好板书下过程.
变式1、若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和这两
平面的交线平行. 已知:α β=l , a //α, a //β. 求证:a //l .
变式2、如图P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N
分别为AB 、PC 的中点,平面PAD 平面PBC =l . 判断BC 与
l 的位置关系,并证明你的结论;
小组内学生探究思路,教师下去巡视适时指导点拨部分同
学和小组,联想线面平行的判定与性质定理,并选取几份有代
表性的做法,利用投影仪,讲评练习,反馈学习效果. 及时解决
学生学习上存在的问题.
变式3、在四面体ABCD 中,一平面EFGH 截四面体分别交AC 、BC 、BD 、AD 于E , F , G , H . 证明:EH ∥CD .
变式题要在提前编好的卡片或课件上,经过前面的学习,学生具备了一定基
础,在适当思考、小组互动探究后能形成比较好的思路和巩固的认识,自然学生
不再走神,也会体验到成功收获的喜悦之情. 至于变题多少和具体的讲评方式要根据具体班况决定可多可少. 时间允许的情况下,找学生板演最好或者投影部分典型过程. 以强化学生的活动.
小结:学生在教师引导下进行总结活动:(1)直线与平面平行的性质定理;
(2)直线与平面平行性质定理的应用.
当堂检测:
1、对于直线m , n 和平面α,有下列命题:其中为真命题的序号是__________; ①如果m ⊂α, n ⊄α, m 、n 是异面直线,那么n //α;
②如果m ⊂α, n ⊄α, m 、n 是异面直线,那么n 与α相
交;
③如果m ⊂α, n //α, m 、n 共面,那么m //n ;
④如果m //α, n //α, m 、n 共面,那么m //n .
2、若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别为8、12则过AB 的中点E
且平行于AC 、BD 的截面四边形的周长为__________;
3、在空间四边形ABCD 各边AB , BC , CD , DA 上分别取E , F , G , H 四点,如果与EF , GH 能相交于点P ,那么点P 在__________;
4、如上图,四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ,求证:AP //GH
时间允许可通过师生互动方式简评,否则可公布答案,放手交给小组内解决