易拉罐设计

易拉罐最优设计模型

（2006年获全国一等奖）

摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。

对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。

对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数A (r , h ) ，给出约束条件B (r , h ) =0，利用初等解法得出 h :r =4为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得h :r =4. 029，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。

当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出r 1:r :h 1:h ≈29. 8:30. 6:0. 37:120. 9为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。

最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为：

r :h :h 1:r 1:r 2:h 3≈32. 5:116. 8:10. 7:30. 5:27. 5:9. 9

在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。

最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO软件

问题重述

在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐) 的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认

为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文) ，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

符号说明

h :易拉罐的总高度；

b ：罐壁的厚度；

b 1：顶盖的厚度；

b 2：底盖的厚度；

r :易拉罐中间柱体的内半径；

r 1：顶盖的半径；

r 2：底盖的半径；

h 1：易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离；

h 2：易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离；

h 3：易拉罐底盖的拱高；

A :制作易拉罐所用材料的总体积；

V :罐装饮料的容积（由于半径和高度都远远大于易拉罐材料的厚度，即可将易拉罐的

体积看成是容积）；

图一

模型假设

（1）易拉罐为无损坏的净含量355ml 的可口可乐饮料罐；

（2）不考虑温度对易拉罐形状和尺寸设计的影响；

（3）不考虑罐内气体压强对易拉罐形状和尺寸设计的影响；

（4）不考虑接缝折边的长度L ；

（5）长度的量纲为毫米。

模型分析、建立与求解

一、测量认为验证模型所需要的数据

取一个无损坏净含量355ml 的可口可乐饮料罐，利用千分卡尺测量我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据。并把所测得的数据用表一加以说明。表一如下：

二、易拉罐为正圆柱体时的最优模型 模型Ⅰ的分析、建立与求解。

根据任务2给出的信息，将饮料罐假设为正圆柱体，如图二所示。

图二

事实上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化问题确实是近似的、合理的。

要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。在这种简化下显然有r =r 1=r 2，由假设得到V =πr 2h 。

由于易拉罐上底和下底的强度必须要大一点（经千分卡尺的实际测量结果为：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力学应力状态理论知识告诉我们二向应力中，上、下底所受的应力是罐壁所受应力的2倍[1]），因而在制造中，上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍，即b 1=b 2=2b 。因而制罐用材的总体积为：

A (r , h ) =2πr 2b +2πr 2b +2πrhb =(4πr 2+2πrh ) b

注意：易拉罐侧面材料的体积应为 πh (r +b ) 2-πh r 2=2πrbh +πhb 2，因为b (测量所得b =0.15)远远小于r (测量所得2r =63.50)，所以πhb 2可以忽略,

于是我们建立了以下A 为目标函数，V =πr 2h 是约束条件的数学模型：

r >0, h >0min A (r , h )

V =πr 2h

其中V 是已知的（由模型假设可知）。从V =πr 2h 解出h =

为求d :h 使A 最小，即，求r 使A (r , h (r )) =b [

1n

应用不等关系式：∑a i ≥n i =1V ，代入A ，使原问题化2πr 2V +4πr 2]最小。 r ∏a i =1n i ，a i ＞0，i =1, , n ，当且仅当a 1=a 2= =a n

时等号成立。于是有：2b [

当且仅当2V +4πr 2]≥6b 4πV 2， r V V =4πr 2时等号成立，即r =， r 4π

V V 4π2(4π) 2V 3V 再由h =，得h =() ==4=4r 232πV 4ππr πV

即总罐高h 应为半径的4倍，这是易拉罐的最优设计。这与用千分尺所测得h :r =4. 029几乎完全一致。这一结果同时也验证了我们所测量的可口可乐易拉罐高度与半径尺寸设计的合理性。

三、易拉罐为正圆台与正圆柱体组合的最优模型

与模型Ⅰ类似，模型Ⅱ是模型Ⅰ的深入。根据任务2给出的信息，将易拉罐的外形看成两部分（如图三）：一部分是一个正圆台，另一部分是一个正圆柱体。

图三

要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。在这种形状下还是b 1=b 2=2b ，根据圆台的体积公式得到罐装饮料正

122圆台部分的体积V 1=(πr 1+πr 2+πr 2r 2) h 1，从而得到易拉罐的体积为 3

12V =(πr 1+πr 2+πr 1r ) h 1+πr 2(h -h 1) 。 3

易拉罐上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍。制罐用材的总体积为： 122 A=2πr 1b +2πr 2b +(2πr 1+2πr ) (r -r 1) 2+h 1b +2πr (h -h 1) b 2

12V =(πr 1+πr 2+πr 1r ) h 1+πr 2(h -h 1) 3

建立以下的数学模型：

122min A (r , h ) =2πr 1b +2πr 2b +(2πr 1+2πr ) (r -r 1) 2+h 1b +2πr (h -h 1) b r >0, h >02

1⎧222V =(πr 1+πr +πr 1r ) h 1+πr (h -h 1) ⎪3⎪h >h 1 s . t . ⎨

⎪r >r 1⎪V =355000, b =0. 15⎩

⎧A min =5206. 095⎪r =29. 838831⎪⎪利用LINGO 数学软件（见附件一）算得：⎨r =30. 57185

⎪h =0. 3674145⎪1

⎪⎩h =120. 9148

这就是图三所示易拉罐的最优设计。我们可以很清晰的看到除了易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离(h 1) 与实际所测得的数据相差较大外, 其余几项仍然与我们所测量的数据相吻合。

如果不忽略易拉罐侧面的厚度b ，并将易拉罐整体看成有两个规格形状一样、大小不一（一个稍大的在外面、一个稍小的在里面）紧密的叠套在一起的物体，制作易拉罐所用材料的总体积A 就相当于外面稍大物体的总体积减去里面稍小物体的总体积，即

12A =[(πr 1+πr 2+πr 1r ) h 1+πr 2(h -h 1) ] 3

1-{[π(r 1-b ) 2+π(r -b )(r 1-b ) +π(r -b ) 2]h 1+π(r -b ) 2(h -h 1) } 3

但是r >>b ，所以在计算制作易拉罐所用材料的总体积A 时忽略了b ，采用了表面积乘以厚度等于总体积的方法来计算制作易拉罐所用材料的总体积A ，即

122A =2πr 1b +2πr 2b +(2πr 1+2πr ) (r -r 1) 2+h 1b +2πr (h -h 1) b 。 2

由于在模型中采用了简单的计算体积方法（V =sb ，体积等于面积乘以厚），并且在计算过程中总会出现误差，不是那么精确，所以导致计算结果和所测得的数据有一点点的出入。但为什么计算所得的易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离和所测得到的数据会相差这么大？我们对此问题进行了思考，再借助对可口可乐饮料罐的观察和研究，从而发现了可口可乐饮料罐底盖是向上拱起的，而我们计算时是把易拉罐的下面部分看成正圆柱体的，没有考虑底盖是向上拱起的，由此容积减少了，而减少的那部分体积正好体现在圆台高度上了，所以才导致了计算所得的易拉罐盖顶到圆台底端的垂直距离(即:h 1) 与所测得的数据相差过大的这一现象。我们将在任务四中加以认证。

四、最优模型

对于问题4，我们根据模型Ⅱ，从经济、耐压力、美观和实用性这四个方面出发建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ。

1. 从经济角度考虑，把原料最省作为目标函数。

2.从易拉罐的耐压性考虑，又要求上、下底面比侧面厚，在这种形状下还是b 1=b 2=2b ，但是根据第二个模型的推论，把底盖设计成瓦楞的形状。瓦楞，它是一种拱形结构，这种结构可以使作用在上面的压力向两侧分解：f 拱=cos α⨯f 平

（00≤α≤300），其中α如图四中所示，拱形所受的压力大小也可以从材料的薄厚上体现出来：

b 2拱=cos α⨯b 2平 （1）

瓦楞优点是：载重负荷大，节省材料，自重小。因此同种材料，它的强度要比没有拱形时大。[2][3]

3、从美学角度考虑，当高与底面直径之比符合黄金分割法时，视觉效果最佳, 这时 2r :h =0. 618

4、从实用性方面考虑，便于叠加放置，即顶盖的半径比底盖的半径大。由于接缝折边技术的限制，接缝折边厚度为3毫米左右，即r 1-r 2=3。

通过上述分析，把形状设计为图四（如下）的形状。 、

图四

根据（1）式结合图四，利用初等几何知识得到cos α= 2r 2h 3

r 2+h 3

222 2由此建立目标函数：min A (r , h ) =2πr (h -h 1-h 2) b +2πr 1b +πb (r 1+r ) (r -r 1) 2+h 1 r >0, h >0

+πb (r 2+r ) (r -r 2) +h 2+2πb (r 2-h 3) 2222

111⎧2222222V =π(r +r +rr ) h +πr (h -h -h ) +π(r +r +rr ) h -πh (3r +h ) [1**********]⎪336⎪b =0. 15⎪=355000⎪⎪2r 2h 3⎪≤≤122s . t . ⎨ 2r 2+h 3⎪r 1-r 2=3⎪⎪r >r 1⎪h >h 1+h 2⎪⎪2r :h =0. 618⎩

. 81⎧A min =60351⎪r =32. 52390⎪⎪h =116. 8454

⎪h =10. 72101⎪1利用LINGO 数学软件（见附件二）得到计算结果：⎨ h 2=7. 18004⎪⎪r 1=30. 52390⎪⎪r 2=27. 52390

⎪⎩h 3=9. 85230

这就是我们对所测量的易拉罐的洞察和想象力后做出自己的关于易拉罐形状和尺寸。

模型评价与改进

一、模型的评价

1．模型的优点

（1） 通过利用测量工具（千分卡尺）和LINGO 编程的方法，对模型求解具有精度高且

具有科学性。

（2） 在模型Ⅰ中我们利用了不等式的解法，计算简单、方便、灵活。

（3） 在模型Ⅲ中我们从经济、耐压、美观和实用性四个方面考虑，使模型更贴近实际。

（4） 建立的三个模型由简单到复杂，由粗略到精细，层层推进，步步优化。

2．模型的不足

（1）模型Ⅲ中还有许多因素没有考虑，例如：加工工艺技术的限制，接缝折边长度，

材料的不同，饮料罐的空间余量等。

（2）在模型Ⅱ与模型Ⅲ的计算过程中，我们限定了易拉罐的容积V （V =355毫升）和

罐壁厚b （b =0. 15）。

（3）由于时间关系和计算的复杂性，在模型Ⅲ中只考虑了罐底的形状为球冠，没有考

虑其他的形状。例如：椭圆。“球形封头与圆筒不等厚连接问题的探讨”一文中指出 “从制造角度来说, 标准椭圆形封头比球形封头易于制造且制造等尺寸等厚度的椭圆形封头比球形封头耗料少”[4]

二、模型的改进

（1）在模型Ⅲ的计算结果中可以看出起其结果还是比较符合我们所测量的结果，但是仔细的一看易拉罐的高度h （h 106. 8454）与我们测量得到的数据122.90还有一定的差距，所以我们考虑到饮料罐可能没有装满饮料，还留有一定的空间余量，如果把这一因素考虑进去建立新的模型，得到的h 会更接近于实际所测的数据122.90。

（2）在模型Ⅲ的最优设计中涉及到一些物理、材料力学及美学等方面的要求，这必须要有有关方面的专业知识，实际工作经验来确定，单靠数学知识是不够的。所以我们必须和实际工作者紧密结合。

浅谈数学建模

数学建模是利用数学语言(符号、式子与图象) 描述实际现象的过程。对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

建立一个数学模型与求解一个数学问题有着很大的差别。求解数学问题往往有唯一的答案，而数学建模往往没有唯一的答案。对与一个实际问题而言，数学建模没有确定的模式，但建模方法和过程却有着共同的规律。建立数学模型的过程，要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。

建模要经过哪个步骤没有一定的模式, 通常与问题的性质、建模的目的有关。数学建模的步骤可分为：

一、模型准备（问题分析）：了解问题的实际背景，明确其实际意义，收集与研究问题和问题有关的信息与资料，用数学语言来描述问题。

二、模型假设（分析与简化）：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

三、模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立所研究问题的数学模型。(尽量用简单的数学工具) 。

四、模型求解：选择适当的方法，利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计) 。

五、模型评价与改进（模型检验）：评价模型最重要的标准是模型及其求解是否能反映实际问题、满足解决实际问题的需要，将模型求得的结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

六、模型应用：将经过多次反复改进的模型及其求解应用于实际系统中。

在建立易拉罐最优设计模型时，我们遇到了以下困难（即建模时的难点）：

1、由于测量条件的限制，测出来的结果可能误差比较大。

2、非线性规划模型的计算比较困难，必须借助数学软件进行计算，如LINGO 。

3、再考虑多方面时由于某些物理材料力学方面的要求，必须有关方面的实际工作者或专家来确定，只靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合。

参考文献

[1]刘鸿文，《材料力学》（上册），出版地：北京，人民教育出版社，1979年2月第1版。

[2]曹宇平, 《材料力学》，出版地：北京, 中国建筑工业出版社，1978年12月第一版；

[3] 徐良、张密, 关于拱形结构之所以坚固原因的探究, http://www1.taru.edu.cn/dasai/zkyzp/%D0%EC%B9%FA%BD%AD/aboutus/bunnyhome/gongxing.htm , 2006年9月16日。

[4] 王小丽，球形封头与圆筒不等厚连接问题的探讨，设计与研究，33-34页，2003年第三期。

附件：

附件一、

model :

pi=3.1415;

b=0.15;

v=355000;

min =2*pi*b*(r1^2+r^2+0.5*(r1+r)*@sqr((r-r1)^2+h1^2)+r*(h-h1));

pi*(r1^2+r^2+r*r1)*h1+3*pi*r^2*(h-h1)-3*v=0; h>h1;

r>r1;

end

Local optimal solution found.

Objective value: 5206.095

Extended solver steps: 4

Total solver iterations: 205

Variable Value Reduced Cost

PI 3.141500 0.000000

B 0.1500000 0.000000

V 355000.0 0.000000

R1 29.83883 0.000000

R 30.57185 0.000000

H1 0.3674145 0.000000

H 120.9148 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 5206.095 -1.000000

2 0.000000 -0.3270983E-02

3 120.5473 0.000000

4 0.7330161 0.000000

5 0.000000 -0.3270983E-02

6 120.5473 0.000000

7 0.7330161 0.000000

11

附件二：

model :

b=0.15;

pi=3.1415;

v=355000;

min =b*pi*2*r*(h-h1-h2+r1^2)+b*pi*(r+r1)*@sqr((r-r1)^2+h1^2)+b*pi*(r2+r)*@sqr ((r-r2)^2+h2^2)+b*pi*22*(r2^2-h3^2);

pi*(r^2+r1^2+r*r1)*h1+3*pi*r^2*(h-h1-h2)+pi*(r2^2+r^2+r*r2)*h2-pi/2*h3*(3*r2^2+h3^2)-3*v=0;

2*r2*h3/(r2^2+h3^2)>=0.866;

2*r2*h3/(r2^2+h3^2)

2*r/h-0.618=0;

r1-r2=3;

r>r1;

h>h1+h2;

end

Local optimal solution found.

Objective value: 60351.81

Total solver iterations: 88

Variable Value Reduced Cost

B 0.1500000 0.000000

PI 3.141500 0.000000

V 355000.0 0.000000

R 32.53300 0.000000

H 106.8454 0.000000

H1 10.72101 -0.2645425E-07

H2 7.18004 0.4248386E-07

R1 30.52390 0.000000

R2 27.52390 0.000000

H3 9.85230 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 60351.81 -1.000000

2 0.000000 -0.4135818E-01

3 0.000000 -7325.715

4 0.1340000 0.000000

5 0.000000 -75344.65

6 0.000000 -14262.47

7 0.000000 -12085.47

8 110.4269 0.000000

9 0.000000 -2876.910

10 0.5662173E-01 0.000000

11 126.1796 0.000000

12