原子物理学第三次作业答案 (7)

第一章 量子力学前的原子物理学

§1．1 原子的外部和内部特性

“原子”的原始慨念：组成物质的最基本单元 (最小，不可再分离：atom －希腊文) 提出者：古希腊哲学家－德膜克利特（～B.C. 400）

古代中国人： 金，木，水，火，土 (五行说) ； 古代云南彝族： 铜，木，水，火，土。

问题：不可再分离？原子→电子、原子核；原子核→质子，中子；

质子，中子→ 基本粒子（中微子、光子、介子、超子，„）； 基本粒子→夸克→弦，„

说明：人们对“最基本单元”的认识是无止境的。

意义： 闪烁着人类认识世界的哲学光芒，但是，不具备科学的“实证”特征。 “实证”（有实验证据）：多大？多重？内部结构特性？ 1.1.1 原子的外部特性

19世纪初：掌握了原子的外部特性：多大？多重？ (i) 摩尔（Mol ）定义（1971年国际计量会议）：

一个系统物质的数量，该系统中包含的基本单元数与0.012 kg

说明： 1，“基本单元”可以是原子、分子或带电粒子等；

2，0.012 kg

12

6

126

C 的原子数相同。

C 的原子数=6.022×1023，

或N A （阿伏伽德罗常数）=6.022×1023/Mol。

(ii) 原子的相对质量（原子量，A ）定义（1971年国际计量会议）：

12

1摩尔某种物质的质量[M(A)]和1摩尔12是这种物质6C 的质量[M(6C )]的1/12的比值，

的原子量（A ）。

(iii) 原子的绝对质量（原子质量，m A ） 已知： N A ，A

12

按定义：A=M(A)/[M(126C )/12], M(A)= A M(6C )/12= A（g ）

则：

m A =A（g ）/ NA ＝A ×1.661×10

－24

（g ）＝A ×1.661×10

－27

（kg ）

例：126C ，A ＝12.0000,

一个126C 原子的重量：12×1.661×10

1

1

－27

(kg)=19.93×10

－27

(kg)；

H ， A ＝1.0078,

1

－27

一个1H 原子的重量：1.0078×1.661×10

(kg)=1.674×10

－27

(kg)；

（vi ）原子的尺寸

已知： N A ，A ，ρ（g/cm3）； 则： 一个摩尔的原子所占的体积：V mol ＝A(g)/ρ；

另一方面，设r A 为原子半径，一个原子的体积(球体) ＝（4πr A 3/3）； 一个摩尔的原子所占的体积：V mol ＝N A （4πr A 3/3）

所以，r A = (3A/4πρ NA ) 1/3 ～108cm ~ 10

－

－10

m=1 A

1

例：H (1H ) , A ＝1.0078, ρ =0.09（g/cm3）

r H ～1.6×108 (cm) ＝1.6 A 量子力学计算值： r H ＝a =0.53 A 1.1.2 原子的内部特性

19世纪末－20世纪初：基本掌握了原子的内部特性：

原子由带正电的原子核和带负电的电子组成，整体呈电中型；电子绕着原子核做圆周运动。

做出如上认识的三个著名实验：

（一） 汤姆逊（英国，Thomson ，1897）的阴极射线实验

装置原图：

－

轴线管壁发光（忽略“阴极射线”的重量）

加偏转电场E 后，射线向上偏转：说明带负电，受力＝qE

加偏转磁场B 后，射线向下偏转：说明带负电，受力＝qVB

电场和磁场力平衡时，qE=qVB → V=E/B；

撤去电场，阴极射线受罗伦滋力作用，在磁场内做半径为R 的圆周运动；在磁场外做直线运动并偏离轴线。

由偏转角θ 测量出R ；由 mV 2/R=qVB → q/m=V/RB= E/RB2

结果： 1，阴极射线是一种带负电的粒子流； 2，求出了阴极射线的荷质比，此值和发出阴极射线的材料无关；

3，Thomson 认为，阴极射线是一种比原子小的粒子（电子）流，阴极射线的荷质比就是电子的荷质比。

意义： 发现了电子，并由此发现获得1905年度的诺贝尔物理学奖。 问题： 物体带电量是否存在一个最小数值？q min

= e (electron) = ?,

（二） 密里根（美国，Milikan, 1910）的油滴实验

装置原图：

装置原理图：

基本思想： 带电油滴在电场力QE 和重力Mg 作用下处于静止状态，Q ＝Mg/E；

油滴带电量如果是某个最小电量q min = e 的倍数，即：Q ＝N e （N 为整数），则平衡电场E ＝Mg/Ne 应该是一系列分离的数值，反之亦然； 由这些分离的数值可求出油滴的最小带电量q min ，即电子电量e 。

实验结果： 1，油滴带电量确实是一系列分离数值，即，物体带电量是“量子化”

的；

－

2，物体带电量的最小值q min = e ＝1.6×1019 C ； me =9.1*10-31 kg 。

意义： 从实验上证实了油滴带电量的“量子化”，测量出了电子电量。密里根

由此获得1915年度的诺贝尔物理学奖。

（三） 卢瑟福（新西兰，Rutherford,1909）的α粒子散射实验

背景：

1， 汤姆逊（剑桥大学卡文的许实验室主任）的“面包葡萄干”原子模型（西瓜子

－

模型）：在原子尺度r 0～1010M 内，原子的正电部分均匀分布（面粉），电子就如葡萄干，崁嵌在正电核（面粉）中。 －10

10 M

2, 卢瑟福是汤姆逊的研究生，熟悉“面包葡萄干”原子模型。

3, 1908年，卢瑟福由于对铀元素放射性的研究，获得诺贝尔化学奖。发现铀放射

性由三个部分组成：（1）α射线（H e 核：H e ++粒子流）；（2）β射线（－e ：电子流）；（3）γ射线（电磁辐射：光子流）。其中，α粒子的速度达C/10000, 是高能粒子，可以作为“炮弹”轰击并研究其他粒子。

卢瑟福设想1：如果“葡萄面包干”模型正确，α粒子被原子的散射只能是小角度的

散射（θ小）。

（Why? ）

1, α粒子的动量大，电子对α粒子的动量无影响（－e: 无斥力；m e : M α/ me ～4

M p / me =4×1836），只需考虑“面粉”的影响； 2， α粒子受力：

F out (r >r 0) =

1Q αZe

2

4πε0r 1Q αZe

r

4πε0r 03

(库仑定律) ；

F in (r

(高斯定律) 。

F α

α

装置原图：

实验结果：发现大角度散射，甚至背向散射（θ＝180o ）的α粒子。

结果说明：汤姆逊的“葡萄面包干”原子模型是错误的。

卢瑟福设想2： 如果原子的正电部分集中于一个非常小的空间区域r n 中，r n

F α=

1Q αZe

将很大，可以解释α粒子的大角度散射和背向散射。 2

4πε0r

α

由实验结果结合的α粒子散射公式，可知这个“非常小的空间区域”的尺度r n ～10－14

M ，在此区域内集中了原子的正电部分和绝大部分原子质量，Rutherford 将此区域称为“原子核”。 意义：发现原子核

在此基础上，Rutherford 提出原子的核式模型：原子中，正电部分集中在 “原子核”中，电子绕核作圆周运动－－原子的行星运动模型。F n = Fc ，即：

V e 21Ze 2

。 m e =2

r 4πε0r

“伽里略发现了宇宙，卢瑟福发现了原子！” 原子核式模型的困境：

（1） 原子的不稳定性；

根据经典电动力学，带电粒子做加速运动将向外辐射能量。电子在动能耗尽后，将落入原子核中，导致原子的湮灭。

（2） 不能解释原子的线状光谱的特性。

按“核式模型”，电子的辐射频率f e ＝V e /2πr ；V e 的连续变化导致电子的辐射频率是连续的。和实验观察不符合。

原子光谱和太阳光谱的比较

困境意味着旧的理论体系出现了问题，新的理论体系即将诞生。

§1.2 玻尔（Bohr ，丹麦，1913）的氢原子理论 1.2.1 玻尔氢原子理论的三个要点

（1） 定态假设：

定态：原子中的一些特殊的状态，处于定态的原子，电子绕核做圆周运动而不辐射能量（解决原子的稳定问题）；

（2） 定态条件（量子化条件）：

氢原子的角动量必须满足：L ＝nh/2π＝n ℏ (n>=1的整数) ；

h (普朗克常数) ＝6.63×10

－34

（JS ）

(3)

定态跃迁：

原子从一个定态跃迁到另一个定态时，以光子形式辐射或吸收能量。

说明： A，光子是爱因斯坦于1905为解释光电效应提出。光子能量满足：

E ＝h ν，式中，ν: 光波的频率；

B ，辐射过程：E 2－E 1＝h ν；吸收过程：E 1+ hν=E2；

C ，定态非定态；非定态非定态的跃迁是不存在的。

h ν= E2－E 1

E 1+hν= E 2－

) E 2> E1

1.2.2

由玻尔理论求定态能量和轨道半径 E n =?；r n =?

(A) 电子绕核运动的向心力由核电荷（+e）和电子电荷（－e ）间的库仑力提供；

V e 21e 2

m e =

r 4πε0r 2

e k

（1）

111e 21e 22

⇒E (电子动能) ＝m e V e ＝; r = 2

224πε0r 4πε0m e V e

e e

E k (原子的动能) ＝E k p (氢核动能) ＋E k (电子动能) ～E k

(1)

，

（核不动！）

E p (原子的势能) ＝

⎰

∞

r

F -e dr =⎰

∞

r

e 21e 2

; -dr =-

4πε0r 24πε0r

1

（2）

11e 2

E(原子的总能) ＝E k ＋E p =-; （负值！）

24πε0r

(B) L(原子的角动量) ＝L e +LN ～L e （核不动！） ＝m e r 2ω＝m e rV e (Ve ＝r ω)

，

＝n ℏ (定态条件)

(n>=1整数)

（3）

联立（1），（2），（3）得：

1m e e 41

＝E n E =-222

2(4πε0) n 4πε0 2n 2

＝r n r =2

m e e

（定态能量是分离值） (4)

（定态轨道半径是分离值） (5)

问题及作业：

1，证明：在E k p (氢核动能) ≠0（核在动！）的条件下，用μ＝

m e M p m e +M p

（折合质量，M p : 质

子质量）代替（4），（5）式中的m e ，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足：

1μe 41

E n =-222

2(4πε0) n 4πε0 2n 2

r n ＝ 2

μe

(4)

，

(5)

，

提示：氢核不动的条件下，才有E k (原子的动能) ＝E k (电子动能) 。但是，氢核不动是不合理

的(因为有反作用力！) 。为计算E k (原子的动能) ＝E k (氢核动能) ＋E k (电子动能) ，以原子的不动点r c (质心) 基点。 L(原子角动量) ＝I p ωN ＋I e ωe =Mp r c 2ω+ me (r-rc ) 2ω＝r 2ωμ ＝n ℏ (定态条件) ；(ωN = ωe = ω: why?)

（用质心公式：r c ＝

m e r

）

m e +M p

111

M P V N 2＋m e V e 2＝μ（r ω）2（V p = rc ω; V e = (r-rc ) ω） 222

2

e

E k (原子的动能) ＝E k p ＋E k ＝

V p 1e 2e 22

=E p (原子的势能) ＝ -＝－μ（r ω），（由 M p 关系得到） 2r c 4πε0r 4πε0r

1

-e m e

2， 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：H e （Z ＝2）一次电离后→H e ；L i

＋＋＋＋＋

（Z ＝3）二次电离后→ Li ；B e （Z ＝4）三次电离后→ Be 。证明：

＋

1Z 2μe 41

； E n =-222

2(4πε0) n 4πε0 2n 2

r n ＝

Z μe 2

(4)

，，

(5)

，‘

2

3， H 有两个同位素（Z 相同，质量数不同的一类元素），D ＝1H （氘: 比氢核多一个中子）

3

和T ＝1。中子：M N ＝M P ，不带电荷。求：E n =?；r n =?。 H （氚: 比氢核多两个中子）

1.2.4 由定态能量求跃迁过程产生的辐射能量（光子能量）、波长和频率

（1） 氢原子定态轨道半径和能量的简约表示 (取M p /me =1836)

4πε0 2n 22r n ＝＝ n a 1 2

μe

(n>=1整数)

(5)

4πε0 2a 1==0.53A（玻尔半径，原子尺度值）

μe 2

(6)

cons tan t 1μe 41

＝－hc × E n =-2222

n 2(4πε0) n

1μe 4

constant ＝＝1.09677×107M -1 23

2(4πε0) 4π c

（2） 定态跃迁过程的辐射能量、辐射波长和频率

i ii

辐射能量

n 2>n1 : E n2> En1

h ν ＝E n2－E n1

＝hc ×cons tan t ⨯(

E n2

11

-） 2n 12n 2

（7）

辐射(电磁波) 频率 ν ＝(En2－E n1)/ h

＝c ×cons tan t ⨯(

11

-) 22n 1n 2

（8）

iii 辐射波长（波数表示）

1

λ

=σ=cons tan t ⨯(

11-) =T(n 1)- T(n 2) 22n 1n 2

（9）

其中，T(n ) ＝constant / n2 (光谱项) 1.2.5 玻尔氢原子理论和实验的比较

1，发射光谱及其测量装置

发射光谱：光源的发光强度随波长或频率的分布

I λ , ν

λ (ν)

λ (ν)

连续谱，如：白炽灯 分离谱（线状谱），如：原子发光

测量装置： 17世纪，牛顿用棱镜分解太阳光的实验 －－最早的光谱测量装置

阳光

20

现代光谱测量装置1（透射式光栅，衍射效率低）：

现代光谱测量装置2（用反射式光栅代替衍射式光栅。在衍射光栅中，单缝衍射的0级集中了光能的～70％，而单缝衍射的0级和无色散能力的多缝干涉的0级重合，使得衍射光栅的光能利用率效率极低）。

凹面镜1

光电探测器： PD →PMT →CCD （1D ）→CCD （2D ） 凹面镜2

2

2

朗伯∙ I 0(

λ

－d I ∝ I, d x ⇒

－d I = α(λ)I d x （10）

dI

-α(λ) dx ⎰I =⎰0

x

⇒

I(λ,x) = I0(λ)exp[-α(λ)x]

（11）

朗伯∙比尔定律的微分形式(10)，朗伯∙比尔定律的积分形式(11)，α(λ) ：吸收系数。 由（11），当x = d

α(λ) =

I (λ) 1

Ln[0] d I (λ, d )

(cm-1)

(12)

以α(λ) 为纵坐标，λ为 横坐标所得曲线就是吸收光谱曲线。图示为原子蒸汽的吸收谱。

α（λ）

测量装置

单色仪

3，氢原子发射光谱的实验结果 到1885年，研究者已发现了氢原子的14条谱线。巴尔末发现在可见光区（λ: 370 nm − 780 nm）的氢原子谱线波数满足公式：

λ

σ=

1

λ

=

411

(2-2), n = 3, 4, 5, ⋯；（B ＝364.56 nm） B 2n

(13)

（13）：巴尔末公式；满足（13）式的谱线成为巴尔末线系。

1889年，里德伯也研究了这些氢原子谱线，并提出了谱线波长遵循的经验公式：

σ=

1

λ

=R H (

11-), n = m ＋1, m ＋2, m ＋3, ⋯；m =1,2,3, ⋯ m 2n 2

R H = 1.09721×107 M-1 (里德伯常数) ；

(14)

（14）：里德伯公式。

1908年，帕邢在红外光区（λ>800 nm）证实了的氢原子谱线波数满足里德伯公式（14），而且 m =3; n = 4, 5, 6, ⋯

现将满足公式：

σ=

1

λ

=R H (

11-), n = 4, 5, 6, ⋯ 223n

（15）

的氢原子谱线为帕邢线系；

1914年，赖曼在紫外光区（λ

现将满足公式：

σ=

1

λ

=R H (

11-), n = 2,3,4, ⋯ 221n

（16）

的氢原子谱线为赖曼线系。

氢原子谱线的三个线系（13），（15），（16）证实了里德伯（经验）公式的正确；

玻尔用其理论推出的（9）式，比较了里德伯公式（14）式，发现二者不仅在形式上相同；常数constant =1.09677×107M -1 也非常接近R H = 1.09721×107 M-1 (里德伯常数) ！玻尔理论取得巨大的成功！1922年获诺贝尔奖！

" 这真是一个伟大的发现！" ―――爱因斯坦

4 几个重要概念

1） 里德伯常数

以M p /me =1836计算折合质量μ，得氢原子的里德伯常数，记为：R H

－

R H ＝ 1.09677×107 M 1； 所以，（7），（8），（9）三式中的“constant ”，用R H 替代。

M nuclear /me = ∞ ⇒ μ＝m e 时的里德伯常数，记为：R ∞或R

－

R ∞ ＝ R ＝ 1.09737×107 M 1

任意元素A (核的质量为M A ) 的里德伯常数，记为：R A

R A ＝

1+

R ∞m e

A

2） 光谱学中常用能量单位及其转换

A J （焦耳）

B ev （电子伏特）：电子经1V 的电压加速后获得的能量 1 ev＝1.6×10-19 J

C Hz (赫兹) ： 在光子能量关系式（爱因斯坦公式）E ＝h ν中，用频率表示

能量。 ν＝E/h (赫兹) 。[E（J ），h(J.S)]

－

D cm -1 和M 1，在光子能量关系式E ＝h ν＝hc/λ=hcσ中，用波数表示能量。 σ＝1/λ＝E/hc。[E（J ），h(J.S)，c (MS-1)]。

－

1 M1=10-2cm -1，1cm -1=100M-1 3) 能级图

1μe 41

对氢原子，由E n =-＝－hc ×constant / n2 222

2(4πε0) n

＝－hcR H /n2 ≈ －13.6 / n2 ( ev)

能级图的同心圆表示：

： 巴尔末线系 n ≧3 → 2 能级图的常规表示： n E n (ev)

0 ∞

5

-0.84 4

-1.51 3

2 -3.40

-13.6 1

赖曼系

n ≧ 2 → 1

，

4） 线系极限波长：n （上能级）= ∞ → n （各个线系下能级）对应的波长。 5） 基态，激发态，电离能，结合能

基态： 能量最低的态。对氢原子，n = 1对应的态，E 1 ＝－13.6 ev 。 激发态： 能量比基态高的态。有第一，第二，…激发态。

电离能： 从基态将一个电子电离(n = ∞) 所需的能量。见P212。

结合能：从激发态（或基态）电离一个电子需要的能量。

例题： P30，1.6

（1） 第一激发电势和电离电势； （2） n = 2 → n = 1谱线的波长。

分析 ：“电子偶素”和氢原子的区别：“电子偶素”的核是正电子（m e , e ）, 氢原子的

核是一个质子（M p , e）。

能级：E n = －hcR A /n2， R A ＝

A

-13. 62

E n ＝ －hcR A /n2 ＝－hc R ∞/2n2 ＝＝－6.8 /n (ev) 2

2n

第一激发电势：从基态→第一激发态（即E 1 → E2 ）的电势。

E 1 ＝－6.8 ev，E 2 ＝－1.7 ev；E 2－E 1 ＝5.1 ev。 U 1＝5.1 V

电离电势（先求电离能量）：E ∞－E 1＝0－（－6.8 ev）＝6.8 ev U 电离 ＝ 6.8 V

n = 2 → n = 1谱线的波长：E 2－E 1= hc/λ＝5.1 ev； λ＝hc/(5.1 ev)

－

h=6.63×1034（JS ）； c=3×108（MS -1）

－

5.1 ev =5.1×1.6×1019（J ）

－

λ＝2.438×107 M ＝243 nm (紫外线)

1+

R ∞

m e

＝R ∞ /2

5

夫兰克－赫兹（德国人，1913）实验

玻尔理论预言：原子内部存在一系列分离的能级（定态能级）。

对氢原子及类氢离子，由光谱结构得到证实。对其他原子，光谱结构非常复杂，但是，夫兰克－赫兹用电子碰撞H g 原子的实验证实：H g 原子内部确实存在分离能级。夫兰克和赫兹由此实验获得1925年度的诺贝尔物理学奖。

装置原理图：

I

加速电压 反向电压（0.5V ）

实验结果：

I p1

V GK ＝ n ×4.9 (V) 时， I ＝ I peak

结果的解释：

H g 原子内部存在分离的能级。

E 2－E 1 ＝ 4.9 ev

E K (-e) ＝ e ×V （电子动能）

V GK (V)

I p2

I p3

可吸收，但几率小

E 2

Why ？

类似桥的共振！

E 1

思考题1：为什么峰值后不能回零？（部分电子未撞上原子！）

思考题2：高激发态能级的测定装置？（A ，加速区和碰撞区分开；B ，降低汞压，问题？） §1.3

索末菲（A. Sommerfeld, 德国物理学家）对玻尔理论的推广

“普朗克，您是我敬仰的大师。您开垦出了一片量子科学的花园，在这个花园中，我采拮到了许多美丽的花朵！”

1.3.1 椭圆轨道

定态条件：

玻尔氢原子：圆周轨道，一个自由度（ϕ），一个量子化(定态) 条件：L = nℏ= Ln

d ϕ

L(角动量) ＝mr dt = 常数（守恒量），

2

量子化条件表示：Ld ϕ＝nh ⇒（L ＝L n =n(h/2π)= nℏ）

索末菲氢原子：椭圆轨道，两个自由度（ϕ, r），两个量子化条件：

Ld ϕ＝n h

ϕ

（n ϕ：角量子数） （n r ：径向量子数）

（17） （18）

p d r ＝n h

r

r

p r ：沿r 方向的线动量。 结果（推导见褚圣麟书）：

1 能量（同玻尔理论）

1μe 411

＝－hcR ， E n =-H

2

2(4πε0) 2 2n 2n

2

n (主量子数) ＝n r + nϕ = 1, 2, 3,……

n ϕ(角量子数) ＝n, n-1, n-2,……,1 (一个n 值，对应n 个n ϕ值) 轨道（有别于玻尔理论）

-e b ∙

a Ze

a = r n (同玻尔理论) ＝n 2 a 1

（19） （20）

b n ϕ

[一个n 值（a 值），n 个n ϕ值（b 值）] =a n

例如：

能量E n 由n 定，但一个n 值（能量值）存在n 种电子的运动状态。

3

简并

将能量相同，但运动状态不同的现象成为简并；不同的运动状态数目称为简并数（g ）。 空间量子化

玻尔的圆周轨道运动：1D, ϕ (nϕ)

索末菲椭圆轨道运动：2D, ϕ，r (n, nϕ)

4

x

2D 的氢原子在3D 坐标系中，轨道角动量：

y

数值：L = nϕℏ (n ϕ = n, n-1, n-2,…1)

L ＝r ×mV e

方向：θ （无外场时不变，大量氢原子无规分布）

空间量子化：在外场B 中（沿Z 轴）：

L z = L cosθ = nϕℏ cos θ

= m ℏ (m = nϕ, nϕ-1, nϕ-2, …,0, -1,…,- nϕ ：共2 nϕ＋1个)

cos θ ＝

（21）

m

，即：在外场中，原子的空间取向是量子化的。 n ϕ

m ：磁量子数

n ：主量子数，确定原子的定态能量； 量子数小结： n ϕ ：角量子数，（n ϕ，n ）确定原子的定态轨道形状； m ：磁量子数，（m ，n ϕ）确定原子定态轨道的空间取向。 1.3.2 相对论能量修正(原因：电子绕核运动速度大)

玻尔：E k （-e ） ＝

1

m e V e 2 2

修正：E k （-e ）＝ mc 2 – m0c 2 = m0c 2 [

1-β

2

-1]; β = v/c.

修正结果：E n (n, nϕ) = －hcR H

11n 3(玻尔项) －hcR H β 2[-] （22） 24n n n ϕ4

(简并消除。 推导见杨福家书)

1.4 光谱产生的爱因斯坦理论

爱因斯坦前：偶极辐射理论

（原子）→ 偶极子：

E

(-q, m)

(q, M)

p

弹簧振子：

F (q, M)

d 2x -kx = μ= μa ≠0

dt 2

(k : 屈强系数，μ：折合质量)

d 2x

x = x 0sin ωt; a == -ω2x 0sin ωt 2

dt

(ω=

k

μ

: 圆频率)

（23）

P （辐射功率）∝ a2 ∝ω4 问题：难解决同一原子的不同辐射频率问题。

E 2 1.4.1 Einstein 理论的要点

g 2

物质（原子）简化为一个二能级系统：

（1 E 1

光为能量为nh ν的光子流 (n ：光子数) 。 g 1 I, 自发发射； （2）光和物质存在三种相互作用： II, 受激发射； III, 受激吸收。

N 2(t)

N 1(t)

I, 自发发射：无外光场作用，处于上能级的原子自发地跃迁到下能级，并同时辐射出频率

为ν＝（E 2－E 1）/h的光子的过程。

N 2(t) E 2

E

1 N 1(t)

特点1 ：产生自发辐射光子－非相干光子（见II ：相干光子） 特点2 ：原子数变化（A 系数）

设： t → t+dt内，有dN 2个原子离开E 2能级，E 2能级上原子数的减少＝－dN 2

－dN 2 ∝ dt, N2 或：－dN 2 ＝ AN 2 dt （24）

A ＝(－dN 2/N2)/dt (自发发射几率) （25）

对(22)式积分，

N 2（t ）＝N 2（0）e

-At

（26）

意义：t = 0 时刻，有N 2（0）个原子处于E 2能级; t = ∞ 后，通过自发辐射过程全部离开E 2能级。

特点3 ：光强变化（τ值） E 2能级上减少一个原子，就向外辐射一个光子h ν； dt 内减少dN 2 → 辐射出能量 dN 2 hν 自发辐射功率：

P ＝(

dN 2

) h ν＝N 2（0）Ah νe -At dt

＝P 0e

-At

-At

∝ I（光强）

（27）

I ＝I 0e I

I ＝I 0e

－1

定义：τ为自发发射的寿命 (实验可测量，怎样测？) 。

由（27）式，A τ ＝ 1 τ ＝ 1/A （28） 结合（26）式，下面证明：“τ”是一个原子在E 2能级上停留的平均时间。

在t → t+dt的时间内，有dN 2个原子离开E 2能级，此“dN 2”个原子在E 2能级上停留的时间之和＝tdN 2 ;

在 t=0 → t= ∞ 的时间内，N 2（0）个原子全部离开E 2能级，设此“N 2（0）”个原子在E 2能级上停留的时间之和＝τtotal ;

t

∞

∞

则： τtotal ＝tdN 2(t ) ＝AN 2(0)te

⎰⎰

-At

dt ＝N 2(0)/ A =τ N2(0), 故：τ =

τtotal / N2(0) 。

1/A2 ＝∞ ：

稳态能级； 所以，又定义τ 为能级（E 2）的平均寿命。据 τ 介于其中： 亚稳态能级；

－

≈ 109（s ）= 1ns ：激发态能级。

例：三能级系统的τ值（P31：1.12题）

E 3

A 3 ＝ A 32 ＋A 31 （几率直接相加）

A 3 ＝ 1/τ3 E 2 A 31 ＝ 1/τ31

A 32 ＝ 1/τ32

E 1

1/τ3 ＝1/τ31 ＋ 1/τ32 （寿命倒数和相加）

II, 受激发射：受频率为ν＝（E 2－E 1）/h的激励光子作用，原子从上能级E 2跃迁到下能级

E 1，并同时辐射一个和激励光子相干的光子过程。

4h ν → 8hν 。。。雪崩发大 E E ⇒ 激光 (Laser )

h ν h 2h νLight amplification of

E stimulated emission E radiation

说明：（1）激励光子 − 激励原子，但不被原子吸收；

（2）相干光子 − 和激励光子同频率，同偏振方向，同传播方向，同

位相的光子(激励光子的克隆光子) 。

特点1：产生相干光子，相干光子的雪崩放大形成激光。 特点2：原子数变化（受激发射系数：B 21）

设： （1）ρν ＝

电磁辐射能量

：单色能量辐射密度

dVd υ

（29）

8πh ν31 ＝(普朗克公式)

c 3e h υ/kT -1

（2）t → t+dt内，有dN 2个原子离开E 2能级，E 2能级上原子数的减少＝－dN 2

则： －dN 2 ∝ dt, N2, ρν （说明） 或： －dN 2 ＝ B 21 ρν N 2dt （30）

B 21：受激发射系数。

记： B 21 ρν＝W 21， （31）

W 21＝（－dN 2/ N2）/dt

对比 (25)式，W 21：受激发射几率。

（32）

受激辐射光放大（LASER ）不易产生的原因（1917年，Einstein 提出，1960年梅曼实现）： 存在受激发射的逆过程−

III, 受激吸收（又称：共振吸收）：原子共振吸收频率为ν＝（E 2－E 1）/h的激励光子，并从

原子下能级E 1跃到上能级E 2的过程。 E

h

E

特点：原子数变化（受激吸收系数：B 12） 设： t → t+dt内，有dN 1个原子离开E 1能级，E 1能级上原子数的减少＝－dN 1

则： －dN 1∝ dt, N1, ρν （说明） 或： －dN 1 ＝ B 12 ρν N 1dt （33）

B 12：受激吸收系数。

记： B 12 ρν＝W 12， （34）

W 12＝（－dN 1/ N1）/dt （35）

对比(32)式， W 12：受激吸收几率。 1.4.2 Einstein 系数（A, B21, B12）间的关系 推导条件：原子系统处于热平衡，则满足：

（1） 原子数随能量（E ）按玻尔兹曼分布

N i ∝g i e

-E i /kT

（36）

（37）

N 1g 1(E 2-E 1) /kT g 1h ν/kT

= =e e

N 2g 2g 2

(2) 单色能量辐射密度满足普朗克公式（28） (3) 从E 1→E 2的原子数＝从E 2→E 1的原子数

E 2

N 2(t) g 2

12)

E 1

g 1

N 1(t)

dN 1(B12) = dN 2( B 21)+dN2(A)

B 12 ρν N1dt = B 21 ρν N2dt + AN2 dt ρν =

⇒ (解出ρν)

A N 1

B 12-B 21N 2

=

A 1

B g B 21121h υ/kT

e -1B 21g 2

比较29式后得：

8πh ν3

A/B21=

c 3

B 12g 1=B21g 2

（38） （39）

1.4.3 三种辐射过程的强度比较

回顾：三种辐射过程；t → t+dt内，三种辐射过程造成的原子数减少：

E 2能级： －dN 2 ＝ AN 2 dt ⇒ 发射的光子数：d n 2 ＝ AN 2 dt E 2能级： －dN 2 ＝ B 21 ρν N 2dt ⇒ 发射的光子数：d n 2 ＝ B 21 ρν N 2dt E 1能级： －dN 1 ＝ B 12 ρν N 1dt ⇒ 吸收的光子数：d n 1 ＝ B 12 ρν N 1dt

因为：光强 I ∝ P（发光功率）＝

E （辐射能量）dn

h ν ＝dt ∆t

I （自发发射） ∝ dn 2(A) hν/dt = AN2 hν

I （受激发射） ∝ dn 2(B21) hν/dt = B21ρν N 2 hν I （受激吸收） ∝ dn 1(B12) hν/dt＝ B 12 ρν N 1 hν

(1)

受激发射强度和自发发射强度

18πh ν318πh ν3-1

() d n 2(B21) hν/ dn 2(A) hν = ρνB 21 /A = =

e h υ/kT -1c 3e h υ/kT -1c 3

h ν(可见光) ~2 ev ；kT(室温：300K) ＝8.61×105（ev/K）×300 (K)

－

＝2.58×102 ev

－

1e

h υ/kT

-1

~1/e77

结论：热平衡条件下，普通光源自发发射占据绝对优势！ 自发发射产生荧光, 受激发射的光放大产生激光。 （2） 自发发射强度和受激吸收（共振吸收）强度

g 2e h ν/kT

d n 2(A) hν / dn 1(B12) hν= AN2 hν / B 12 ρν N 1＝

g 1e h ν/kT -1

e h ν

/kT

设：g 1 = g2, h ν/kT ~1

e -1

d n 2(A) hν / dn 1(B12) hν ~1

结论：热平衡条件下，原子系统共振吸收激励光子后增加的能量，大部分转化成自

发发射。

光致荧光（photoluminescence ）及其量子效率（定义? ）：η

d n 2(B21) hν/ dn 1(B12) hν = (N2/N1)( B21/ B12)= (g1N 2/g2N 1) （40）

设：g 1 = g2，

d n 2(B21) hν/ dn 1(B12) hν =

N 2

=e -(E 2-E 1) /kT （由37式） N 1

1

~1/e77

=

e h υ/kT

结论：热平衡条件下，原子数随能量呈正常分布，受激吸收过程占据绝对优势！

问题：什么条件下受激发射过程占优？由40式， g 1N 2 / g2N 1 > 1, 写成：

g 1N 2 － g 2N 1 > 0, （41）

反转原子数 设：g 1 = g2 （40）⇒ N 2－N 1 ＝ ∆N > 0 （激光产生的重要条件：原子数反转！）