第一讲 换元法

第一讲 换元法与主元法

一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例题求解

【例1】 分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10

思路点拨 视x 4+x 2为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．

【例2】 多项式x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 因式分解后的结果是( ) ．

A ．(y－z)(x+y)(x－z) B ．(y－z)(x－y)(x＋z) C ． (y+z)(x一y)(x+z) D ．(y十z)(x+y)(x一z) 思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．

【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (2)1999x2一(19992一1)x 一1999；

(3)(x+y－2xy)(x+y－2) ＋(xy－1) 2； (4)(2x－3y) 3十(3x－2y) 3－125(x－y) 3．

思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．

【例4】把下列各式分解因式：

(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b) ；(2)x2+xy－2y 2－x+7y－6．

思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．

【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．

x 5+3x4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy4+12y5．

思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．

注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组： (2)按次数分组； (3)按系数分组．

为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：

（1）a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) ；(2)a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac )

能力训练

1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝

2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－．

3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=

4．已知二次三项式x 2-mx -8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积, 则整数m 的可能取值为．

5．将多项式x 4-2x 2-3分解因式，结果正确的是（ ）．

A ．(x 2+3)(x 2-1) B ．(x 2+1)(x 2-3) C ．(x 2+3)(x -1)(x +1) D ．(x 2+1)(x -3)(x +3)

6．下列5个多项式：

①a 2b 2-a 2-b 2-1；②x 3-9ax 2+27xa 2-27a 3；③x (b +c -d ) -y (d -b -c ) -2c +2d -2b ；

④3m (m -n ) +6n (n -m ) ；⑤(x -2) 2+4x

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．

A ．①、②、③ B ．②、③ 、④ C ．①③ 、④、⑤ D ．①、②、④

7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) ．

A ．x 3-9x 2+27x -27 B ．x 3-x 2+27x -27 C ．x 4-x 3+27x -27D ．x 3-3x 2+9x -27

138．若a +b =-，a +3b =1，则3a 2+12ab +9b 2+的值为( ) ． 55

A ．224 B ． C ． D ．0 935

9．分解因式:

（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x2－3x+1)2一22x 2+33x－1；(3)x4+2001x2+2000x+2001；

(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2； (5)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ； (6)x 2+xy -6y 2+x +13y -6．

10．分解因式：(x 2-1)(x +3)(x +5) +12．11．分解因式：x 2+5xy +x +3y +6y 2

12．分解因式：(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3．

13．在1~100之间若存在整数n ，使x 2+x -n 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． 14．2x 3+x 2-13x +6的因式是( )

A ．2x -1 B ．x +2 C ．x -3 D ．x 2+1 E ．2x +1

15．已知a >b >c ，M=a 2b +b 2c +c 2a ，N=ab 2+bc 2+ca 2，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M N C ．M ＝N D ．不能确定

16．把下列各式分解因式：

1 (1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2； (2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91； (3)xy (xy +1) +(xy +3) -2(x +y +) -(x +y -1) 2 2

(4)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4； (5)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．

17．已知乘法公式：

a 5+b 5=(a +b )(a 4-a 3b +a 2b 2-ab 3+b 4) ； a 5-b 5=(a -b )(a 4+a 3b +a 2b 2+ab 3+b 4) ． 利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1

18．已知在ΔABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b 、c 是三角形三边的长) ．

求证：a +c =2b