海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
古镇高级中学 付增德
高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为a , b , c , ，三角形的面积S 可由以下公式求得：
s =
(p -a )(p -b )(p -c ) ，而公式里的p =
12
(a +b +c ) ，称为半周长。
图1
C
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=
p (p -a )(p -b )(p -c )
2
2
2
===
141414
(a +b +c )(a +b -c )(a +c -b )(b +c -a ) (a
2
=
14
[(a +b ) -c ][c 14
4a b
2
2
-(a -b ) ]
2
2
+b
2
2
-c
2
+2ab )[-(a
2
2
+b
4
2
-c
4
2
-2ab )]
4
=
-(a
2
+b -c )
22
2a b
2
+2a c
2
+2b c
22
-a -b -c
12
ab sin C 和余弦定理
教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s =
12
12
12
c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos C 的证明过程：s =ab sin C =ab 1-cos n C =
2
ab 1-(
a
2
+b
2
-c
2
2ab
)
2
下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式S ∆ABC =
12
ah a 入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，
B
图2
C
⎧x 2+y 2=c 2
222
⎪2a +c -b 22
在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有⎨x +z =b 解方程，得y =，
2a
⎪y +z =a ⎩z =
a
2
+b
2
-c
2
2a
，x =c
2
-y
2
=c
2
-(
a
2
+c
2
-b
2
2a
)
2
=
12a
4a c
22
-(a
2
+c
2
-b ) 下略。在求
22
高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC 顶点A 于对边BC 上任一点D 间的距离AD 有下列等式确定：AB
AD
2
2
⋅DC +AC
2
⋅BD =AD
2
⋅BC +BD ⋅DC ⋅BC ，等式改写为
=AB
2
⋅
DC BC
+AC
2
⋅
BD BC
-BC
2
⋅
DC BC
⋅
BD BC
a a
22
而当点D 是顶点A 的正射影时, 有
BD DC
2
=
AB cos B AC cos C
=
+c +b
22
-b -c
22
，利用比例的性质，变形得
BD BC
=
a
2
+c
22
-b
2
2a
，
DC BC
=
a
2
+b
22
-c
2a
，代入即求出高AD 。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数
的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么
A B A C B C t a ⋅t a +tan ⋅tan ⋅tan +tan =1，
222222
z z
C
图3
如图3, 在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r, 则tan
A 2
=
r x
, tan
B 2
=
r y
, tan
C 2
=
r z
, 代入恒等式
tan
A 2
⋅tan
B 2
+tan
A 2
⋅tan
C 2
2
+tan
B 2
⋅tan
C 2
=1，得
r
2
xy
+
r
2
xz
+
r
2
yz
=1，两边同乘xyz ，有等式
r (x +y +z ) =xyz „„„①
又，b +c -a =(x +z ) +(x +y ) -(y +z ) =2x ，所以，x =
z =
a +b -c
2
b +c -a
2
，同理y =
a +c -b
2
，
。„„„②于是△ABC 的面积S =
2
12
(a +b +c ) r =
2
12
(y +z +x +z +x +y ) r =(x +y +z ) r
=(x +y +z ) r =
14
，把①、②式代入，即得S =(x +y +z ) xyz
(a +b +c )(a +b -c )(b +c -a )(a +c -b )
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条
边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为a , b , c , d ，且p =
a +b +c +d
2
, 则S 四边形=(p -a )(p -b )(p -c )(p -d )
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA ，CB 交于点E 。设EA = e EB = f
○○
∵∠1+∠2 =180 ∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD ∴
f a +e
=
e f +c
=
b d
，
S ∆EAB S 四边形
A B C D
=
b d
2
2
2
-b
解得： e =
b (ab +cd ) d
2
-b
2
③ f =
b (ad +bc ) d
2
-b
2
④由于S 四边形ABCD =
d
2
-b b
2
2
S △EAB
将③，④跟b =
b (d d
2
2
2
+b ) -b
2
2
2
代入海伦公式公式变形，得：
∴S 四边形ABCD =
d -b
2
4e b
22
-(e
2
+b
2
-f
2
)
2
4b
4
2
d
2
-b
2
2
4
b (ab +cd ) (d
(d b
4
2
42
2
224
-b )
22
=
d
4b
2
-b )
-[(
b (ab +cd ) (d
2
2
-b )
22
+
b (d (d
2
22
-b )
2
2
22
-b )
-
b (ad +bc ) (d
2
22
-b )
22
)]
2
2
2
-b
2
2
=
4b
(d
2
-b )
{4(ab
+cd ) (d
22
-b ) -[(ab +cd ) +(d
2222
-b ) -(ad +bc ) ]
22
}
1
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -[{ab +cd }+{d
2222
-b }-{ad +bc }]
2222
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -(a b
2222
+c d
22
+d
4
+b
4
-2d b
22
-a d
22
-b c )
22
=
4(d
2
-b ) 1
2
4(ab +cd ) (d
22
-b ) -[b (a
2222
+b
2
-d
2
-c ) +d (d
222
-b
2
-a
2
+c )
2
=
4(d 1
2
-b )
2
(d
2
-b ) [4(ab +cd ) -(c
2222
+d
2
-b
2
-a ) ]
22
=4
1
(2ab +2cd +c
2
+d
2
-b
2
-a )(2ab +2cd -d
22
+b
2
+a
2
-c )
2
=4
1
a +c ) -(b -d ) ][(b +d ) -(a -c ) ]
2222
(a +b +c -d )(a +b +d -c )(a +d +c -b )(b +d +c -a )
=4
=(p -a )(p -b )(p -c )(p -d ) 所以，海伦公式的推广得证。
图4
参考文献
［1］ 七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～
２６．
［2］ 王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．