高中数学必修1-5测试题
高中数学必修1-5综合测试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.
1
1. 已知集合M ={-2, -1,0,1,2},N ={x |
2
A .{0,1}
B .{-1,0}
C .{-1,0,1}
D .{-2, -1,0,1,2}
2. “α=
π
”是“tan 2α=”的( ) 6
A . 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C . 充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3. 已知实数列1,a ,b ,c ,2成等比数列,则abc 等于( )
A .4 B .±4 C .2
2 D .±22
4. 函数y =a x (0
A
B
C
5. 若平面向量a =(-1, 2) 与b 的夹角是
180°,且|b |=b 的坐标为( )
A.(3,-6) B.(-6,3) C.(6,-3) D.(-3,6) 6. 已知x -y ≥-1, x +y ≤4, y -2≥0, 则2x +4y 的最小值是
A .8 B .9 C .10 D .13
7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图,
则组成此几何体的长方体木块块数共有
A .3块 B .4块 C .5块 D .6块
8. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的
五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A .
3111 B . C . D .
5101012
9. 已知在∆ABC 中,sin B =
45
•, •tan A =,则( ) 1312
A .C >A >B B .C >B >A
C .B >A >C C .A >B >C 10、如果执行右面的程序框图,那么输出的S =
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652
11. 要得到函数y =
图象( )
ππ1sin(2x +) 的图象,只需将函数y =sin(2x +) +sin 2x -的2362
ππ
个单位长度 B.向右平移个单位长度 63ππ
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
63
A.向右平移
12. 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据. 现准备用下列四个函数
2
(x -1) D.y =2.61cos x 2
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
A. y =2 B.y =log 2x C.y =
x
13. 设数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +n +1,则通项a n = __________。
a 11+a 12+ +a 20a 1+a 2+ +a 30
成立. 类似地,在等比=
1030
数列{b n }中,有_________________________________成立.
14. 已知等差数列{a n }中,有
⎧x +y +2≥0⎪
15. 设实数x , y 满足约束条件⎨x +2y +1≤0,则z =(x +1) 2+(y -2) 2的最小值
⎪y ≥0⎩
是 .
16. 过点(3, 4) 且与直线3x -y +2=0平行的直线的方程是
三、解答题:本大题共4小题,共48分.
17. 等差数列{a n }中,a 4=10且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列{a n }前20项的和S 20.
π
18.已知函数f (x ) =2cos 2ωx +2sin ωx cos ωx +1(x ∈R ,ω>0) 的最小正周期是.
2
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f (x ) 的最大值,并且求使f (x ) 取得最大值的x 的集合.
D 19. 如图,在直四棱柱A B C -
1
A 中D ,已知1B 1C
DC =DD 1=2AD =2AB ,AD ⊥DC
,AB //DC .
(1)求证:D 1C ⊥AC 1;
(2)设E 是DC 上一点,试确定E 的位置,使D 1E //平面A 1BD ,并说明理由. 20、(12分)掷三颗骰子,试求:
(1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。
选做题
(时间:30分钟 满分:40分)
一、选择题:本大题共2小题,每小题5分,共10分. 1. 如果执行右面的程序框图,那么输出的S =
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652
2. .已知向量a =(1, n ) ,b =(-1, n ) ,若2a -b 与b 垂直,则a =
A .1 B
C .2 D .4
二、填空题:本大题共2小题,每小题5分,共10分. 3. 设数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +n +1,
则通项a n = __________。
4. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球
3,那么这个球的体积为_________.
三、解答题:本大题共2小题,共30分.
5. 等差数列{a n }中,a 4=10且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列{a n }前20项的和S 20.
π 6. 已知函数f (x ) =2cos 2ωx +2sin ωx cos ωx +1(x ∈R ,ω>0) 的最小正周期是.
2
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f (x ) 的最大值,并且求使f (x ) 取得最大值的x 的集合.
参考答案
一、选择题 (答案+提示) 1.C
. •⌝p 是⌝q 的充分不2. A 条件p :x >1或x
必要条件,所以a ≥1,故选A.
总结点评 主要考查充要条件,和含参不等式的解法,可以直接通过画数轴得到.
3. C 由1,a ,b ,c ,2成等比数列知ac =b 2=1⨯2,∴b =±2. 显然b =-2不
符合题意,故b
=2,所以abc =22.
总结点评 本题考查等比数列的性质,熟练运用等比数列的性质是关键.
4. C 设当x
对称点为Q (-2,-x ,y ) ,则y
=
11
,即所求f (x ) =-.
-x -2x +2
总结点评 本题考查函数图象的对称性,通过图象关于直线对称转化为点关于直线
对称.
5. B |a +b |=
(m +p ) 2+(n +q ) 2≥
22(m +p +n +q ) =⨯8=42,当22
m +p =n +q =4时取等号.
总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化,通过重要不等式求最小值.
6. C
总结点评 考查线性规划的最大值和最小值,
准确画图找到可行域是关键.
7.B
1
8. 【解析】 随机取出2个小球得到的结果数有⨯5⨯4=10种(提倡列举)。取出的小球标
2
注的数字之和为3或6的结果为{1,2},{1,5},{2,4}共3种,故所求答案为A 。
方法二: 从五个球中任取两个共有=10种,而1+2=3,2+4=6,1+5=6,取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况,故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为选A .
3
,10
9. A 由tan A =
525112得1+tan 2A =1+=•, •所以cos A =.
2
12144cos A 13
∴sin A =
54>sin B =•. 1313
以
所
A >B •, •又sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =
48+55
>,即
13⨯1313
总结点评 本题考查三角函数的变换公式,通过比较三角形各角的三角函C >A >B . •数值来判断三个角的大小关系.
, •(x 1-2)(x 2-2)
妨设x 1
2时,
, •f (x 2)
二、填空题 (答案+提示)
11. (x -2) 2+(y -1) 2=1 本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为(a ,1), 由已知得d =
|4a -3|1
=1, ∴a =2舍a =-
25
12. 163、199、175、128、395 直接从第八行第四列开始读取.
总结点评 本题关键是分清第八行第四列的数为1,且考查了统计学中的随机数表的运用.
13. x -y +1=0。
【试题解析】易知点C 为(-1,0) ,而直线与x +y =0垂直,我们设待求的直线的方程为
y =x +b ,将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为b =1,故待求的直线的方程为x -y +1=0。
【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。
14. ①④⑤ 在②中,|x 2|≤M |x |即|x |≤M ,∵x ∈R ,故不存在这样的M ,在③中
ππ
f (x ) =2sin(x +) ,即2|si n(x +) |≤M |x |,即2≤M |x |对一切x 恒成立,故不
44
存在这样的M .
总结点评 本题主要考查函数的性质,通过检验对一切实数x 都有
|f (x ) |≤M |x |来判断.
三、解答题 (详细解答)
15. 解:
(Ⅰ)f (x ) =1+cos ωx +a ωx =2sin(ωx +) +a +1
6
因为函数f (x ) 在R 上的最大值为2,所以3+a =2故a =-1………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f (x ) =2sin(ωx +把函数f (x ) =2sin(ωx +
π
π
6
)
π
6
) 的图象向右平移
π
个单位, 6ω
可得函数y =g (x ) =2sin ωx ………………………………………… 又 y =g (x ) 在[0,
π
∴g (x ) 的周期T =
42π
]上为增函数
所以ω的最大值为2………………………… 16.(1)证明:在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
连结C 1D ,
ω
≥π即ω≤2
DC =DD 1,
∴四边形DCC 1D 1是正方形.
∴DC 1⊥D 1C .
又AD ⊥DC ,AD ⊥DD 1,DC ⊥DD 1=D ,
∴AD ⊥平面DCC 1D 1,D 1C ⊂平面DCC 1D 1,
∴AD ⊥D 1C .
AD ,DC 1⊂平面ADC 1,且AD ⊥DC 1=D , ∴D 1C ⊥平面ADC 1,
C 又AC 1⊂平面ADC 1, ∴D 1C ⊥A 1.
(2)连结AD 1,连结AE ,设AD 1 A 1D =M ,
BD AE =N ,连结MN ,
D A 11
1
平面AD 1E 平面A 1BD =MN ,
要使D 1E ∥平面A 1BD ,须使MN ∥D 1E , 又M 是AD 1的中点. ∴N 是AE 的中点. 又易知△ABN ≌△EDN , ∴AB =DE . 即E 是DC 的中点.
A
B
C
综上所述,当E 是DC 的中点时,可使D 1E ∥平面A 1BD .
17.(文) (Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间
(A 1, B 1, C 2) ,(A 1, B 2, C 1) ,(A 1, B 2, C 2) ,(A 1, B 3, C 1) ,(A 1, B 3, C 2) ,Ω={(A 1, B 1, C 1) ,
(A 2, B 1, C 1) ,(A 2, B 1, C 2) ,(A 2, B 2, C 1) ,(A 2, B 2, C 2) ,(A 2, B 3, C 1) ,(A 2, B 3, C 2) , (A 3, B 1, C 1) ,(A 3, B 1, C 2) ,(A 3, B 2, C 1) ,(A 3, B 2, C 2) ,(A 3, B 3, C 1) ,(A 3, B 3, C 2) }.
由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的
发生是等可能的.
用M 表示“A 1恰被选中”这一事件,则
(A 1, B 1, C 2) ,(A 1, B 2, C 1),(A 1, B 2, C 2) ,(A 1, B 3, C 1) ,(A 1, B 3, C 2) }, M ={(A 1, B 1, C 1) ,
事件M 由6个基本事件组成,因而P (M ) =
61
=. 183
(Ⅱ)用N 表示“B 1,C 1不全被选中”这一事件,
则其对立事件N 表示“B 1,C 1全被选中”这一事件,
(A 2,B 1,C 1) ,(A 3,B 1,C 1) },事件N 有3个基本事件组成, 由于N ={(A 1,B 1,C 1) ,
所以P (N ) =
3115=,由对立事件的概率公式得P (N ) =1-P (N ) =1-= 18666
17(理)(1)第一次由甲投且第二次由投的概率为
111
. ,故前两次由甲投的概率为1⨯=•
222
(2)依题意可知P (ξ=0) =
11111115
⨯⨯1=,P (ξ=1) =⨯⨯1+⨯⨯1=, 224232212
12113
P (ξ=2) =⨯⨯1=,∴E ξ=.
23312
总结点评 本题主要考查概率及数学期望,做概率题要注意多读题,要注重可能事
件概率,互斥事件的概率加法公式,独立事件概率乘法公式,n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题.
18. 1)∵a n +1-a n +1a n
2
2-2a n =0,∴(a n +1+a n )(a n +1-2a n ) =0,
∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +1+a n 即a n +1∵a 3
>0,∴a n +1-2a n =0,
=2a n (n ∈N *) ,所以数列{a n }是以2为公比的等比数列.
+2是a 2•, •a 4的等差中项,∴a 2+a 4=2a 3+4,
∴2a 1+8a 1=8a 1+4,∴a 1=2,
=2n .
∴数列{a n }的通项公式a n
(2)由(1)及b n
=a n log 1a n ,得b n =-n ∙2n ,
2
∵S n ∴S n
=b 1+b 2+ +b n ,
=-2-2∙22-3∙23-4∙24- -n ∙2n , ①
=-22-2∙23-3∙24-4∙25- -(n -1) ∙2n -n ∙2n +1 ②
∴2S n
①-②得,S n
=2+2+2+2+2+ +2-n ∙2
2345n n +1
2(1-2n )
=-n ∙2n +1
1-2
=(1-n ) ∙2n +1-2.
要使S n
+n ∙2n +1>50成立,只需2n +1-2>50成立,即2n +1≥52•, •n ≥5•.
∴使S n
+n ∙2n +1>50成立的正整数n 的最小值为5.
解题探究 本小题第一问求数列的通项公式,需选判断数列的构成规律,第二问求n 的最小值,需求出S n ,由b n 的表达式可知,用错位相减法求和,然后解不等式即可.
选做题答案
1. C 【分析】 由程序知,S =2⨯1+2⨯2+ +2⨯50=2⨯
1+50
⨯50=2550. 2
2. :C【解析】2a -b =(3,n ) ,由2a -b 与b 垂直可得:
(3,n ) ⋅(-1, n ) =-3+n 2=0⇒n = a =2.
3. .
n (n +1)2
+1_。
4. V =
4
π. 3
1
,故其主对角线为1,从而球的直径
2
4π 3
【试题解析】∵正六边形周长为3,得边长为
2R =
=2 ∴R =1 ∴球的体积V =
5. 解:设数列{a n }的公差为d ,则
a 3=a 4-d =10-d , a 6=a 4+2d =10+2d , a 10=a 4+6d =10+6d .
由a 3,a 6,a 10成等比数列得a 3a 10=a 6, 即(10-d )(10+6d ) =(10+2d ) , 整理得10d -10d =0, 解得d =0或d =1.
当d =0时,S 20=20a 4=200. ······························································································· 当d =1时,a 1=a 4-3d =10-3⨯1=7, 于是S 20=20a 1+6.
(Ⅰ)解:f (x ) =2
2
2
2
20⨯19
d =20⨯7+190=330. 2
1+cos 2ωx
+sin 2ωx +1
2
=sin 2ωx +cos2ωx +2
=
ππ⎫sin 2ωx cos +cos 2ωx sin ⎪+2
44⎭π⎫⎛
2ωx +⎪+2.
4⎭⎝
=
由题设,函数f (x ) 的最小正周期是
π2ππ,可得=,所以ω=2.
22ω2
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f (x ) =
π⎫⎛
4x +⎪+2.
4⎭⎝
当4x +
π⎫πππk π⎛
=+2k π,即x =+(k ∈Z ) 时,sin 4x +⎪取得最大值1,所以函数
4⎭42162⎝
πk π⎧⎫
f (x
) 的最大值是2x 的集合为⎨x x =+,k ∈Z ⎬.
162⎩⎭