求两个二次曲线交点个数的解决策略

求两个二次曲线交点个数的解决策略

张向东

(沧州市第一中学, 河北沧州061000)

学习平面解析几何最重要的是树立解析思想, 抓住几何问题如何适当地用代数方法解决, 以及代数运算的过程中表达了怎样的几何现象。例如曲线C 1:f 1(x, y ) =0与曲线C 2:f 2(x, y) =0f 1(x, y) =0 (1)

f 2(x, y) =0 (2)

实数解, f (x)=0, 再利用判别式法讨论实数解的情况。这种转化是否等价, 是解答正确与否的关键。

例1 已知抛物线E:y x 与圆M:(x-4) +y =r (r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点, 求r 的取值范围。

解:y x

=

=

2

2

2

的四组解, 所以, m(xi -2) >0(i=1, 2)

故E 与M 有四个公共点的充要条件是 >0m >0

(x1-2) +(x2-2) >0(x1-2) ∀(x2-2) >0 >0m >0(x1+x 2) -4>0

>0m

(x1-2) +(x2-2) 0 >0m 0

有

(x-4) 2+y 2=r 2

x 2-7x +16-r 2=0 (3) 相等的正根x 1, x 2

=(-7) 2-4(16-r 2) >0

由此x 1+x 2=7>0

x 1x 2=16-r 2>0

消去y 并化简得

x 1∀x 2-2(x1+x 2) +4>0解得m 6

从例1、例2的解法中可以看出, 在解决二次曲线的相交问题时, 首先, 中的(1) 式代入(2)

f 2(x,y ) =0 (2)

式消元得f (x)=0, 行讨论, 其次, 必须要对它的根在方程组(1) 式中的限制条件通过韦达定理进行二次讨论。另外, 我们还可以对方程f (x) =0根的情况通过二次函数的图像性质进行等价转化。

例3 已知椭圆E:x 2+4y 2=4与圆M:(x-1) 2+y 2=r 2

(r>0) 有四个交点, 求r 的取值范围。(x-1) +y =r

22

4r =0 (7) 令f (x) =3x -8x +8-4r .

2

f 1(x,y ) =0 (1)

E 与M 有四个公共点的充要条件是方程(3) 有两个不

解得

4

又 r >0 ! r 的范围是, .

2

解件的分析及运用判别式与韦达定理将它等价的转化。但有些学生在判断两条二次曲线的交点个数或位置关系的问题中, 由于受直线与二次曲线位置关系判断方法这一思维定势的影响, 对方程(3) 有两个不相等的正根x 1, x 2没有充分的认识, 忽略了韦达定理, 使问题没有得到等价转化而造成错误。

例2 已知抛物线E:y 2=m(x-2) 与双曲线M:=1相交于四个点。求m 的取值范围。

y 2=m(x-2) (4)

解:x 2y 2

-=133x 2-m x +2m -3=0

(5) (6)

消去y 并化简得

-33

2

2

解:x +4y =4

2

2

2

22

消去y 得3x 2-8x +8-

E 与M 有四个公共点的充要条件是方程(7) 有两个不相等的根x 1, x 2且-2

=(-8) -12(8-4r ) >0

由此f (-2) >0

f (2) >0

有些二次曲线的相交问题也可以用参数法。点, 求m 的取值范围。

解:圆M:(x-m) 2+y 2=1的参数方程为 #[0, 2 ]

x =m +c os y =si n

2

2

例4 抛物线E:y 2=x 与圆M:(x-m) 2+y 2=1没有交

判别式 =m 2-8m +12, x 1+x 2=m, x 1x 2=2m -3因为这个方程的根x 1, x 2必须代入(4) 才能解出方程组

礼仪教学的反思

刘俐燕

(沧州市第十五中学, 河北沧州061001)

俗话说:∃种瓜得瓜, 种豆得豆。%一颗种子的繁衍生息都取决于它的本质。其实, 人也是一颗种子, 人这颗种子不管生活于富贵或贫穷的环境, 但是都接受着传统思想的教育。所以, 我们礼仪之邦的每个成员, 都要明了礼仪, 遵循礼仪。尤其对于青少年一代来说, 他们是一颗颗刚刚萌芽的种子, 应用甜美的雨露、营养的甘泉、生机向上的话语来滋养, 让这颗种子明了∃首孝悌, 次谨信, 泛爱众, 而亲仁%&&当今社会有一些不良的现象时时发生, 这说明礼仪教育有了一些缺失, 那么怎样让我们的下一代∃出淤泥而不染%并且∃青出于蓝而胜于蓝%呢? 这就需要我们教育工作者不仅要孜孜不倦地教诲, 而且要针对学生的特点进行人文教育和礼仪教育, 礼仪教师更是任重而道远。从礼仪教育的角度看, 现在的中学生主要有两个方面的问题值得关注。

们从心里觉得什么可爱、可敬, 什么可笑、可恶, 从而检讨自己, 修正自己。

二、中学生的感恩情感需要强化

现在的孩子大多数是独生子女, 可谓掌上明珠。但是不少孩子不知道应如何感恩, 尤其是对自己的父母感恩。针对这种现象, 可选择一节∋亲情礼仪(课来强化教育。

让学生们都熟知的歌曲∋世上只有妈妈好(进入课堂, 当学生们唱着这首歌时有很多张面孔并无表情, 甚至有的不屑一顾。面对这种情景, 我问学生们关于∃母亲节%∃父亲节%的日期, 学生们回答比较流畅。因此, 我表扬学生们:说明你们还是比较关心自己的父母。然后, 播放专题教育片∋成长故事(, 用多媒体展示一幅幅的画面:从刚刚落地哇哇啼哭) ) ) 咿呀学语) ) ) 一起玩耍, 互相帮助, 互相友爱, 一起学习, 等等。学生们被画面感染了, 老师便趁热打铁让学生们举一些爸爸妈妈关心他们的例子。学生们几乎是一瞬间都长大了, 沉思了一会儿, 大部分同学∃规矩%地举起了手。当每一个学生在讲述的时候, 班里竟是出奇的宁静, 有些学生甚至讲着讲着哽咽了, 但还是坚持将这份深情讲完&&老师不忍心打断学生们高涨的深情, 就顺着学生们的心演唱一首∋母亲(, 学生们听着, 想着, 感动着, 课前的不屑一顾现已变成了满怀深情的泪水。这时, 可给学生布置作业:写一篇作文或诗歌, 主旨是:我们应怎样报答父母? 以此深化学生的感恩情怀。

俗话说:∃百善孝为先。%一个人能够做到孝顺, 他才拥有一颗善良仁爱的心。爱是无私的, 永恒的, 我们用心去爱那颗种子, 让她在礼仪这春天的泥土滋润下, 感悟智慧, 在潜移默化中, 涵养性情。当她在礼仪的气息中长成参天大树时, 再让她用芳香和乳汁去滋养更多颗种子, 从而使优秀的传统礼仪文化生生不息。

[责任编辑:张胜广]

一、中学生的礼仪观念亟待加强

中国是一个文明古国, 有五十六个民族, 各民族之间能和平共处, 主要原因是∃互相谦让, 互相尊重%。我国的礼仪文化对我国周边国家尤其是日本、朝鲜、韩国都有深远的影响。而现在的中学生有一种表现, 就是漠视礼仪文化, 言谈举止不追求文雅, 甚至有人以粗俗为美, 这说明礼仪观念亟待加强, 他们作为炎黄子孙应责无旁贷地弘扬和传承礼仪文化。

中学生叛逆心理很强, 受各方面的影响, 在服饰穿着、语言举止方面须强化礼仪观点。基于这一原则, 从人文角度来处理, 应对服饰穿着进行正面的要求:∃对于中学生来说现在正是阳光灿烂, 激情飞扬的时刻, 应用色彩鲜明的运动服和简洁大方的休闲服、校服来修饰自己。只有这样才可以迸发出青春和朝气, 感染别人使其蓬勃向上。%对语言举止方面, 宜采用对比方式进行教育。因为中学生现已具备分辨是非的能力, 把一些好的和坏的表达行为同时展现在学生面前, 让学生 代入抛物线方程y 2=x 得

sin 2 =m +c os

2

! m =c os +c os -1=(co s +

) 2-24

5

或m >1时抛物线E 与圆M 没有交点。4

由于方程中的参数对二次曲线相离、相切、相交这三种! 当m

[责任编辑:刘志军]

c o s #[-1, 1] ! -抛物线E 与M 圆有交点,

55

∗m ∗1, 即当-∗m ∗1时

44

∀