2.1空间点.直线.平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

1. 平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线.

2. 直线与直线的位置关系

⎪ ⎧共面直线⎧⎨⎪(1)位置关系的分类 ⎨⎩

⎩异面直线：不同在 一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的________________叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角).

②范围：________________.

3. 直线与平面的位置关系有________、________、__________三种情况.

4. 平面与平面的位置关系有________、________两种情况.

5. 平行公理 平行于________________的两条直线互相平行.

6. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________.

[难点正本 疑点清源]

1. 公理的作用

公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.

2. 正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点. 不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线

.

1. 在下列命题中，所有正确命题的序号是________.

①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合； ⑤四边形确定一个平面.

2. 给出三个命题：

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；

③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中不正确命题的序号是________.

3. 正方体各面所在平面将空间分成________部分.

4. 平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

5. 若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则 ( )

A. α内的所有直线与l 异面 B. α内不存在与l 平行的直线

C. α内存在唯一的直线与l 平行 D. α内的直线与l 都相交

题型一 平面的基本性质

例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

E 、F 分别是AB 和AA 1的中点. 求证：

(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点.

探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.

(1)证明三线共点的依据是公理3.

(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问题.

实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理.

证明 (1)连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.

又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E 、C 、D 1、F 四点共面.

(2)∵EF ∥CD 1，EF

则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD .

同理P ∈平面ADD 1A 1. 又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，

∴P ∈直线DA . ∴CE 、D 1F 、DA 三线共点.

变式1如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都

1是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC AD ， 2

1BE A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点. 2

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

题型二 空间两条直线的位置关系

例2 已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点.

(1)求证：BC 与AD 是异面直线； (2)求证：EG 与FH 相交.

证明 (1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B 、C 、A 、D ∈α.

∴四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾.

∴BC 与AD 是异面直线.

(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，

因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形.

又EG 、FH 是▱EFGH 的对角线，∴EG 与HF 相交.

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的

A 1C 1面上有一点P (如图所示，其中P 点不

在对角线B 1D 1) 上.

(1)过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，

应该如何作图？并说明理由；

π0，⎤，这样的直线有几条，应该如何(2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎛⎝2⎦

作图？

题型三 异面直线所成的角

例3 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；

(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小.

探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点) 作平行线平移；补形平移. 计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 解 (1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，

易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角.

∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.

即A 1D 与AC 所成的角为60°.

(2)如图所示，连接AC 、BD ，

在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，

AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，

∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1.

即A 1C 1与EF 所成的角为90°.

方法与技巧

1. 主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.

2. 判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点B 的直线是异面直线.

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.

3. 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. 根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点. 总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：

(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；

(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解.

失误与防范

1. 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不是分别在两个平面内. 一定要理解定义.

2. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是(0°，90°].

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

A 组 专项基础训练题组

一、选择题

11. 已知ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点，则MN 与

( )

A. AC 、BD 之一垂直 B. AC 、BD 都垂直

C. AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直

2. 设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是

( )

①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β

③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④

3. 下列命题中不正确的是________.(填序号) ．

①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.

4在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号

)

三、解答题

5. 如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，

若PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB

的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ，

求证：M 、N 、K 三点共线.

B 组 专项能力提升题组

一、选择题

1. 三条直线两两相交，最多可以确定平面 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是

( )

A. AB ∥CD B. AB 与CD 异面

C. AB 与CD 相交 D. AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交

二、填空题

3. 设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是________.(填序号)

①若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面；

②若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线；

③若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC ；

④若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC .

4. 如图为棱长是1的正方体的表面展开图，

在原正方体中，给出下列三个命题：

21π①点M 到AB 的距离为；②三棱锥C —DNE 的体积是AB 与EF 所成的角是. 262

其中正确命题的序号是__________.

答案

要点梳理

π0，⎤ 1. 两点 不在一条直线上 一条 2.(1)平行 相交 任何 (2)①锐角或直角 ②⎛⎝2⎦

3. 平行 相交 在平面内 4. 平行 相交 5. 同一条直线 6. 相等或互补

基础自测

1. ②③④ 2. ①②④ 3.27 4.C 5.B

课时规范训练

A 组 1B 2.D 3. ①② 4. ②④

5. 证明 ∵M ∈PQ ，直线PQ ⊂面PQR ，M ∈BC ，直线BC ⊂面BCD ，∴M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点， 即M 在面PQR 与面BCD 的交线l 上. 同理可证：N 、K 也在l 上. ∴M 、N 、K 三点共线.

B 组1.C 2.D 3. ③ 4. ①②③