结构拓扑优化设计的理论与方法

2011年第1期 2011年1月 化学工程与装备

Chemical Engineering & Equipment

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结构拓扑优化设计的理论与方法

张德恒，鹿晓阳

（山东建筑大学 力学研究所，山东 济南 250101）

摘 要：从离散结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化两个方面,分别对结构拓扑优化的理论研究、优化方法、实际应用、拓展研究等方面的研究工作进行了介绍。并对拓扑优化中应用的主要数学求解方法进行了简要介绍，指出了它们的适用范围和优缺点。

关键词：拓扑优化；离散结构；连续体结构；数学规划法；最优准则法

结构优化设计是用系统的、目标定向的过程与方法代替传统设计,其目的在于寻求既经济又适用的结构形式,以最少的材料、最低的造价实现结构的最佳性能。结构形式包含了关于尺寸、形状和拓扑等信息,相应的结构优化设计分为三个层次:(1)尺寸优化:优化变量为杆件的横截面尺寸,或板壳的厚度分布；(2)形状优化:优化变量为杆系结构的节点坐标或表示连续体结构外形的变量；(3)拓扑优化:优化变量为杆系结构的节点布局、节点间的连接关系,或连续体结构的开孔数量和位置等拓扑信息。结构的拓扑构形选择恰当与否,决定了产品设计的主要性能,因而,在复杂结构的选型和轻量化设计中,拓扑优化比形状和尺寸优化更有价值。

结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续体结构的拓扑优化。其主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求材料的最优分布问题。虽然结构拓扑优化的概念已经提出100多年了, 但直到近几十年才得到快速的发展,在建筑、机械、航空、航天、海洋工程及船舶制造等领域有着广阔的应用前景。 1 离散结构拓扑优化

结构拓扑优化设计研究最早是从桁架类离散体结构开始的, 1904年Michell用解析方法研究了单载荷作用下应力约束的结构设计,提出了桁架结构设计的Michell准则，并将符合Michell 准则的桁架称为Michell 桁架, 这被认为是结构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑。但是, Michell提出的桁架理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场,并且解析方法所涉及的复杂数学推导限制了它在实际工程中的应用。直到1964 年, Dorn、Gomory、Greenberg 等人提出基结构法( ground structure approach),将数值方法引入到结构拓扑优化领域, 此后拓扑优化的研究重新活跃了起来。所谓的基结构就是一个由结构节点、荷载作用点和支承点组成的节点集合, 集合中所有节点之间用杆件相

连所形成的结构。该方法的基本思想是: 从基结构的模型出发, 应用优化算法( 数学规划法或优化准则法) , 按照某种规则或约束, 将一些不必要的杆件从基结构中删除, 保留的杆件决定了结构的最优拓扑。从基结构出发的拓扑优化方法,由于单工况、应力约束下使桁架结构重量最轻的最优拓扑,必定是一个静定结构,因此早期研究者常忽略变形协调条件,以杆件内力作为设计变量、节点平衡方程作为约束条件构造成线性规划问题来处理。这种方法虽然计算效率高,但却无法推广到多工况和考虑位移约束的情况,因为此时结构的最优拓扑往往是超静定的,必须涉及变形协调条件,并采用非线性规划法来求解。Dobbs 和Fetton 使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化。Shen 和Schmidt 采用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。王光远等提出了结构拓扑优化的两相法。Kirsch 针对离散结构的拓扑优化问题,提出了一种两阶段算法, 即首先以赘余内力和杆件截面积为设计变量, 忽略变形协调条件和位移约束, 将问题简化成容易求解的线性规划问题, 求出解的下界；第二阶段考虑全部约束, 在已得到的拓扑下解非线性规划, 得到杆件的截面面积。

针对大型结构的拓扑优化问题, Zhou和Rozvany发展了一种优化准则类算法,,即DCOC 算法, 认为采用这种算法可使准则法求解拓扑优化的能力大为提高。Bendsoe等对于桁架结构质量约束下的最小柔顺性(或最大刚度)设计及其对偶问题进行了较深入的研究,将它表达为仅含结构状态变量(位移、内力)的极大极小问题,设计了高效的处理非光滑优化问题的算法,大大提高了这类优化问题的求解效率。

近年来,一些适合于并行计算且对函数性态要求较低的全局搜索算法, 如遗传算法、神经元网络算法和模拟退火算法等开始被应用于拓扑优化上, 但目前这些方法仅能解决

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较小规模的问题。这方面代表性的工作有: 许素强和夏人伟、Grierson 和Pak采用遗传算法对桁架结构拓扑优化设计进行了探索性研究。用遗传算法求解拓扑优化设计, 满足结构杆件的删除与增加可以同时进行, 从而避免陷入众多局部最优。蔡文学和程耿东使用模拟退火算法求解桁架结构拓扑优化的全局最优解。构造了一个双重控制Met ropolis 准则处理应力约束,提出了一个基于力平衡的启发式准则, 以实现优化过程中单元的自动增删。刘光惠和韦日钰针对桁架拓扑优化问题提出桁架拓扑和尺寸优化的协同演化算法。亦有不少学者从离散变量优化设计角度来研究拓扑优化, 大连理工大学孙焕纯、柴山等人提出了离散变量拓扑优化的序列两级优化方法, 并取得了很好的结果。段宝岩和陈建军基于极大熵原理提出了一种新的杆系结构拓扑优化方法。通过引入应变能密度函数, 将极大熵与拓扑优化建立了内在联系, 从而将拓扑优化问题转化为寻求最佳应变能分布的问题。

需要指出的是, 在采用基结构法时, 无论是以截面积还是内力为设计变量最终都是将桁架拓扑优化问题转化为广义(截面) 尺寸优化问题, 这样做虽然简单, 但也带来了一些较难解决的困难, 例如Zhou和Rozvany的研究指出考虑应力、局部稳定(屈曲) 约束时的特殊困难; 还有“奇异最优解” 问题等。奇异最优解问题是Sved 和Ginos 最早发现的，奇异解问题实质上就是在求解优化问题时, 陷入局部最优解, 而无法得到全局最优解的现象。Kirsch对该问题做了进一步研究后指出, 结构最优拓扑可能是设计空间的一个奇异点, 并绘制了设计域的图形; 程耿东对此做了详细说明, 指出了应力约束函数在零截面处的不连续性是造成奇异最优解的根本原因,结构拓扑优化的可行域不仅可能非凸而且可能呈星形, 全局最优解可能位于设计空间中非凸星形可行域的退化低维子域的端点，因此采用传统的数学规划方法难以得到全局最优解。程耿东和郭旭提出一种ε- Relaxed 算法处理桁架结构奇异最优解问题, 这种方法通过对原问题的约束函数加以变换并予以适当放松, 使原问题中处于低维退化子域上的可行点附近的可行域测度不再为零, 从而可以利用已有的拓扑优化算法有效地求出全局最优解。

2 连续体结构拓扑优化

1988年Bendsoe和Kikuchi提出的结构拓扑优化设计的均匀化方法,标志着连续体结构拓扑优化设计的诞生。结构拓扑优化设计的主要研究对象是连续体结构,由于拓扑优化设计结果需要描述连续体结构中各处的材料特征,即描述结构中各处材料是否存在,其设计变量为无穷多个。将该问题转化为有限个单元是否存在的问题,设计变量变为有限个,利用数学规划法和准则法,依据给定的准则和约束条件删除部分区域内的单元,形成带孔的连续体,实现连续体的拓扑

优化设计。在结构拓扑优化设计的相关研究中,关于渐进法、均匀法、密度法及其相关应用研究最多,发展较快,是结构拓扑优化设计的主要方法。 2.1 均匀化方法

均匀化方法是连续体结构拓扑优化中最常用的方法, 属材料描述方式。其基本思想是在拓扑结构的材料中引入微结构( 单胞) , 微结构的形式和尺寸参数决定了宏观材料在此点的弹性性质和密度。优化过程中以微结构的单胞尺寸作为拓扑设计变量, 以单胞尺寸的消长实现微结构的增删, 并产生由中间尺寸单胞构成的复合材料,以拓展设计空间, 实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。目前,均匀化方法已成为结构拓扑优化的主要方法之一。它依靠微结构参数来松弛材料密度,使其伪密度可以在区间[ 0, 1 ]上连续取值,代替了在离散空间{0, 1}上的取值。由于设计空间的拓展,均匀化方法的理论基础严谨、设计空间完备,保证了拓扑优化设计最优解的存在。该方法的不足之处是:需要确定微结构的最优尺寸和方向,设计变量相对较多,有时显得过于繁琐；计算结果中常包含中间密度的微结构,也难于符合生产实际。目前均匀化方法已用于处理多工况的二维、三维连续体结构拓扑优化, 热弹性结构拓扑优化, 考虑结构振动、屈曲问题的拓扑优化, 并被用于复合材料的设计中。

2.2 变密度方法

变密度法也是一种常用的拓扑优化方法, 属材料(物理)描述方式。变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系,这种方法基于各向同性材料, 不需要引入微结构和附加的均匀化过程, 它以每个单元的相对密度作为设计变量,人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系, 程序实现简单, 计算效率高。变密度法中常用的插值模型主要有: 固体各向同性惩罚微结构模型( solidisotropic microstructures with penalization, 简称SIMP) 和材料属性的合理近似模型( rational approximation ofmaterial properties, 简称RAMP) 。SIMP 或RAMP 通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚, 使中间密度值向0/1两端聚集, 使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近0-1 离散变量的优化模型, 这时中间密度单元对应一个很小的弹性模量, 对结构刚度矩阵的影响将变得很小。变密度法在多工况应力约束下平面体结构、三维连续体结构、结构碰撞、汽车车架设计等问题上得到成功应用。代表性的工作有:Mlejnek 建立的变密度模型；张东旭对平面弹性体问题的研究；YangRenjie 对于车身拓扑优化的应用；孟明等对于卧式千斤顶墙板的拓扑优化等等。 2.3 渐进法

渐进结构优化方法是近些年来兴起的一种解决各类结

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构优化问题的数值方法，是由澳大利亚华裔学者谢亿民于1993年提出的,主要用于连续体结构拓扑优化设计问题。通过逐渐将无效或低效的材料删除,实现连续结构拓扑优化,避免了多变量数学规划求解。渐进法的思想源自于力学准则法,代表了一类基于力学准则法的拓扑优化设计方法。单元删除通常有三种方法: (1)直接将单元从有限元网格中删除；(2)将单元的材料号置为0,在组装总体刚度矩阵时忽略该单元；(3)将单元的弹性模量改变为很小的值,包括“软杀死”和“硬杀死”策略。郭中泽等提出了同时减小单元的弹性模量和密度的基于单元材料属性改变的渐进法( Element’s Properties ChangeMethod,EPCM) 。EPCM适合于静力(包括惯性过载)拓扑优化设计和动力拓扑优化设计,发展了基于“硬杀死”策略的渐进结构拓扑优化方法。渐进法的优点是:物理概念明确,利用计算机的分析能力进行求解,简单实用,避免了0 - 1整数规划的求解困难;与均匀化方法相比较,渐进法具有设计变量少，可借助已有的有限元分析软件,通过迭代过程在计算机上实现,迭代过程算法的通用性好;灵敏度值通过对有限元分析结果进行后处理近似得到,可节省结构重分析时间。渐进法缺点是迭代次数较多,计算效率较低；算法的收敛性还没有得到证明,但许多算例表明了渐进法在解决实际问题是非常成功的。徐斌等在ESO 方法的基础上, 针对简谐激励下的连续体结构的拓扑优化提出了一种新的优化指示器。荣见华等基于ESO 提出了一种适合于桥梁结构的拓扑优化方法。它具有优化以张力和( 或) 压力占优的设计能力并进一步提出了一种精细网格设计方案。 3 优化数学算法

为了将结构优化技术付诸实用, 除了建立可靠的优化模型外, 还需要选择收敛速度快且计算不是很复杂的优化算法。采用适当的优化算法求解数学模型, 可归结为在给定条件下求目标函数的极值或最优值问题。按优化算法的理论基础划分, 大致可以归纳为三类: 数学规划法、最优准则法和仿生学方法。 3.1 数学规划法

1960年, Schmit首先给出了用数学规划方法求解多种载荷情况下弹性结构设计的数学表达, 开始了现代结构优化的新时代。将优化问题抽象成数学规划形式来求解, 即把问题归结为在设计空间中, 由等式约束超曲面和不等式约束半空间所构成的可行域内, 寻求位于最小目标等值面上的可行点, 它便是问题的最优解点。数学规划法有严格的理论基础, 在一定条件下能收敛到最优解, 但它要求问题能显式表示, 大多数还要求设计变量是连续变量、目标与约束函数连续且性态良好(当然动态规划法能适用于离散变量问题) 。对于大型的结构优化问题, 收敛性并不好且迭代次数过多, 使结构重分析的工作量过大, 从而效率不高。近似概

念的提出大大改进了规划方法的计算效率,达到了结构分析次数与准则法同等的程度, 但却保持了更好的通用性和更严密的数学基础。对于线性问题, 单纯形法已比较成熟, 近年来又有椭球算法与卡玛卡算法, 它们比单纯形法有更高的效率,但这是当变量数目十分巨大时才比较明显。对于非线性问题, 还没有一种通用的成熟方法。目前的方法大致有如下几种: 一种是序列无约束极小化技术, 如罚函数法、乘子法等；另一种是线性近似技术, 如序列线性规划法、割平面法等；第三种是探讨在约束边界处搜索的可行方向法, 如可行方向法、梯度投影法等, 最后一种是只利用函数值不使用导数信息的直接法, 如复形法、随机试验法等。 3.2 最优准则法

最优准则法是最先发展的一种结构优化设计方法, 50 年代末开始用于工程结构设计, 60 年代得到发展。70 年代, 人们把数学中最优解应满足的Kuhn - Tucker 条件作为最优结构满足的准则,使通用性得到提高, 理论性得到加强。最近,Venkayya 把优化准则法推广到更加一般的系统优化并提出所谓复合射线调整以确保解的可行性。最优准则法的最大优点是要求重分析次数一般与变量的数目没有多大关系, 收敛快,计算效率高, 而且它的原理简单、直观、易为工程设计人员接受与掌握, 所以用得较多的优化算法也是准则法。然而在建立迭代公式的过程中经常需要引入一些假设, 这些假设往往与所研究问题的特点, 如约束种类等有关, 因此方法的通用性受到限制。更重要的是, 准则法的递推公式缺乏数学基础, 没有收敛性证明, 也许是引起迭代过程振荡或不收敛的原因。最近, Rozvany 和zhou 把优化准则理论与有限元结合起来, 提出一种所谓迭代的油画准则法, 该方法目前仅能考虑应力约束, 一个位移约束, 但计算效率很高, 求解的问题规模很大, 并且已用于拓扑优化。但该方法尚难推广于任意约束的情况, 通用性不理想。

数学规划方法与优化准则方法的统一的主要标志是对偶法的出现。Fleury 和Sander 在原有最佳准则方法的基础上, 提出了广义最佳准则以及用对偶公式求解结构优化问题, 并研究了准则法和规划方法的关系。接着Schmit 和Fleury 提出了近似概念和对偶方法结合的算法,进一步提高了规划法的效率。上述几项工作把数学规划法和优化准则法联系并统一起来。钱令希等利用Kuhn - Tucker 条件建立了修改设计变量的迭代关系, 用二次规划方法求解拉格朗日乘子也是一种准则法和规划法结合起来的混合方法。对偶方法对于准则法使其系统化、理论化, 对于近似概念提高了求解近似子问题的计算效率, 它使原来相对立的二种方法统一起来, 因而, 具有重要的意义。夏人伟等利用目标函数约束函数二阶Taylor 展开构造近似函数, 并利用对偶方法求解近似问题, 该方法提高了近似函数的精度, 但完全的二阶敏度矩阵计算是费时的。Fleury也利用了二阶信息建立

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了可用对偶方法求解的近似问题, 该方法线化约束函数, 目标函数用拉格朗日函数的非完全二阶近似, 该方法吸收了序列二次规划(SQP) 的思想, 又保留变量可分离的形式, 因而可以用对偶方法更有效地处理近似问题。 3.3 仿生学法

目前模拟自然界进化的算法有模仿自然界过程算法与模仿自然界结构算法, 对于仿生学算法主要有: 遗传算法； 模拟退火法； 神经元网络算法等 。 3.3.1 遗传算法

遗传算法是近年来发展起来的一种启发式算法， 是一类可以用于复杂系统优化计算的鲁棒搜索算法。遗传算法是根据自然进化过程抽象出来的算法，包括选择、交叉和变异等过程。其对约束函数是设计变量的显函数的问题比较有效，在搜索时使用的是将变量编码形成的二进制串值， 适用于离散变量，而对于连续变量还需要离散化。该算法在结构优化设计中的致命缺点是结构重分析次数太多，搜索效率不高，另外还容易出现过早收敛等。对此，许多专家学者进行了深入的研究， 提出了各种变形的遗传算法。如分层遗传算法，跨世代异物种重组大变异(CHC)算法，Messy 遗传算法，自适应遗传算法，基于小生境技术的遗传算法，并行遗传算法等，还将遗传算法与其他算法相结合（如相对差商法，混沌算法等），组成混合遗传算法。 3.3.2 模拟退火法

模拟退火法也是近些年来发展的一种启发式算法。该法来源于统计力学，它模拟固体退火过程采用Metropolis 接受准则， 并用一组称为冷却速度进度表的参数控制算法的进程，使算法在多项式时间内得到一个近似最优解。模拟退火法简便实用、易于编程，但不能保证获得全局最优解， 其在搜索过程中需要确定目标值的下降比率，如何降低没有一定的标准；另外试探数达到多少开始降低目标限值也难以确定是其两个难点。为克服经典模拟退火算法的缺点， 一些学者对其进行了改进。都志辉等人提出一种混合SPMD 模拟退火算法，显著提高了算法的收敛速度；李国名提出一种改进的模拟退火算法，高占远将单纯形法与模拟退火算法结合并提出改进措施，都具有较好的求解效率和全局优化能力。 3.3.3 人工神经网络

1982 年, 美国加州工学院物理学家N.N.Hopfield 提出了神经网络模型,Hopfield 最初的工作是用于解决0 - 1 离散规划和线性规划问题,在其后的研究中逐步将其推广到约束非线性优化问题上。其以非线性大规模并行分布分处理为基础,具有高速运算的能力，具有很强的自学习、自适应能力及良好的容错性，很强的非线性映射能力。Dhingra 利用Hopfield 模型解决了非静定三杆结构的优化和焊接结构的优化问题；陆今桂利用Hopfield 神经网络模型开展了离

散变量结构优化问题的研究，另外还有一些学者提出了混沌神经网络模型，模糊神经网络模型等。 4 结语

优化设计是一种“综合”, 它要综合各方面的因素、要求和约束, 以产生一个尽可能理想和满意的设计方案,显然其复杂和困难程度要比单纯的分析大得多。结构拓扑优化目前仍然处在发展初期,理论上虽有较多进展, 但实际应用相对来说较少, 在这一领域需要更加深入的研究。

就拓扑优化的发展方向, 主要有下面几个方面：多目标问题与非确定性优化的研究与应用,模型塑造亦更加切合实际要求,形成若干程式；在模型构造上寻求新的途径，结合工程具体问题进行拓扑优化设计的研究,使之更接近于实际，针对不同领域 (如动力、传热、材料设计等) 研究拓扑优化方法；可靠性的优化，结构的可靠性正日益成为现代结构设计的重要指标,基于可靠性的拓扑优化设计应该是将来的一个研究方向；可靠、高效、通用算法的进一步研究使拓扑优化问题能够获得全局最优解。

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