全国卷一文数解析几何大题答案

全国卷一解析几何大题答案

（2005全国卷1）

（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分. （I ）解：设椭圆方程为

x a

22

+

y b

22

=1(a>b>0),F(c,0).

则直线AB 的方程为y=x-c, 代入

x a

22

+

y b

22

=1，化简得

(a2+b2)x 2-2a 2cx+a2c 2-a 2b 2=0. 令A(x1,y 1),B(x2,y 2), 则 x 1+x2=

2a c a +b

2

22

,x 1x 2=

a c -a b a +b

2

2

2222

.

由OA +OB =(x1+x2,y 1+y2),a=(3,-1), OA +OB 与a 共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0. 又 y 1=x1-c,y 2=x2-c,

∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, ∴ x 1+x2=

2a c a +b

2

22

3c 2

.

即 =

3c 2

, 所以a 2=3b2.

∴ c=a -b

22

=

6a 3

,

故离心率e=

c a

=

63

.

22

22

（II ）证明：由（I ）知a =3b, 所以椭圆x 2+3y2=3b2.

设OM =(x,y),由已知得 (x,y)=λ(x1,y 1)+μ(x2,y 2),

22

x a

+

y b

=1可化为

x=λx 1+μx 2,

λy 1+μy 2.

∵M(x,y)在椭圆上，

∴(λx 1+μx 2) 2+3(λy 1+μy 2) 2=3b2.

22

即λ2(x 12+3y 12)+μ2(x 2+3y 2)+2λμ(x1x 2+3y1y 2)=3b2, ①

由（I ）知x 1+x2=

2

2

32

22

c,a =

2

2

32

c ,b =

22

12

c .

2

∴x 1x 2=

a c -a b a +b

2

=

38

c .

2

∴x 1x 2+3y1y 2=x1x 2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x 2-3(x1+x2)c+3c2 =

32

c 2-

92

c 2+3c2

=0.

22

又x 12+3y 12=3b, x 2+3y 2=3b, 代入①得

22

λ+μ=1.

故λ2+μ2为定值，定值为1.

（2006全国卷1） （21）解：

依题意可设P （0，1），O （x ，y ），则 |PQ |=

x +(y -1) .

2

2

22

又因为Q 在椭圆上，所以 x =a (1-y ).

PQ

2

2

2

2

=a (1-y ) +y -2y +1 =(1-a ) y -2y +1+a =(1-a )(y -

2

222

222

11-a

2

) -

2

11-a

2

+1+a .

2

因为y ≤，a >1,

11-a

若a ≥2, 则

≤1，当y =

11-a

2

时，PQ 取最大值

a

2

a -1a -1

2

2

;

若1

2, 则当y =-1时, |PQ |取最大值2.

（2007全国卷1） 22．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距c =

=1，

由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，

22

故x 0+y 0=1，

所以，

x 03

2

+

y 02

2

≤

x 02

2

+

y 02

2

=

12

（Ⅱ）（ⅰ）当B D 的斜率k 存在且k ≠0时，B D 的方程为y =k (x +1) ，代入椭圆方程x

2

3

+

y

2

2

=1，并化简得(3k +2) x +6k x +3k -6=0．

2222

设B (x 1，y 1) ，D (x 2，y 2) ，则

6k

22

x 1+x 2=-

3k +2

，x 1x 2=

3k -63k +2

2

2

，

BD =

x 1-x 2=

=

1k

3k +2

；

因为A C 与B C 相交于点p ，且A C 的斜率为-

1⎫

2+1⎪k ⎭=所以，AC =． 12k +33⨯2+2

k

．

四边形A B C D 的面积 S =

12

BD AC =

24(k +1)

2

2

2

2

(3k +2)(2k +3)

≥

2

24(k +1)

22

2

⎡(3k +2) +(2k +3) ⎤⎢⎥

2⎣⎦

2

=

9625

．

当k =1时，上式取等号．

（ⅱ）当B D 的斜率k =0或斜率不存在时，四边形A B C D 的面积S =4． 综上，四边形A B C D 的面积的最小值为

（2008全国卷1） 22、解：

9625

2

（Ⅰ）设双曲线方程为

x a

22

-

y b

22

=1(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c =a+b

222

不妨设l 1：bx-ay =0，l 2：bx+ay=0 则

|FA |=

|b ⨯c -a ⨯0|

a +b

2

2

=b ，

OF |AB |

2

|OA |=-AF

2

=a |

2

|

2

因为

2

+|OA =|OB ，且

|OB |=2|AB |-|OA |，

2

所以|AB |+|OA

2

2

=(2|AB |-|OA |) ，

|

于是得tan ∠AOB=

|AB |=

43

。

1243

又BF 与FA 同向，故∠AOF=所以 解得

2tan ∠AOF 1-tan

2

∠AOB ，

=

∠AOF

tan ∠AOF=

b a

12

12

，或tan ∠AOF=-2（舍去）。

因此 =, a =2b , c =

c a

a

2

+b

2

=

5b

所以双曲线的离心率e==

52

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x 2-4y 2=4b2 ① 由l 1的斜率为，c=5b 知，直线AB 的方程为

21

y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得

22

15x -325bx+84b=0

设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y 1) ，(x2,y 2) ，则 x 1+x2=

32155b

，x 1·x 2=

84b 15

2

③

AB 被双曲线所截得的线段长 l =+(-2) 2⋅|x 1-x 2|=将③代入④，并化简得l =

x

2

2

5[(x 1+x 2) -4x 1x 2] ④

4b 3

，而由已知l =4，故b=3，a=6

所以双曲线的方程为

（2009全国卷1）

36

-

y

2

9

=1

22解：（Ⅰ）将抛物线E :y 2=x 代入圆M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0) 的方程，消去y 2，

整理得x 2-7x +16-r 2=0 ①

E 与M 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根x 1、x 2

⎧ =(-7) 2-4(16-r 2) >0

⎪

由此得⎨x 1+x 2=7>0

⎪2x ⋅x =16-r >0⎩12

解得

154

2

又r >0

所以r

的取值范围是2, 4)

（II ）

设四个交点的坐标分别为A (x 1

、B (x 1,

、C (x 2,

、D (x 22

则由（I ）根据韦达定理有x 1+x 2=7, x 1x 2=16-

r ，r ∈。

2

, 4)

则S =

2

12

⋅2⋅|x 2-x 1|+

2

=|x 2-x 1|+

2

∴S =[(x 1+x 2) -4x 1x 2](x 1+x 2+=(7+r -15)

222

=t ，则S =(7+2t ) (7-2t ) 下面求S 的最大值。

方法1：由三次均值有：

S

2

=(7+2t ) (7-2t ) =

2

12

(7+2t )(7+2t )(14-4t )

≤

17+2t +7+2t +14-4t 31283() =⋅() 2323

当且仅当7+2t =14-4t ，即t =

76

时取最大值。

经检验此时r ∈2

4) 满足题意。

方法2

：设四个交点的坐标分别为A (x 1

、B (x 1,

、C (x 2,

、D (x 2则直线AC 、BD 的方程分别为 y -

x 1=

-

x 2-x 2-x 1

x 1

(x -x 1), y +

x 1=

x 2+

x 1

(x -x 1)

x 2-x 1

解得点P 的坐标为(x 1x 2, 0) 。 设t =

x 1x 2，由t =

16-r

2

及（Ⅰ）得t ∈(0,)

2

7

由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积 S =

12

2

(2x 1+2x 2) |x 1-x 2|

则S

=(x 1+2x 1x 2+x 2)[(x 1+x 2) -4x 1x 2]

x 1x 2=t 代入上式，并令f (t ) =S ，得

3

2

2

2

将x 1+x 2=7，

2

f (t ) =(7+2t ) (7-2t ) =-8t -28t +98t +343(0

72

) ，

∴f '(t ) =-24t 2-56t +98=-2(2t +7)(6t -7) ，

76

72

令f '(t ) =0得t =，或t =-（舍去）

当0

76

时，f '(t ) >0；当t =

76

时f '(t ) =0；当

76

72

时，f '(t )

故当且仅当t =

76

时，f (t ) 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标

7

为(, 0)

6

（2010全国卷1）

（22）、解：

设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，D (x 1, -y 1) ，l 的方程为x =my -1(m ≠0) . （Ⅰ）将x =my -1代人y 2=4x 并整理得

y -4my +4=0，

2

从而 y 1+y 2=4m , y y =4 . 12直线B D 的方程为 y -y 2=

y 2+y 1x 2-x 1

4y 2-y 1=1.

⋅(x -x 2)

，

2

即 y -y 2=令y =0, 得x =

y 1y 24

⋅(x -

y 24

)

所以点F (1,0) 在直线B D 上

（Ⅱ）由①知，

2

-1) +(m 2y -1) =4m -2 x 1+x 2=(m y 1

x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1) =1.

uu r uur

因为 FA =(x 1-1, y 1), FB =(x 2-1, y 2) ，

uu r uur

2

FA ⋅FB =(x 1-1)(x 2-1) +y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2) +1+4=8-4m

故 8-4m 2=

解得 m =±

43

89

，

所以l 的方程为

3x +4y +3=0, x 3-y 4+3=又由①知

y 2-y 1==±

故直线BD

的斜率

4y 2-y 1

=±

因而直线BD

的方程为3x +-3=0, 3x -3=0.

（2011全国卷1）

(20）解：

（Ⅰ）曲线y =x -6x +1与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为

2

（3+22, 0), (3-22, 0).

故可设C 的圆心为（3，t ），则有32+(t -1) 2=(22) 2+t 2, 解得t=1. 则圆C 的半径为32+(t -1) 2=3. 所以圆C 的方程为(x -3) +(y -1) =9.

（Ⅱ）设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），其坐标满足方程组：

⎧⎪x -y +a =0,

⎨22

(x -3) +(y -1) =9. ⎪⎩

2

2

消去y ，得到方程

2x +(2a -8) x +a -2a +1=0.

2

2

（23）解：

（I ）设P(x，y) ，则由条件知M(

X 2, Y 2

). 由于M 点在C 1上，所以

⎧x ⎫

=2cos α, ⎪⎪α⎧x =4c o s ⎫⎪2⎪

即 ⎨⎬ ⎨⎬

⎩y =4+4s i n α⎭⎪y =2+2sin α⎪

⎪⎪⎩2⎭

从而C 2的参数方程为

⎧x =4cos α

（α为参数） ⎨

⎩y =4+4sin α

（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ。 射线θ=

π

3

与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin 与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin

π

3

， 。

射线θ=

π

3

π

3

所以|AB |=|ρ2-ρ1|=（2012全国卷1）