高中数学立体几何大题训练

高中数学立体几何大题训练

1. 如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

2. 如图， 在矩形ABCD 中，点E , F 分别在线段AB , AD 上，AE =EB =AF =

' '

沿直线EF 将 V AEF 翻折成V A EF ，使平面A EF ⊥平面BEF .

2

FD =4. 3

（Ⅰ）求二面角A ' -FD -C 的余弦值；

（Ⅱ）点M , N 分别在线段FD , BC 上，若沿直线MN 将四边形

MNCD 向上翻折，使C 与A ' 重合，求线段FM 的长。

AC =BC ，AA 1=AB ，D 3. 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，

为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE =3EB 1．

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45°，求二面角

A 1-AC 1-B 1的大小

4. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面

ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB , PC 的中点. (Ⅰ) 证明：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求三棱锥E —ABC 的体积V.

5. 如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B

⊥平面A 1BC 1； （Ⅰ）证明：平面ABC 1

（Ⅱ）设D 是AC 11上的点，且A 1B //平面B 1CD ，求A 1D :DC 1的值.

6. 已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=½AB ，N 为AB 上一

点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

7. 如图△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD

，AB = （1） 求点A 到平面MBC 的距离；

（2） 求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。

8. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB, ∠BFC=90°，

E F

BF=FC,H为BC 的中点，

(Ⅰ) 求证：FH ∥平面EDB;

D （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; C

（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；

A

9. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，C E ⊥AC,EF ∥

CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

10. 已知正方体ABCD －A ' B ' C ' D ' 的棱长为1，点M 是棱AA ' 的中点，点O 是对角线BD ' 的中点.

（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA ' 和BD ' 的公垂线；

'（Ⅱ）求二面角M －BC ' －B ' 的大小；

A '（Ⅲ）求三棱锥M －OBC 的体积.

'

M C

A

2. （Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ，因为A E =A F 及H 是EF 的中点，所以A H

' '

' ' '

⊥EF ,

又因为平面A EF ⊥平面BEF . 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则A （2，2

，'

，C （10，8，0），

→

F （4，0，0），D （10，0，0）.

'

故FA →

=（-2，2，

，FD =（6，0，0）.

'

设n =（x,y,z ）为平面A FD 的一个法向量，

所以

取z

→

=n =(0,-。

又平面BEF 的一个法向量m =(0,0,1)，

n m

故cos 〈n , m 〉==。

n m 3

（Ⅱ）解：设FM =x , 则M (4+x ,0,0) ，

A 重合，所以CM =A ' M

，

因为翻折后，C 与 故，

22

，得x =(6-x ) 2+82+02=（-2-x ）+22+（21

， 4

经检验，此时点N 在线段BC 上，所以FM 方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H , 因为A ' E =

又因为平面又

=

21。 4

AF 的中点G , 连结 A ' G , A ' H , GH 。

A ' F 及H 是EF 的中点，所以A ' H ⊥EF

A ' EF ⊥平面BEF ，所以A ' H ⊥平面BEF ,

，

AF ⊂平面BEF , 故A ' H ⊥AF

又因为G 、H 是易知GH ∥

AF 、EF 的中点，

，于是

AB ，所以GH ⊥AF AF ⊥面A ' GH

，

所以∠A ' GH 为二面角在Rt A ' GH 中，

A ' -DH -C 的平面角，

=2，A ' G

=A ' H

=GH

所以cos ∠A ' GH =

.

故二面角

A ' -DF -

C 的余弦值为=x ,

。 3

（Ⅱ）解：设FM

因为翻折后，C 与 而CM

2

A ' 重合，所以CM =A ' M

，

=DC 2+DM 2=82+(6-x ) 2，

A ' M 2=A ' H 2+MH 2=A ' H 2+MG 2+

GH 2 =2

得x

21

，经检验，此时点N 4

21

所以FM =。

4=

在线段BC 上，

3. （I ）连接A 1B ，记A 1B 与AB 1的交点为F.

因为面AA 1BB 1为正方形，故A 1B ⊥AB 1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D 为BB 1的中点，故DE ∥BF ，DE ⊥AB 1. ………………3分

作CG ⊥AB ，G 为垂足，由AC=BC知，G 为AB 中点.

又由底面ABC ⊥面AA 1B 1B. 连接DG ，则DG ∥AB 1，故DE ⊥DG ，由三垂线定理，得DE ⊥CD.

所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线.

（II ）因为DG ∥AB 1，故∠CDG 为异面直线AB 1与CD 的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB 1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B 1H ⊥A 1C 1，H 为垂足，因为底面A 1B 1C 1⊥面AA 1CC 1，故B 1H ⊥面AA 1C 1C. 又作HK ⊥AC 1，K 为垂足，连接B 1K ，由三垂线定理，得B 1K ⊥AC 1，因此∠B 1KH 为二面角A 1-AC 1-B 1的平面角，由此可求出二面角大小 4. 解 (Ⅰ) 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .

(Ⅱ) 连接AE , AC,EC , 过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,

则BG ⊥平面ABCD , 且EG =又BC ∥AD , ∴EF ∥AD ,

又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .

1PA . 2

在△PAB 中，AD =AB , ∠PAB °, BP =2,∴AP =AB

EG

=

2

.

∴S △ABC =

11AB ·BC =22

∴V E-AB C =

111

S △ABC ·EG =

=. 33

23

5. 解：（Ⅰ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1

又已知B 1C 所又B 1C 所以平面

⊥A 1B , 且A 1B ⋂BC 1=B

⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C ， AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .

（Ⅱ）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，

则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线， 因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE. 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点. 即A 1D ：DC 1=1.

设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

6. 证明：

则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,

1 11CM =(1,-1, ), SN =(-, -,0) , （Ⅰ）

222

11

因为CM ∙SN =-++0=0，

22

所以CM ⊥SN

12

），N （

1

2

,0,0），S （1,

1

2

,0）.

1

（Ⅱ）NC =(-,1,0) ,

2

设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，

1⎧x -y +z =0, ⎪⎪2

令x =2，得a=(2,1,-2).

则⎨

1⎪-x +y =0. ⎪⎩2

=因为cos a , SN =

2所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

7. 解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ， OM ⊥CD . 又平面MCD

⊥平面BCD , 则MO ⊥平面BCD ，所以MO ∥AB ，

A 、B 、O 、M 共面. 延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角. OB =MO

=

MO ∥AB ，MO//面ABC ，M 、O 到平面ABC 的距离相等，

作OH ⊥BC 于H ，连MH ，则MH ⊥BC ，求得：

OH=OCsin60=

,MH=

, 利用体积相等得：

z

V A -MBC =V M -ABC ⇒d =

5

。

（2）CE 是平面

ACM 与平面BCD 的交线.

由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.

作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°.

BF =BC ⋅sin 60 =

tan θ=

AB BF =

2，sin θ=

解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD , 则MO ⊥

平面BCD .

以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A

如图.

OB =OM

O （0，0，0）

，C （1，0，0），M （0，0

，，B （0，

0），A （0，

，

（1）设n =(x , y , z ) 是平面MBC

的法向量，则，

B

D

BM

= ，n ⊥ B C

由

得x =0

n ⊥ B ；由

M

得

=

0 -1,1), BA

；取n ==，则距离

BA ⋅

d =n n

=

=(-1

（2

）CM ，CA =(-1, .

⎧

设平面ACM 的法向量为n ⎪n 1⊥C M ⎪⎧

-x +=01=(x , y , z ) ，由⎨⎪

得. 解

得⎩n ⎨

1⊥C A ⎩⎪

-x +=0x =

，y =z ，

取n 1=, 1, . 又1) 平面BCD 的法向量为n =(0, 0，

, 则

c o

n 1n >=, 1n =1⋅n

设所求二面角为θ

，则sin θ

=5.

8. （1）设底面对角线交点为G ，则可以通过证明EG ∥FH ，得FH ∥平面EDB ；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH ⊥平面ABCD ，得FH ⊥BC ，FH ⊥AC ，进而得EG ⊥AC ，证明BF ⊥平面CDEF ，得BF 为四面体B-DEF 的高，进而求体积. 9.

AC ⊥平面EDB ；（3）

(1)证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG , GH ，由于H 为BC 的中点，故

1GH //AB ,

21

又EF //AB , ∴四边形EFGH 为平行四边形

2

∴EG //FH ，而EG ⊂平面EDB ，

∴FH //平面EDB

证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。 因为EF//AG，且EF=1，AG=

1

2

AC=1.

所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//平面EG ， 因为EG

⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，

所以AF//平面BDE.

（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 相互垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD.

如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-xyz . 则C （0，0，0），A

0），B （0

0）.

，

所

以

CF =,1)

22

BE =(0,，

DE =() .

所

以

C

=0

DE =-1+0+1=0F , CF

⊥BE , CF ⊥

DE .

-

B +

所以CF

所以CF

⊥BDE.

(III) 由（II

）知，CF =是平面BDE 的一个法向量.

22

设平面ABE 的法向量n =(x , y , z ) , 则n BA =0，n BE =0.

即

所以x =

0, 且z 令

=,

y =

1, 则z =

所以n =

⎧(x , y , z ) =0. ⎨

(0,=0⎩(x , y , z )

n CF =

从而cos 〈n , CF 〉=。 |n ||CF | 因为二面角A -BE -D 为锐角， 所以二面角A -BE -D 的大小为

π6

.

10. 解法一：（1）连结AC ，取AC 中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK 因为M 是棱AA ’的中点，点O 是BD ’的中点 所以AM //

1

DD ' //OK 2

所以MO //AK 由AA ’⊥AK ，得MO ⊥AA ’

因为AK ⊥BD , AK ⊥BB ’，所以AK ⊥平面BDD ’B ’ 所以AK ⊥BD ’ 所以MO ⊥BD ’

又因为OM 是异面直线AA ’和BD ’都相交 故OM 为异面直线AA ' 和BD ' 的公垂线

（2）取BB ’中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ’B ’ 过点N 作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH

从而, ∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角

MN =1, NH =Bnsin 45°

=

1=

224

在Rt △MNH 中，tan ∠MHN

=

MN ==故二面角M -BC ’-B ’的大小为arctan

NH

(3) 易知，S △OBC =S △OA ’D ’，且△OBC 和△OA ’D ’都在平面BCD ’A ’内 点O 到平面MA ’D ’距离h ＝

V M -OBC =V M -OA ’D ’=V O -MA ’D ’=

解法二：

以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz

则A (1, 0, 0), B (1, 1, 0), C (0, 1, 0), A ’(1, 0, 1), C ’(0, 1, 1), D ’(0, 0, 1)

(1) 因为点M 是棱AA ’的中点, 点O 是BD ’的中点

所以M (1, 0, 12 h =1S 3△MA ’D ’1 241111), O (, , ) 2222 11 OM =(, -,0) , AA ' =(0, 0, 1), BD ' =(-1,-1, 1) 22 11OM AA ' =0, OM BD ' =-++0=0 22

所以OM ⊥AA ’, OM ⊥BD ’

又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交

故OM 为异面直线AA ' 和BD ' 的公垂线.

(2) 设平面BMC ' 的一个法向量为n 1=(x , y , z )

1BM =(0,-1, 2 ), BC ' ＝(－1, 0, 1)

1⎧ ⎧⎪-y +z =0⎪n 1 BM =0 即⎨取z ＝2, 则x ＝2, y ＝1，从而n 1=(2, 1, 2) 2 ⎨ ⎪⎪⎩n 1 BC ' =0⎩-x +z =0

n n 21=取平面BC ' B ' 的一个法向量为n 2＝(0, 1, 0)

cos =1= |n 1| |n 2|3

由图可知，二面角M -BC '-B ' 的平面角为锐角

故二面角M -BC '-B ' 的大小为arccos 1 3

(3) 易知，S △OBC ＝14S △BCD ' A '

＝1 1=4设平面OBC ⎧ ⎪n 3 BD ' =0的一个法向量为n 3＝(x 1, y 1, z 1) BD ' ＝(－1, －1, 1), BC ＝(－1, 0, 0) ⎨ ⎪⎩n 1 BC =0

z 1＝1, 得⎧-x 1-y 1+z 1=0即⎨取-x =0⎩1 y 1＝1，从而n 3＝(0, 1, 1) 点M 到平面OBC 的距离d

＝

1 |BM |==24.1 4|n 3|