2017中考数学二次函数专题 .doc
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1. 定义:一般地,如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) ,那么y 叫做x 的二次函数. 2. 二次函数y =ax 2的性质
(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.
①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;
②当a
(a ≠0)(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2.
3. 二次函数 y =ax 2+bx +c 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4. 二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成:y =a (x -h )+k 的形式,其中
2
b 4ac -b 2
h =-,k =.
2a 4a
5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y =ax ;②y =ax +k ;③y =a (x -h );④y =a (x -h )+k ;⑤y =ax 2+bx +c .
2
2
2
2
6. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当a >0时,开口向上;当a
a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴(或重合)的直线记作x =h . 特别地,y 轴记作直线x =0.
7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛
(-) (1)公式法:y =ax +bx +c =a x +,∴顶点是,⎪+
2a 4a 2a ⎭4a ⎝
2
2
对称轴是直线x =-
b
. 2a
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式,得到顶
2
点为(h , k ) ,对称轴是直线x =h .
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线
的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9. 抛物线y =ax 2+bx +c 中,a , b , c 的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与y =ax 2中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线
b b
,故:①b =0时,对称轴为y 轴;②>0(即a 、b 同号)时,对称轴2a a
b
在y 轴左侧;③
a x =-
(3)c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
当x =0时,y =c ,∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①c =0,抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴;③c
半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则
b
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.
2
(2)顶点式:y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2,通常选用交点式:y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
(1)y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ).
(2)与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax 2+bx +c 有且只有一个交点
(h , ah +bh +c ). (3)抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2,是对应一元
二次方程ax +bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔∆
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时,两交点的纵坐
标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
2 (5)一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的
2
22
交点,由方程组y =kx +n y =ax 2+bx +c
的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无⇔l 与G 有两个交点; 解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为
2
A (x 1,0),B (x 2,0),由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根,故
b c
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
AB =x 1-x 2=
(x 1-x 2)
2
=
(x 1-x 2)
2
b 2-4ac ∆⎛b ⎫4c
-4x 1x 2= -⎪-==
a a a ⎝a ⎭
2
第二部分 典型习题
1. 抛物线y =x +2x -2的顶点坐标是 ( D )
A. (2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )
A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <
2
第2, 3题图 第4题图
3. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( D ) A .a >0,b <0,c >0 B.a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D.a <0,b >0,c >0 4. 如图,已知
中,BC=8,BC 上的高
,D 为BC 上一点,
,交AB 于
的面积关于的
点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、B ),设E 到BC 的距离为,则函数的图象大致为( D )
EF 4-x
=⇒EF =8-2x , ∴y =-x 2+4x 84
5. 抛物线y =x -2x -3与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为.
6. 已知二次函数y =kx +(2k-,则对于下1) x -1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)列结论:①当x =-2时,y =1;②当x >x 2时,y >0;③方程kx +(2k -1) x -1=0有
2
2
2
两个不相等的实数根x 1、x 2;④x 1<-1,x
2>-,其中所有正1;⑤x 2-x 1k
确的结论是 ①③④ (只需填写序号).
7. 已知直线y =-2x +b (b ≠0)与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为
y =x 2-(b +10)x +c .
(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线y =-2x +b 上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线
y =-2x +b 的解析式.
解:(1)y =x 2-10或y =x 2-4x -6
b +10b 2+16b +100
, -) ,由题意得 将(0,b ) 代入,得c =b . 顶点坐标为(24
b +10b 2+16b +100
-2⨯+b =-,解得b 1=-10, b 2=-6.
24
(2)y =-2x -2
8. 有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数,已知输入值为
-2,0, 1时, 相应的输出值分别为5, -3, -4.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.
解:(1)设所求二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,
⎧a (-2) 2+b (-2) +c =5⎧a =1⎧c =-3
⎪⎪⎪⎪
则⎨a ⋅02+b ⋅0+c =-3, 即⎨2a -b =4 ,解得⎨b =-2 ⎪a +b +c =-4⎪c =-3⎪a +b =-1
⎩⎩⎪⎩
故所求的解析式为:y =x 2-2x -3. (2) 函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y 为正数时, 输入值x 的取值范围是x 3.
9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼
的体温是上升的? 它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式.
解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
12
x +2x +24(10≤x ≤22) 16
42
10. 已知抛物线y =ax +(+3a ) x +4与x 轴交于A 、
3
⑶y =-
B两点,与y 轴交于点C .是否存在实数a ,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不 存在,请说明理由.
解:依题意,得点C 的坐标为(0,4).
设点A 、B 的坐标分别为(x 1,0),(x 2,0), 由ax +(+3a ) x +4=0,解得 x 1=-3,x 2=- ∴ 点A 、B 的坐标分别为(-3,0),(- ∴ AB =|-
2
4
34. 3a
4
,0). 3a
4
+3|,AC =AO 2+OC 2=5, 3a
BC =BO 2+OC 2=-
∴ AB =|-
2
42
|+42. 3a
4164168
+3|2=2-2⨯3⨯+9=2-+9, 3a 9a 3a 9a a
1622
+16. AC =25,BC =9a 2
〈ⅰ〉当AB =AC +BC 时,∠ACB =90°. 由AB =AC +BC ,
2
2
2
2
2
2
16816
-+9=25+(+16) . 9a 2a 9a 2
1
解得 a =-.
4
得
∴ 当a =-
2
[1**********]2时,点B 的坐标为(,0),AB =,AC =25,BC =. 4993
2
2
于是AB =AC +BC . ∴ 当a =-
2
1
时,△ABC 为直角三角形. 4
2
2
〈ⅱ〉当AC =AB +BC 时,∠ABC =90°.
222
由AC =AB +BC ,得25=(
16816
-+9) +(+16) . 22a 9a 9a
4
. 9444
当a =时,-==-3,点B (-3,0)与点A 重合,不合题意.
93a 3⨯4
9
解得 a =
〈ⅲ〉当BC =AC +AB 时,∠BAC =90°. 由BC =AC +AB ,得 解得 a =
2
2
2
2
2
2
16168
+16=25+(-+9) . 9a 29a 2a
4
.不合题意. 9
1
时,△ABC 为直角三角形. 4
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当a =-
11. 已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.
(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB
m 的值; (2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.
解: (1)A(x 1,0),B(x2,0) . 则x 1 ,x 2是方程 x 2-mx +m -2=0的两根. ∵x 1 + x 2 =m , x1·x 2 =m-2 <0 即m <2 ;
又AB =∣x 1 — x 2
∴m 2-4m +3=0 .
解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . (2)M(a,b) ,则N(-a ,-b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,
2
⎧⎪-a +ma -m +2=b , ①∴⎨
2⎪⎩-a -ma -m +2=-b . ②
①+②得:-2a 2-2m +4=0 . ∴a 2=-m +2 . ∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、
N.
∴a = .
这时M 、N 到y
又点C 坐标为(0,2-m ), 而S △M N C = 27 , ∴2³
1
³(2-m
=27 . 2
∴解得m=-7 .
12. 已知:抛物线y =ax 2+4ax +t 与x 轴的一个交点为A (-1,0). (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标;
(2)D 是抛物线与y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点,如果点E 在(2)中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,
问:在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△APE 的周长最小? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解法一:
(1)依题意,抛物线的对称轴为x =-2. ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0),
∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).
(2)∵ 抛物线y =ax +4ax +t 与x 轴的一个交点为A (-1, 0), ∴ a (-1) +4a (-1) +t =0.∴ t=3a .∴ y =ax +4ax +3a .
∴ D(0,3a ).∴ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线y =ax +4ax +3a 上, ∵ C(-4,3a ).∴ AB=2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ ∴ a±1.
∴ 所求抛物线的解析式为y =x +4x +3或y =-x -4ax -3. (3)设点E 坐标为(x 0,y 0). 依题意,x 0<0,y 0<0, 且
2
2
2
2
2
2
11
(AB +CD ) ⋅OD =9.∴ (2+4) 3a 9.
22
55
=.∴ y 0=-x 0.
2x 02
2
y 0
①设点E 在抛物线y =x +4x +3上,
2
∴y 0=x 0+4x 0+3.
1⎧5'⎧x =-,⎪⎧x 0=-6,⎪0⎪y 0x 0, 2
解方程组⎨ 得⎨ 2⎨
y =15;5⎩0⎪y '=.⎪y =x 2+4x +300⎩00⎪4⎩
∵ 点E 与点A 在对称轴x =-2的同侧,∴ 点E 坐标为(-
15
,). 24
设在抛物线的对称轴x =-2上存在一点P ,使△APE 的周长最小. ∵ AE长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须PA +PE 最小. ∴ 点A 关于对称轴x =-2的对称点是B (-3,0), ∴ 由几何知识可知,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. 设过点E 、B 的直线的解析式为y =mx +n ,
1⎧
5m =, ⎧1⎪-m +n =, ⎪⎪2
∴ ⎨2 4 解得⎨
3⎪⎪-3m +n =0. n =. ⎩⎪2⎩
∴ 直线BE 的解析式为y = ∴ 点P 坐标为(-2,
131x +.∴ 把x =-2代入上式,得y =. 222
1). 2
2
2
②设点E 在抛物线y =-x -4x -3上,∴ y 0=-x 0-4x 0-3.
5⎧
y =-x 0, ⎪032
解方程组⎨ 消去y 0,得x 02+x 0+3=0.
2⎪y =-x 2-4x -3.
00⎩0
∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点P (-2,解法二:
(1)∵ 抛物线y =ax +4ax +t 与x 轴的一个交点为A (-1,0), ∴ a (- 1) +4a (-1) +t =0.∴ t=3a .∴ y =ax +4ax +3a . 令 y=0,即ax +4ax +3a =0.解得 x 1=-1,x 2=-3. ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).
2
1
),使△APE 的周长最小. 2
2
22
(2)由y =ax 2+4ax +3a ,得D (0,3a ). ∵ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线
y =ax 2+4ax +3a 上,
∴ C(-4,3a ).∴ AB=2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ ∴ 3a 3.∴ a±1.
∴ 所求抛物线的解析式为y =x 2+4x +3或y =-x 2-4x -3.
(3)同解法一得,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. ∴ 如图,过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q .设对称轴与x 轴的交点为F .
1
(AB +CD ) ⋅OD =9.解得OD =3. 2
1BF PF 1PF
=.∴ =.∴ PF =.
552BQ EQ
24
1
∴ 点P 坐标为(-2,).
2
由PF ∥EQ ,可得 以下同解法一.
13. 已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标.
(2)若点N 为线段BM 上的一点,过点N 作x 轴的垂线,垂足为点Q .当点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ,点M 重合),设NQ 的长为l ,四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使△PAC 为直角三角形? 若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).
解:(1)设抛物线的解析式y =a (x +1)(x -2) ,
2
∴ -2=a ⨯1⨯(-2) .∴ a =1.∴ y =x -x -2.
其顶点M 的坐标是 ,-
⎛1
⎝29⎫⎪. 4⎭
(2)设线段BM 所在的直线的解析式为y =kx +b ,点N 的坐标为N (t ,h ),
⎧0=2k +b ,3⎪ ∴ ⎨91.解得k =,b =-3. 2-=k +b . ⎪⎩42
3x -3. 2
31112321 ∴ h =t -3,其中
3211 ∴ s与t 间的函数关系式是S =t -t +1,自变量t 的取值范围是
(3)存在符合条件的点P ,且坐标是P 1 ⎪,P 2 ,-
设点P 的坐标为P (m ,n ) ,则n =m -m -2. 2⎛57⎫⎝24⎭⎛3⎝25⎫⎪. 4⎭
PA 2=(m +1) 2+n 2,PC 2=m 2+(n +2) 2,AC 2=5.
分以下几种情况讨论:
i )若∠PAC =90°,则PC =PA +AC .
2⎧⎪n =m -m -2, ∴ ⎨ 2222⎪⎩m +(n +2) =(m +1) +n +5. 222
解得:m 1=5⎛57⎫,m 2=-1(舍去). ∴ 点P 1 ⎪. 2⎝24⎭
222 ii )若∠PCA =90°,则PA =PC +AC .
2⎧⎪n =m -m -2, ∴ ⎨ 2222⎪⎩(m +1) +n =m +(n +2) +5.
解得:m 3=35⎫⎛3,m 4=0(舍去).∴ 点P 2 ,-⎪. 24⎭⎝2
iii )由图象观察得,当点P 在对称轴右侧时,PA >AC ,所以边AC 的对角∠APC 不
可能是直角.
(4)以点O ,点A (或点O ,点C )为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA (或
边OC )的对边上,如图a ,此时未知顶点坐标是点D (-1,-2),
以点A ,点C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上,如图b ,
此时未知顶点坐标是E -⎪,F ,-⎪.
⎛12⎫⎝55⎭⎛4⎝58⎫5⎭
图a 图b
14. 已知二次函数y =ax 2-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x 轴的交点的个数.
解:根据题意,得a -2=-1.
∴ a=1. ∴ 这个二次函数解析式是y =x 2-2.
因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x 轴有
两个交点.
15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm,拱高OC =0. 9 cm,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).
(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE 与AB 的距离OM =0. 45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长2≈1. 4,
计算结果精确到1米).
解:(1)由于顶点C 在y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
9. 10
5529185 因为点A (-,0)(或B (,0))在抛物线上, 所以0=a ⋅(-) +,得a =-. 22101252
182955x +(-≤x ≤) . 因此所求函数解析式为y =-1251022
9918295=-x +,得x =±2. (2)因为点D 、E 的纵坐标为, 所以2020125104 y =ax +2
所以点D 的坐标为(-59952,2,),点E 的坐标为(). 442020
所以DE =5552. 2-(-2) =442
52. ⨯11000⨯0. 01=2≈385(米)2 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
16. 已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A 、B 是x 轴正半轴上的两点,点A 在点B 的左侧,如图.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过点A 、B ,与y 轴相交于点C .
(1)a 、c 的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项,试证
a 、c 互为倒数;
(3)在(2)的条件下,如果b =-4,AB =43,求a 、c 的值.
解:
(1)a 、c 同号. 或当a >0时,c >0;当a <0时,c <0.
(2)证明:设点A 的坐标为(x 1,0),点B 的坐标为(x 2,0),则0<x 1<x 2. ∴ OA =x 1,OB =x 2,OC =c .
2 据题意,x 1、x 2是方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个根. ∴ x 1⋅x 2=
2 由题意,得OA ⋅OB =OC ,即c =c . 2c . a c
a 2
所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时,a 、c 互为倒数.
(3)当b =-4时,由(2)知,x 1+x 2=-=>0,∴ a>0.
2 解法一:AB =OB -OA =x 2-x 1(x 1+x 2) -4x 1x 2, b a 4a
∴ AB =() -4() =4
a 2c
a 16-4ac 2. =2a a
∵ AB =4, ∴ 123=4.得a =.∴ c=2. 2a 解法二:由求根公式,x =4±-4ac 4±-42±3==, 2a 2a a
∴ x 1=2-2+3,x 2=. a a
2+322. -=a a a ∴ AB =OB -OA =x 2-x 1=
∵ AB =4,∴ 12=43,得a =.∴ c=2. 2a 17. 如图,直线y =-x +分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,⊙E 经过原点O 及A 、B 两点. 3
(1)C 是⊙E 上一点,连结BC 交OA 于点D ,若∠COD =∠CBO ,求点A 、B 、C 的坐标;
(2)求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式:
(3)若延长BC 到P ,使DP =2,连结AP ,试判断直线PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.
解:(1)连结EC 交x 轴于点N (如图).
∵ A、B 是直线y =- 3x +3分别与x 轴、y 轴的交点.∴ A(3,0),B (0, ) . 3
又∠COD =∠CBO . ∴ ∠CBO =∠ABC .∴ C是
∴ ON =13OB OA =, EN ==. 2222的中点. ∴ EC⊥OA .
连结OE .∴ EC =OE =. ∴ NC =EC -EN =333.∴ C点的坐标为(, -). 222
(2)设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为y =ax (x -3).
33332=a ⋅(-3) .∴ a =∵ C(, -). ∴-3. 222229
∴ y =2322x -x 为所求. 98
(3)∵ tan ∠BAO =, ∴ ∠BAO =30°,∠ABO =50°. 3
11由(1)知∠OBD =∠ABD .∴ ∠OBD =∠ABO -⨯60︒=30︒. 22
∴ OD=OB ²tan30°-1.∴ DA=2.
∵ ∠ADC =∠BDO =60°,PD =AD =2.
∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP =60°.
∴ ∠BAP =∠BAO +∠DAP =30°+60°=90°.即 PA ⊥AB . 即直线PA 是⊙E 的切线.