N-S方程推导
写在前面话 的人本学非流体身,初时只略有出猎涉后,因习需要,勘学此流 体第方一程——avNir-etSokse方 程。于此本专业或明毓聪之人,自秀不在 话下,我则艰涩于懂难往往。显而“见易之处”我,需索多时, 思断续断间续,自接触今至已近一,。年其间人事变动,月倥岁偬, 总可算其窥径。门方此程既流是体力学柱支,亦门径是学之欲。登堂 室,入此一之节,逾越得不。我不当得领之要,时曾立誓,若得,通定 当付网之络知,于似我愚等鲁又而欲之知。 此文欢迎者载转讨,论,指,多教多善益 Email。zsq:[email protected] m目
引言录 ...........................................................2 一 、-N 方程S的最初形 式......................................... 3 .1、作用在元单上的体.力......................................3 1. 1 量力质.............................................. 31.2表 力面............................................. 4. 2、单元体的速加和度量重.................................... .5 二应、形式化简力................................................ 6、切应1力应变的关系与...................................... . 62、向应力与应变法的关系.................................... 6 .三、不压缩可流体 的N- S程方..................................... 8 .rd u四、速加度项 处理 ....的.................................... 1.0 dt 【录附】关于哈密算顿子D(le Opraeort)........................ 11.
引
言
理【论依据】理 论据】依 理依论非据常单简,牛顿二定第律。F ma(=) 1有了力,受有了加速,度方程基本形式就算完成。本余的下就 ,对力是、速加等的度理处、化简了 。本【思路文】 文思路】 本文首本先据牛根第二定顿律,找到所研究的元体受到单的。力即质量力 和表面力(一) 根。应据和力应的变系关,应将进行转化力,因实际应用为应力时是很难获取的 。这就得了到可压 流体 N缩- S程最方般一的形式。 二( )结连合性续程方(质即量守方恒程,得)到不可压了流体缩N -S方程 形的式。三) 对其(速加项度行化进简,转化 一为的形式般。因 为速度加两有个, 地当加速度位移加和速,只度是用一个du
表示会特殊性给试下化 的t
简带来问d题这。就得到了样们我常见最不可的压缩流体 的-S N方 (41程)式(。四)
、N-S 一程的最方形式
1、初用作在元单体上的
力z
ə
σzzd — σzz+z— —zə
ə
τxzd — zτzx+— — ə 2 əzxτzd —xτ z+x—— xə2 əσx xdx —σ x+ x——əx 2
2 əτyz zd— τz +y — ə—z 2 τyz də —y τy+ —z —ə 2y əσyy d y —yy+ —σ—əy 2y
əxτyd x— τyx+ — əx—2
əyxτ yd —yτx +—— yə2
x
图
1用作在元体上单的力 用力有作两,即
类
质量和力面表。
力.1 1量质力
质
力量作是在用每一个流质点体上,大与小流体的质量成正比。工程 体流力学,中遇到会两质种力量:力重惯性力。和性惯力一个 是很殊的称谓特,原中来学教中程为惯认性力不并是,但是力实上, 在际出加速现度的时候,性惯力作用的同普力通完全一样的是只,是惯 性会随力加着度的速消失而消失。果如为认惯力性是种力一,么那 顿第牛定二(1)也律以可为认力是平的衡。式右的就端惯是力,左 端性是就他的其常力。规其实观一下察力,重Gmg,=同惯性力 ma的 本质 是上致一的g ,身本就是重加速度力。但这个在导中,暂且不将
推
惯性力视作
规常,力而按是一般的照顿牛第二定来推导律虽然这样 做本。质上有没一点变。化假设 单位量流质上体的量力质在各个坐标的分量轴分别为,X , Y, Z。 1 流图单元体体的质量为 :ρ dxydd 。则作z在流用单元体上体的质 量力在标轴坐的分量别为分 X : dxdρydz、 Y ρ dxydzd 、 Zρ dxd yd z
。.2 11.2 面表
力
用作隔离流体在也就是(取所研的流究体单)元表的面和作,用 的面积正成的比。力分垂为直于用作的面压力沿和作面用向方的 力。切表力面可使作用以流于体界的压面力、力,切可以是也部一分 体流质作用点相邻于一部分另体流点的质压、力力切单位作用面的。 压(一第个下表标示用面作法线的向方 ,应、力 应切力为图 1即 中的σ 、 第τ二下标个表示的力向)方 。 x 以方为向,流例单体受元的到力
: ∂σ x d σ∂ x xd x G x= σ x +x x x − xx −σ dyz ∂d 2 ∂xx2 作
用x方在的压力
向 ∂ τyd ∂τ y dxy + τy +xyx − τxy− ddzx(2) y ∂2 y 2∂
作用x在方的切力向
∂ dτ z∂ dτz + τxz +zx − τ z −xz x xdy d∂z 2 z ∂2
作在用方x的切力
即:
向∂
τ σ∂ τ∂ xG = x x+yx + x z∂y z∂ ∂
y,z x方向同理可获得
。 ddxyd (z)3
σ∂ ∂τ ∂τG y =x y +yy z+y xdyddz( ) 4y∂ ∂z ∂ x∂τ τ ∂∂σ G z = zx+ y + zz z xdyddz 5) ∂y (∂z ∂x
2、单体元的速度和加量
加重度和速质的乘积(量(1式右))侧三在个方上的向分量分为别:d uam x x ρ= dxddyz( ) d6 mtay =m a =z d uy td
ρdx dyzd 7(
d) u z dxdydzρ( ) 8td
(将)(3)6带入(式1),x式 方向有
:∂ σxx τ ∂yx∂ zτx du x ++ 9)( xdydd z + Xρddxyzd =ρdx dydzx y dzt∂ ∂∂
即
:
ρ
ud xσ xx∂∂ τyx∂τ zx = ++ d t x ∂∂ y∂
z
+ ρ (10X)
同样
:ρ
duρy
σ∂∂τ τ∂ = y x y+ y+z yd t x∂ y ∂z∂
+ρY 1() 1 + ρZ( 1)2
duz ∂τ x z∂τ z ∂yσ z z= + d+t x∂∂ y∂z
二、应形式力简 化应力形式化简
1、应力切应与变关系的τ xy
= τ yx= µ τ
xz = zxτ =µ
∂ u xu ∂y + ( 31)∂ x ∂y
∂ u ∂u z x +(14 ) ∂x ∂z
yτz = τ z = µ
y
u ∂ ∂u z y ∂+ y∂
z
(5) 1
、法向2应与力变应关的系σ
x =x − p +2 µ
r∂u 2x − µ∇u (1) 6x∂3
σ
yy =− p + 2µ σ
zz = −p+ 2µ
∂
y
ur
2 − µ u (∇7)1 y ∂
3r∂ uz − 2µ u (1∇)8 ∂ 3
z(1将3、(16)带入()10,
r) ∂σxx ∂ u∂ 2 = −p + µ x2 − ∇µ u ∂ x x ∂ ∂x 3 r p∂ ∂ ∂ u 2 ∂ =− + 2µ x − ∇ µ (19u)∂x ∂x ∂x 3∂ x r 2∂ 2 ∂u ∂ p −=+ 2µ 2 −xµ ∇u ∂ xx ∂ 3∂
x(
)
(
∂)τ y ∂yx
=
∂∂u x ∂u y+ µ y ∂ y∂∂x ∂ ∂ ux ∂y ∂y
(2)0
=µ
=µ
∂2 x +uµ ∂ y2 x∂y
∂
∂ ∂uy +µ ∂y ∂ x2 ∂ u
∂y zτx ∂∂u xu∂ z=µ ∂+z∂z z ∂x =∂ ∂ µ∂ u x∂z z
∂
(2 ) 1
∂ ∂uz + µ z ∂ ∂x 22 ∂ ∂uu z=µ 2x + µ∂z x∂∂
即:
zρ
udx ∂σ xx τ ∂xy∂ τzx =+ +t d ∂ ∂y ∂zx
+ X ρr ∂ u2y ∂ 2u x ∂2 ∂u2x ∂2u∂p ∂ u2z =− + 2µ 2 − µ ∇u +µ 2 + +µ 2x + µµ +ρ Xx∂ ∂x3 x∂ y∂ ∂∂xy ∂ ∂x∂zz
( )
r
∂ 2 u x∂2 u ∂y u2 z 2 ∂∂ 2 ux ∂2 ux ∂ 2 u x ∂p = − +µ + 22 + 2+µ2 + + − µ∇ u ρ+X 3∂x ∂ ∂y ∂zx ∂x y∂∂ x∂ z x∂ x ∂ ∂pr ∂ ∂ u∂ y ∂u zu 2∂ =− + µ 2∇ux µ x++ + ∇ u +ρX − µ∂ xx ∂ ∂ ∂x y∂z 3 ∂x r2 ∂ r∂p ∂ = − +∇µ u2 + µ x∇u µ ∇−u + ρ ∂X xx ∂ ∂x3r ∂ 1 ∂p = −+ µ ∇2 x + µu∇ u +X ∂ρ 3x∂
( x
)
()
( )
(
)
()
(
2) 同理: 2 dr ∂u p ∂ ρ 1x = − µ∇ +u2 x+ µ∇ +uρ X 23) (dt ∂x3 ∂x
(
)
ρ
ρ
du
y d
t
=−
r∂p ∂ 1+µ∇ 2u y µ ∇ u ++ ρ (Y42)∂y 3 ∂y
)
(
rdu z ∂p 1 ∂= − +∇µ2u z + ∇µu + ρ Z (2 )5d t∂ z3 ∂z 矢量形式:v 1 vvuv du ρ = ∇−p µ+∇ u2+ µ ∇∇ u + Fρ 2()6 t d3
(
))
(
、不三可压缩流体 N的- 方程S
连性方续程基的本推导原就是,理元体内流出、单入流量质等差于 该间时段内单体内元量的质变化。理原是很简单。没有的流流出 入质量就不会化
变,流流出入了差值,有明单元说的质体变量化了。 以 仍 x向为方。例左 质量侧流(一般速的速流体是流速,积ms,为了推/质导的量 变需化要入引质量流, 速量质速的流定就义单位是时内通过单间位截 面的横体流质量为 ρ)ux ,量质速是位置流的数函,因此右在侧流面 的出量流质速 ρ为 x u+ 差:为
∂ (ρ u )x ∂ (uρ x) xd yddzd t [ − u ρx] d yddtz =d dyxzdd (2t7) ρux+ ∂ ∂ x x
∂( ρ u ) x∂ xx 。d时段间dt 流出内、入流元体的单质量
同理,该间时段dt y 内向,z 方方向流的出流质量差入:
∂ 为 (ρu y ∂y)dx dyddt z(2)
∂8( ρ u z)∂ z
d
xddyzd t(29)
因此
时间,段 dt 单元内体个六流出面、流的入质差为量:
( ρu∂ )x∂ ( uρ y) ∂ ρuz ) ( ∂(ρ uy) ∂ (ρ xu ∂ )( ρu z)d xdyddzt+ xdyddzd +t xddyzddt =++ xdydzddt ∂x ∂ ∂y ∂x z∂y z∂
(30)
改时间段d t单元内体量质变的化现体密度随时间在变的化,开上 始间时度密ρ为,d t时末间度密为
dxdydρ z− ρ+
∂ρ td 质。量的变化: ∂为t
∂ρ ∂ρdt d xydd = − zddydzdx t(31) t ∂ ∂t
据质根守量,(3恒0)式等于(31式),
即∂ ρu( x ∂) ρu(y ) ∂ (ρ z ) u∂ρ + + xdddyzt d =− xdydzdtd(32 ∂)x ∂y∂z ∂t
简化
,∂
( ρx )u∂ ( ρu y )∂( ρ uz ∂)ρ+ + = 0 (+33 )∂ ∂y ∂z x∂
tr∂ ρ∇ ρu ( + = 0)(3 )4∂
t如果
不可缩压流,体密度=cnstonat
度为:, ∇ u =r0 (3)
4∂ρ
= 0 ,密度项以提取可来出, 散t
∂
(将4)3带入式(26)式,不可压缩流体 的Naver-itSokse 程为:方v v uvd u ρ= − p∇+ µ∇ 2 u ρ F+ 3(5 )td
r
u d、加速四项 d度
t的理
处流
中动,不不仅同位的置点有具同的速不度就是在同一点,不,时同 速刻度可也不能同。速既度位置的函数也是是间时的函。数此因,加 速度有两部分组:成迁加移速度当地和速加。度以 x方为向例,加度速的表式为:
a达x= udx ( x, y z , t, ) ux ∂u∂x xd u∂xdy u∂x z d += + (+63) ∂t x∂ t dy∂dt ∂ z t dtd
式
中,单时间内,x位(或y, 或 )方z的向增既是量x 方向 加的度速, :即
xd yd zd u x ,= u y=, = zu( 37 )t dtd t
d带
入(63)式y,方向 ,z方 向同,理到得同不方的向加度速:
∂为 xu∂ u∂u ∂u + x x u+ u yx + u xz ∂ tx∂∂y ∂z∂ u y ∂u y u ∂ ∂y yua = y +x u+u y uz +3()8 t∂∂x ∂y z ∂∂u∂ ∂uu∂ u a = z +z ux z+ uy +z z u z∂t∂x ∂y ∂ az x=
矢量
形式为:
rr r du∂ urr = = a u ∇ +u 3(9可见附,录) dt t
∂
)(
将(
39)式入带(26式)可,得最见的常N viaer-Sokets 方程形式
:r rv vu ∂ r uρ +
u ∇ u =∇−p+ µ ∇2 u+ Fρ(40) t∂
)
或(可写:为
rµ v uv ∂ ru− ∇p+ ∇2 +u F= + u ∇u (41) ∂ ρ ρ
t1
r
(
)
【录附】附录 】关于哈密顿子(算关于哈密顿 子算(De Oleraptro)∂
∂ i∂+ +j k 42() ∂x ∂ ∂yz
=
梯∇度
∂∂∂ ∂p ∂ pp g∂rap = dp∇ = i+ +j k p= i+j +k( 3)4∂ z ∂ x∂y∂ z ∂ x∂y
散度
r r∂ u ∂u∂y ∂uz ∂ ∂ diuv = u ∇= i +j+ k( ui +x uy j u+z k =)x + +44) ∂( z ∂ ∂y ∂zx ∂x∂y
拉普拉斯算子
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ϕ ∆= 2∇ϕ= i + j + ki + j + k ϕ ∂ z ∂x ∂y∂ z ∂x∂ y∂ 2∂2∂2 ∂2ϕ ∂2 ϕ 2ϕ∂= 2+ +2 2 ϕ= 2 + 2 +2 x ∂y∂∂z ∂x y∂∂ z
4(4)
速加度矢量的式形:
(
r)r ∂ ∂∂ ru ∇ u= ( ux i u+ j y +uz k )• +ij + k u∂z ∂x y ∂ (45) ∂ ∂∂ r = xu+ uy + uz u∂y ∂z ∂x
X向
(方u∇ ) u r
x
∂ ∂ uu∂ ∂ u∂ ∂ = ux+ uy+ u z xu= u x + u yxx +u z x(46) ∂ y∂z x∂∂y ∂z ∂
x
他方其同理可得向
。