第五章力学相对性原理和非惯性系动力学

第五章 力学相对性原理和非惯性系动力学

在描述物体运动时参考系的选择： 1 物体的运动性质与参考系有关(力学相对性原理)； 2 参考系应是客观存在的不变形的物体； 3 参考系的选择原则：视研究问题方便而定(惯性系,非惯性系)。

只用惯性 系的弊端

非惯性参考系：相对于惯性系（静止或匀速直线运动的参考 系）加速运动的参考系。例：地球有自转和公转，我们在地 球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学 问题。

1

§5.1 相对运动的运动学

问题：在不同的参考系S和 S′中测量，同一质点P     的速度 v 和 v ' ，加速度 a 和 a' 之间的关系。 两种情况： ①质点约束在 S′系中（如流水、转动园盘中运 动的质点）； ②质点与S系和S′系均无约束关系，如鸟在空 中飞行，考察其相对于地面和汽车的速度。

z′

z p

S系

r 

 r

O′

S′系

ro

y

O

x′

y′

x

不失一般性，采用直角坐标，质点P在S系和 S′系中的速度和加速度为

 dr   ˆ j  ˆ v  xi  yˆ  zk, dt   dr ' ˆ  j  ˆ v'   x' i '  y' ˆ'  z' k', dt

 dv  a  i  ˆ  k x ˆ yj z ˆ dt   dv ' a'   ' i '  ' ˆ'  ' k' xˆ y j z ˆ dt

力学体系相对S系的运动称为绝对运动，相对S’系的运动称为相对运动(加撇)。

2

1 平动参考系

  设 S′系相对于S系平动（平动速度和加速度为 v0 , a0 ），则

P点位矢

 O dr d ˆ ˆ  ˆ  ˆ j  ˆ 左  (xi  yj  zk)  xi  yˆ  zk  v x dt dt  drO' d ˆ d     ˆ 右  (rO'  r ')   (x'i '  y'ˆ'  z'k')  vO'  v ' j dt dt dt

得

   r  ro  r  ，两边对时间求微商得

ˆ ˆ ˆ di dj dk    0 dt dt dt

z′

z p

S系

r 

 r

O′

S′系

ro

y

x′

y′

   v  vO'  v '

同理得

   a  aO'  a'

“绝对”速度 = 牵连速度 +“相对”速度。 动所具有的速度和加速度。

  其中， vO'和aO' 为质点固定在 S′系中不动时，由于S′系平动而被牵连运

3

  [例1] 河水流速为 v1，渡船相对于河水以静水速v2 运动，求   渡船相对于地的速度 v 。 v  解：以地为S系，河水为S′系，则 v2

         vO'  v1,v '  v2 ,v  vO'  v '  v1  v2

 v A 向东运动，鱼 [例2] 敌舰A在我方炮台B东北方向相对于地球以  雷速度 vB  2vA，求：击中A的鱼雷发射方向。 vA C        A   vO'  v A , vB  vO'  vB(A)  v A  vB(A) 解：以A为S′系，

    ( A)的方向，v A和 vB ，用作图法求解。 现已知 vB   以v

A箭头处C 为圆心， v A 为半径作弧， BA交于D， 2 与

  vB ( A) 方位角α可由几何关系求出 sin    vB ( A) 的方向总是指向A。 B击中A的条件是： 

 v1

 v B B

Dα

 则有 DC  vB , DA  vB( A)





2 vA 2   2 vB 4

4

2 平动转动参考系

设 S′系（刚体）相对于S系作任意运动，可分解为基点 O′的平    动和绕基点的转动 (,  ) 。(见2.5节) 由刚体的运动学公式，得S′系（刚体）上任一固定点A  d O'A  d O'A      v A  vO'  ω  O'A  vO'  ，   ω  O'A dt dt  

ˆ j ˆ 分别取O'A为i ', ˆ', k' , 可得 ˆ ˆ di '  ˆ dˆ'  ˆ dk'  ˆ j  ω  i ',  ω  j',  ω  k' dt dt dt 转动坐标系中基矢对时间的微商 = 转动角速度与基矢的叉乘

5

平动转动参考系中的速度

P点位矢

     v  v '  vO'  ω  r ' 速度:    

绝对

   dr d   dr ' drO' d ˆ ˆ 右  (rO'  r ' )  O'    [ ( x'i '  y'ˆ'  z'k' )] j dt dt dt dt dt   ˆ   ˆ ˆ j  ˆ 'i '  y'ˆ'  z'k'  x'ω  i '  y'ω  ˆ'  z'ω  k' ]  vO'  [ x j  ˆ ˆ j  ˆ  ˆ 'i '  y'ˆ'  z'k'  ω  ( x'i '  y'ˆ'  z'k' )]  vO'  [ x j      dr '     vO'  [v '  ω  r ' ]

   r  ro  r  ，两边对时间求微商得

 dr  左 v dt

注意：

dt

  v'  ω  r'  v'

注意： 为S′系（相对S系）作绕O′点的纯转动运动的角速度。    不是S′系内质点作转动运动的角速度。

6



相对 平动 牵连

转动 牵连

牵连速度: 质点固定在S′系时所具有的速度。

 dv  左 a dt  dv ' d  d   右  vO'  (ω  r ' ) dt dt dt  d dr '      ˆ j  ˆ  ( x'i '  y'ˆ'  z'k' )  aO'  (ω  r ' )  (ω  ) dt dt         ˆ yj z ˆ   ˆ   j   ˆ i '  ˆ'  k'  x'ω  i '  y'ω  ˆ'  z'ω  k' )  aO'  (ω  r ' )  [  (v '  ω  r ' )]  (x              (a'  ω  v ' )  aO'  (ω  r ' )  ω  v '    (ω  r ' )

     对速度式 v  v '  vO'  ω  r ' 的两边对时间求微商得

平动转动参考系中的加速度

            r '    (ω  r ' )  2ω  v ' a  a'  aO'  ω     

绝对 相对 平动牵连 转动牵连 柯里奥利

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  （1）质点固定在S′系中  v'  0, a'  0  刚体运动学公式     v  vO'  ω  r '         a  a  ω  r '  ω  (ω

 r ' )

O'

平动转动参考系中的几种特殊情况

（2）S′系中，存在一点固定不动，取该点为O′点

   vO'  0,aO'  0  纯转动公式。     v    r'  v'            r '  ω  (ω  r ' )  2ω  v ' a  a'  ω

（3）

 0



平动参考系⇒ 平动参考系公式。

8

§5.2 惯性参考系与力学相对性原理

1 平动参考系的运动学公式

ˆ ˆ ˆ dx' dy' dz' S′系相对于S系作平动，则   0 dt dt dt    r  rO '  r '   ' v  vO '  v    a  aO '  a '

S′系相对于S系作匀速平动（作匀速直线运动），即

    vO'  常矢量  aO'  0  a  a'

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2 惯性系与力学相对性原理

设S′系相对于S系作匀速平动

   a  a'

若S系为惯性系，即在S中质点所受所有真实力之和 而真实 相互作用力不随坐标系改变，   ⇒在S′系中 F  ma ' 也成立，⇒ S′系也为惯性系。

  F  ma

成立，

结论：相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。    由于在S系与S′系中，都有 F  ma  ma'  动量，角动量，动能等改变 形式都相同。 力学相对性原理: 在所有的惯性系中，一切力学规律都具有相同的形式。 另一表述： 在相对于惯性系作匀速直线运动的参考系中，一切力学过程都不受这个匀速 直线运动的影响，也即：如果不与外界比较，在该系统内部所进行的任何实 验都不能确定该系统的运动速度。 力学相对性原理 ⇒ 包括电磁学在内的普通的相对性原理 ⇒ 狭义相对论

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3 伽利略变换

以经典时空观为依据的参考系变换，特点: ①时间与参考系无关； ②长度（距离）与运动状态无关，时、空无关。

y

O

y′ p

   r (t )  r (t )  uO  t   t  t 

' x

 v

O′

z

x

x′

z′

例：在

    ˆ u  uO'  u' 中令 uO '  vx

u x  v  u  u y  0  u'y   u z  0  u'z 

 x  x'  0 (t  0)    y  y' 初条件  z  z' 

加速度是绝对的

 x  vt  x'  y  y'    z  z' (t  t' ) 

同一质点对于不同惯性系：速度是相对的

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§5.3 非惯性系动力学与惯性力

1 相对运动的运动学公式

  S′系相对于S系，既有平动 vO ' ，又有转动  ，      v  v '  vO'  ω  r '            a  a'  aO'  ω  r '    (ω  r ' )  2ω  v '

2 非惯性系与惯性力

 设 ① 质点P所受的真实力为 F ，不因参考系改变；   ② S′系相对于S系，有vO  ， 。      若S系为惯性系，则有 F  ma 成立⇒ F  ma ' 一

定不成立

 

结论：相对于惯性系作加速运动的参考系一定不是惯性系，称为非惯性系。 参考系作加速运动的含义：①平动   0, 但aO'  0；

   ②纯转动 vO'  0, aO'  0, 但  0；   ③aO'  0,   0.

12

               r '  ω  (ω  r ' )  2ω  v ' ]  ma'  F F  ma  m[a'  aO'  ω  如果我们把上式右边除了 ma ' 的项移到左边，并把它们看作力，即： 

          ma '  F  maO'  mω  r '  mω  (ω  r ')  2mω  v '     平动 切向 惯性 柯里奥利 惯性力 惯性力 离心力 惯性力

惯性力

  则有 ma'   F ，牛顿第二定律形式上成立。

惯性力的特点： ① 虚拟的力，不是真实相互作用，不存在施力的物体，只存在受力的物体， 因此不存在反作用力。 (“惯性离心力是向心力的反作用力”不正确) ② 虽然是虚拟，但是在 S′系中观察，有动力学效应，会引起形变，会产生 相对加速度等…… ③ 在同一 S′系中，与质点质量成正比，类似于重力，特别是平动惯性力。

引入惯性力的好处：可把非惯性系作为惯性系处理，很多情况是很方便的。

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[例1] 以 a 加速运动的汽车里有一弹簧系统，相对于车静止。 试以不同的参考系分析弹簧振子的运动。

解： ①以地面为参考系：



  m以a运动 弹簧伸长有拉力 F

   F  ma

 a

m

牛顿第二定律成立

⇒ 地面参考系是惯性系

②以车为参考系：

 m以a'  0运动 弹簧伸长有拉力    F  ma' 牛顿第二定律不成立

       若引入惯性力 FG  ma , 则 F  FG  (ma )  (ma )  0  ma'

⇒在非惯性系车中，牛顿第二定律形式上也成立。 注意，在车中的人看来，是向后的惯性力使弹簧发生了形变。

⇒ 车参考系是非惯性系

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 a 加速运动的汽车里有单摆系统，相对于车静止。试以不同的 [例2] 以 T 参考系分析单摆的运动。  解： ①以地面为参考系：  maO'  θ m受重力和绳张力的合力以 a 运动      F  mg  T  ma 牛顿第二定律成立

⇒ 地面参考系是惯性系 ②以车为参考系： m受重力和绳张力的作用，合力不为零，但

mg

 a

        若引入惯性力 FG  ma , 则 F  FG  (mg )  T  (ma )  0  ma'

⇒ 车参考系是非惯性系

     F  mg  T  ma ' 牛顿第二定律不成立

 a'  0

⇒在非惯性系车中，牛顿第二定律形式上也成立。

注意，在车中的人看来，是向后的惯性力使绳产生了倾斜。

ˆ r : mg cos θ  maO' sin θ  T  0   arctan

(g aO' )    ˆ : mg sin θ  ma cos θ  0   g '  g 2  a 2    O'   O' 当a0'  g时， = / 4 当a0'  时， = / 2

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 [例3] 飞船以a 加速度上升。以飞船为参考系，分析宇航员的  受力情况。 a

        F'  mg  N  FG  mg  N  (ma )  ma'  0

以向上为正，上式写为  mg  N  ma  0 解：以飞船为参考系，宇航员在  三个力的作用下平衡，a'  0

N

  maO'

mg

即 N  mg  ma  mg

远航员处于超重状态。飞船降落时，要向下减速（向上加 速），因而远航员也处于超重状态。 思考：何时处于失重状态？

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[例4] 电梯运动状态发生变化时的视重分析。

（a）加速上升（b）加速下降（c）减速上升（d）减速下降 v

 aO '

mg

v

 aO '

mg N

v

 aO '

mg

v

 aO '

mg N

N

N

 a N 电梯上升启动时， O ' 方向向上，  mg  maO'  0 超重。(a)(d)

 电梯下降启动时, aO '方向向下，N  mg  maO'  0 部分失重。(b)(c)

  电梯以aO'  g 下落，则 N  mg  maO'  0  N  0 完全失重。       人造卫星在轨运行 F惯离  mg , N  mg  F惯离  0  N  0失重

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[ N  m( g  aO' )  mg ] [ N  m( g  aO' )  mg ]

[例5—题3.8]

小金属环 可在竖直平面内光滑金属丝上自由滑动，光滑 金属丝绕其对称轴以匀角速度转动。求解金属丝的形状，使小金属环相对 金属丝静止不动。 y′   解：（方法Ⅰ）在惯性系中：受力 mg  N (三维)， ω 其中在金属丝平面内支持力为N1， 垂直金属丝平面方向支持力为N2=0，此方向小环无相对 N1 运动，受力平衡。(N2何时不为0，方向？) ma 小环加速度(三维)可分解为  mg

            r '    (  r ' )  2ω  v ' a  a'  aO'  ω    ˆ    (ω  r ' )   2 x' (-x' )   2 ˆ 写出 mg  N  m x' (-x' ) 的分量式(二维)： n : N1  mg cos   m 2 x' sin θ ˆ

r

θ

O′

x′

  ω 2 x' dy  ω 2 x' 2 ˆ t : mg sin   mω x' cos θ  tan   g  dx  tan   g  y 2 xω ω2 2   dy   xdx  y  x 金属丝的形状为抛物线 0 0 g 2g

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[例5—题3.8] （方法Ⅱ）在非惯性系中：

取金属丝为参考系S′，在S′系中分析，     小环受力 mg  N  FG  ma'  0 ，平衡静止，

          FG  maO'  mω  r '  mω  (ω  r ')  2mω  v ' 其中    ˆ  m  (  r ')  mω2 x( x)

y′

N1

ω

 r

O′

  ω2 x' dy ω2 x' t : mg sin   mω2 x' cos θ  mat  0  tan     tan   ˆ g dx g  2 y x

ω ω2 2   dy   xdx  y  x 结果与（方法Ⅰ）相同。 0 0 g 2g

    写出 mg  N  FG  ma'  0 的分量式(二维) ： n : N1  mg cos  m 2 x' sin θ  man  0  ˆ

mg θ

FG x′

  惯性力永远在非惯性系中 ( r ' , v ' )分析，         注意转动牵连加速度 ω  r '  ω  (ω  r ' )  2ω  v '

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§5.4 地球自转的动力学效应

1 在地球参考系中的运动方程

以太阳为惯性系，地球参考系（原点在地心，随地球一起以  自转  转动）既有平动（地心绕太阳的公转），又有转动 （   2 24h  7.29 10 5 弧度/秒 ），是非惯性系。 在地球参考系中物体 m 所受的作用力有：

地球引力

太阳引力

GM e m  ˆ mg 0   rem rem



 其他真实力的合力 F

惯性力

GM s m ˆ rsm rsm

20

地球非惯性系中运动微分方程

 GM e m GM m           ˆ ˆ ma'  F  2 rem  2 s rsm  [ma0  m  rem  m  (  rem )  2mω  v ' ] rem rsm

 其中   0   GM s M e ˆ  rse   2 rse      GM s r ˆse a0  2   Me rse    

地心公转加速度

  在地面附近，由于 rse  re（地球半径），故 rsm  rse

GM s m GM s m GM s m  ˆsm  (ma0 )   ˆse  ˆ  r r rse  0 2 2 2 rsm rse rse         得 ma'  F  mg 0  m  (  rem )  2m  v '

即太阳对m的吸引 力提供了m绕太阳 旋转的向心力。

即：地球非惯性系中惯性力只需考虑惯性离心力和柯里奥利力。

21

2 惯性离心力的动力学效应—视重(表观重力)

  当m受支持力 N ，地球引力mg 0 平衡静止时

      0  ma'  N  mg 0  mω  (  r )

  v'  0, a'  0

ω

mg 0

α

N F惯离

支持力等于地球引力与惯性离心力的合力的反作用力

     N  mg0  m  (  r ) 称为视重(表观重力)

   m  (  r )  m 2 re sin( 90   )  m 2 re cos 

N  m g  ( re cos  )  2 g 0 re cos   cos 

2 0 2 2 2

在纬度为α 的地面

[

 2 re

g0

(7.27 10 5 ) 2  6.37 10 6  9.8  3.44 10 3  1]

 mg 0

2 2 re cos 2  1 g0

  1  2 re  1     2 g   0   

 N  mg 0 1  2

 2 re cos2 

g0

 mg 0 (1  2

 2 re cos2 

g0

)  mg 0 (1 

1 2

 2 re cos2 

g0

)

22

惯性离心力的动力学效应—视重

惯性离心力对重量的影响有两方面： ①由于惯性离心力有一指向天顶的分力，导致视重 的大小比真正的地球引力小，随纬度α变化。

ω

mg 0

α

N

N  mg 0 (1 

 2 re cos2 

g0

)

 2

re

g0

 3.44 10 3

在地球表面由于纬度不同引起的视重 N与mg0 的差别最

大约为0.003（利用这个差别可测纬度）。 赤道上视重最小，两极重量无减小。

②由于视重是地球引力与惯性离心力的合力，所以视重的指向偏离了 引力的方向，但影响可忽略。

  mg 0 ，记为mg 。 以后我们通常用视重来代替

23

3 柯里奥利力的动力学效应

考虑视重后, 地球非惯性系中运动微分方程为

     ma'  F  mg  2mω  v '   F柯 2mv' sin  ω,v '  2ωv'   mg mg 0 g0

2ωv'  7 10 3 g0

对汽车， ~ 100 km/h  28m/s, v'

超音速飞机 v'~500 m/s,

2ωv'  4 10 4 g0

F柯 一般略去不计

F柯 一般略去不计

尽管柯里奥利力的动力学效应很小，但其效应仍可观察到 （长时间积累后）。

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⑴傅科摆（柯里奥利力的动力学效应）

1851年，法国物理学家傅科用单摆摆面的周期性转动证明了地球自转。 摆很长，摆幅很小时，单摆质点可近似看作在水平面  运动，在水平面内 v'  r 。 如果没有Fc，没有横向运动，则摆平面不会改变。  l φ 在北极，设  垂直于水平面向上，取平面极坐标系

   ˆ Fc  2mω  v '  2mωr eθ

 1 d 2   ˆ  m(r  2r )e  m  ˆ ˆ F  ma e (r  )e r dt   1 d 2    Fc  F  2 r  (r  )  2 rrdt  d (r 2 ) r dt

极坐标系中

O′

r

v'

 

θ

ˆ e v'

Fc x

  2 rdr  d (r 2 )  2  rdr  

0

r

 r 2

0

 d (r 2 )

北极

    r 2  r 2     (负号意义?)

25

      sin  ω,v '  在纬度为α地表处，Fc   2mω  v '   2mωr

 Fc 方向向右，以运动方向为前。(与运动方向有关吗？)

傅科摆

ω

N

z

  令    sin  ，则有 ω  v '  ωr sin    r

 

 中，只有z轴方向分量起作用。



α mg 0

v'

  1 d 2  m  Fc  F  2m r (r  )  2 rrdt  d (r 2 ) r dt  2  rdr  

0 r  r 2 0

   d (r 2 )   r 2  r 2       sin 

2 2 24 h      sin  sin 

单摆面旋转周期为 T 

 在北极，  90,    最大，单摆面以 -ω 转动。 



θ



ˆ e v'

Fc x

 在赤道，  0,   0 单摆面不转。 

思考：在南半球，单摆面转动方向。

纬度α地平面

26

⑵落体东偏（柯里奥利力的动力学效应）

    运动微分方程 ma'  mg  2mω  v'   ' x  y' y  z' z, x  0,y  0,z  0, g  gz ˆ  ˆ

ˆ    ˆ v'  x    ˆ   2mω  v '  2mω( z) sin[   (   )]( y)

2

以物体垂直下落处O′ (纬度为α)的表观重力向上为z′ 轴正向，水平向南为x′ ，  水平向东为y′， S′系随地球一起以  转动，近似分析自由落体运动。

ω

α

z′

y′ x′

ˆ   2m z cos   y 赤道 x m  0 （1）   y 分量式 m  2mωz  cos α （2） m   mg （3）  z    初条件： t  0时，x0  0, y0  0, z0  h, vx  0, v y  0, vz0  0 

0 0

 (3)  z    gt  v z0   gt   dz    g  tdt  h  

h 0

0

t

1 2 gt 2

T  2h g

（下落时间与柯里奥利力无关。）

27

落体东偏

 (2) m  2mωz cos α  y

0 0

 dy  2ω( gt) cos α  (2 cos  ) gt dt  y t ω     dy   (2 cos  ) gtdt  y  g cos   t 2

α x′ 赤道

z′ y′

Δy  2.2cm很小。 在北京上方，cosα ≈0.77，h=100m，得出 Δy  1.7cm很小。

在赤道上方，cosα =1，h=100m，得出 思考：从太阳看，地球由西向东转，落地应偏西，为何偏东? 因为：从太阳看，物体从高处下落不是自由“落体”，而是“东抛”。

Δy T  dy 2   g cos  t   dy  g cos   t 2 dt 0 0 dt 1 1 2h 3 y  g cos   T 3  ( g cos  )( ) 2 3 3 g

28

(3) 柏尔定律（柯里奥利力的动力学效应）

在地理学上，有柏尔定律：地球上北(南)半球的的河流(无论向北流还是向 南流), 右(左)岸冲刷得比较厉害(以水流方向为前)。 从地球上看，在北半球，河水受柯里奥利力的指向右岸的作用，但没有向 右的运动，必受右岸的阻挡作用，右岸对河水的力与河对右岸的力互为反 作用力。就是这个河水对右岸的力使右岸冲刷得比较厉害。

 

Fc

  v'  

Fc



v'



Fc

 

Fc

v'

v'

北半球

思考：东(西)向流动的河流情况如何。

南半球

29

(4) 大气环流（柯里奥利力的动力学效应）

类似于河水，气流受柯里奥利力的作用，但无河岸限制， 因此在北半球向右偏移形成逆时针的漩涡，水池排水也 有类似的现象。

低压 区

30

  v ①公式推导时， , a 由直角坐标系给出，但公式适用于  任何坐标系，根据 v  的实际情况，选用方便的坐标系。 ② 选用不同的非惯性系，惯性力中各项的具体大小不同。 ③当质点在S′系中静止不动时，求力的平衡时，在S系和 S′系中均可(例5)。   ④当需要求v , a 时，必须在S′系中处理。

            r '  mω  (ω  r ' )  2mω  v ' ma'  F

 maO'  mω

非惯性系选取的说明

31

[例1]水平面内两光滑圆环(半径为R1,R2)，以匀角速度ω0绕各自的圆心转动，

小圆圆心C2固定于大圆上，小圆环上有一固定质点m。分析质点的受力。 ω0 解： 质点所受重力与小环给的垂直支持力平衡，所受水 平支持力N与惯性力平衡。 C2 （方法Ⅰ）取平动非惯性系S′，C2为原点。 x 相当于小环不转动，质点沿小环运动。

 2  ˆ   ˆ ˆ a  (  r 2 )er 2  (r  2r )e 2   R20  er 2 r

S′系中质点受力

S′系中质点加速度

ω0

C1

           r '  mω  (ω  r ' )  2mω  v ' N  maO'  mω   2 2 ˆ ˆ  N  m( R10  er1 )  0  0  0  N  mR10  er1

S′系中牛顿第二定律形式上成立

  2 2 ˆ ˆ ma   m  ( R20  er 2 )  N  mR10  er1   2 2 ˆ ˆ  N  m0 ( R1  er1  R2  er 2 )   m0 R

 ˆ ˆ R  R1  er1  R2  er 2 为C1到质点m的长度矢量

32

[例1] （方法Ⅱ）取转动非惯性系S′固定于小环上，取C2为原点。

 S′系中质点加速度 a   0

S′系中质点受力

相当于S′系转动，质点在 S′系中不动。

C2

ω0

x

          N  maO'  mω  r '  mω  (ω  r ' )  2mω  v '  2 2 ˆ ˆ  N  m( R10  er1 )  0  m( R20  er 2 )  0  2 ˆ ˆ  N  m0 ( R1  er1  R2  er 2 )

S′系中牛顿第二定律形式上成立

ω0

C1

  2 ˆ ˆ ma   0  N  m0 ( R1  er1  R2  er 2 )   2 2 ˆ ˆ  N  m0 ( R1  er1  R2  er 2 )   m0 R

 ˆ ˆ R  R1  er1  R2  er 2 为C1到质点m的长度矢量

结果与（方法Ⅰ）相同。

33

[例2―题5.4] 半径为R的无摩擦圆环，以匀角速度ω0绕竖直

的直径转动。质量为m的小圈套在圆环上。 （1）求小圈可以相对于环保持静止状态的位置； （2）求小圈在平衡位置附近作小振动的周期。 解：⑴求平衡位置，在惯性系和非惯性系中均可。 在惯性系（地）中：质点做匀速圆周运动    N  mg  ma 在非惯性系（大圆环）中：质点相对静止      N  mg  m  (  r )  0 ω0

N θ

mg

 g    arccos 2 2 2 ˆ R0 x : N sin   mR sin 0  N  mR 0 

ˆ y : N cos   mg

34

[例2―题5.4] (2)求小圈在平衡位置附近作小振动的周期，就要分析小圈相

对于大圆环的运动，   (t ) 必须在非惯性系中分析。  在非惯性系(大圆环)中，质点沿大圆环运动，取平 ˆ ω0 ⊙ z  面极坐标系，以大圆环圆心为原点。

 ˆ ˆ ˆ v '  r er  rθeθ  Rθeθ    ˆ

 ˆ  ˆ  ˆ a'  (  r 2 )er  (rθ  2rθ )eθ   R 2  er  R  e r

N1 θ

ˆ e

F惯离

             ma'  mg  N1  N 2  maO'  mω  r '  m  (  r ' )  2mω  v '  ˆ e : mR   mg sin   m 2 ( R sin  ) cos 



0 2  ˆ er : mR  2  mg cos   N1  m0 ( R sin  ) sin   ˆ z 方向无相对运动，不用求解。 ˆ z' : 0   N  2mω  Rθ  cos  2 0

分析受力（真实力）：重力mg， N1为大圆环平面内指向圆心的支持力， N2为垂直大圆环平面的支持力（与F柯相平衡）。

mg

ˆ er

（1） （2） （3）

   0  (1) cos  g    arccos g 求平衡位置： '  0   a 0 0 2 2 0 R 0 R

35

[例2―题5.4]

由(1)式求小圈在平衡位置附近作小振动的周期。

2  ˆ e : mR  mg sin   m0 ( R sin  ) cos

(1)

在平衡位置附近做小振动，令   0  h,

h  1

2   (1)  R  Rh  [ g  0 R cos( 0  h)] sin( 0  h)

sin( 0  h)  sin  0 cosh  cos  0 sin h  sin  0  h cos  0  sin h  h  cos(  h)  cos  cosh  sin  sinh  cos   h sin   cosh  1 0 0 0 0 0   2  Rh   g (sin  0  h cos  0 )  0 R[sin  0 cos  0  h(cos 2  0  sin 2  0 )] (略去二阶小量h 2 sin  0 cos  0 )

2 2   Rh  h[ g cos  0  0 R(cos 2  0  sin 2  0 )]   g sin  0  0 R sin  0 cos  0  0

代入  0  arccos

g

 R

2 0

可得

g2 2  h  (0  2 2 )h  0  T  2 0 R

g2 2 (0  2 2 ) 0 R

36