同角三角函数
二、同角三角函数关系和诱导公式
【基础知识】
1.掌握同角三角函数间的关系,sin 2θ+cos 2θ=1,tan θ=
sin θ
,tan θ·cot θ=1. cos θ
①倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1 , tanαcot α=1 ②商数关系:tan α=sinαcos α,cot α=cos αsin α
③平方关系:sin α+cosα=1,1+tanα=secα,1+cotα=cscα
2.奇变偶不变,符号看象限.此外在应用时,不论值,我们始终视。 .............α.取什么..........α.为锐角...3.注意“1”的灵活代换,1=sin α+cos α=sec α-tan α=csc β-cot α. 【题例分析】
例1.化简:(1) sin(-1071︒) ·sin 99︒+sin(-171︒) ·sin(-261︒) -cot 1089︒·cot(-630︒);
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)
tan 1︒⋅tan 2︒⋅L L ⋅tan 89︒1-sin α1+sin α
; (3) . +
1+sin α1-sin αsin 21︒+sin 22︒+L L +sin 289︒
答案:(1) 0 (2)
例2.已知tan α=2,求2sin α-sin αcos α+cos α的值。
2
2
22
(3)
|cos α|89
2sin 2α-sin αcos α+cos 2α
解:2sin α-sin αcos α+cos α= 22
sin α+cos α
2
2
2tan 2α-tan α+15-2
==.
3tan 2α+1
例3.已知sin α+cos α=
144
, 求sin α+cos α的值。 2
解:∵sin α+cos α=
11
, ∴ 1+2sin αcos α=, 24
2
2
2
2
sinα+cos α=(sinα+cos α) -2sin αcos α=1-
.例4.已知sin [α-
442
923
=. 3232
(2n +1) π3ππ
]=, α∈(0, ) ∪(, π) ,求tan α+cot α的值。
5222
⎧25
⎪-12, n 为偶数
答案: tanα+cot α=⎨.
25
⎪n 为奇数⎩12
【巩固训练】
一. 选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内. 1.化简-sin 21180︒的结果是( )。
(A )cos100° (B )cos80° (C )sin80° (D )cos20° 2.若sin x =
m -34-2m
,cos x =, 则m 的值是( )。 m +5m +5
(A )0 (B )8 (C )0或8 (D )3
二. 填空题:把正确答案填写在题中的横线上. 3、化简sin(α-
ππ
) +cos(α+) 的结果是 . 44
sin(-α-
3π3π
) sin(-α) tg 2(2π-α) 的值 ππ
cos(-α)(cos+α) ctg (π-α)
22
4、已知sin α是方程5x -7x -6=0的根,则
2
是 。
三. 解答题:(解答应写文字说明,证明过程或演算步骤)
5、已知θ∈(0, 2π) ,而sin θ, cosθ是方程x -kx +k +1=0的两个根,求k 与θ的值。
6、已知sin(3π-α) =2cos(
答案:B C 0 ±=
2
3π
+β) 3cos(-α) =-2cos(π+β), 且0
33ππ3πππ3π θ=π或θ= α=或α=; 若α=,则β=,若α=,则sin β
2444644
5π31
, cosβ=-, β=.
226
三、三角函数的公式
【基础知识】
1、掌握和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β; tan(α±β) =
tan α±tan β
.
1 tan αtan β
a sin α+
b cos αα+ϕ) (辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定, tan ϕ=2. 掌握二倍角公式:
sin2α=2sinαcos α.
b
). a
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
tan 2α=
2tan α
.
1-tan 2α
3、掌握半角公式:
sin 2
α
2
=
1-cos α1+cos αα1-cos αsin α2α,cos ,tan = ==
2222sin α1+cos α
4、掌握万能公式:
2tan
sin α=
α
,cos α=2
2
1-tan
2
αα
,tan α=2
2tan
α
2
1+tan
【题例分析】
α
2
1+tan 1-tan
α
2
例1、试求函数y =
lg sin x +tan(π+x )
的定义域。
sin 7 +cos 15 sin 8
例2、(1)求的值;
cos 7 +sin 15 sin 8
(2)已知:tan(α+β) =
例3、已知-
2π1π
, tan(β-) =,求:+α) 的值. 5244
π
2
1
. 5
(1)求sin x -cos x 的值;
3sin 2
(2)求
x x x x -2sin cos +cos 2的值.
tan x +cot x
例4、已知6sin α+sin αcos α-2cos α=0, α∈[
22
π
, π],求sin(2α+) 的值. 23
π
例1、 2k π
π2π或2k π+
例2、 例2、2-
例3、 sin x -cos x =-. -
75
108
125
2
2
例4、已知6sin α+sin αcos α-2cos α=0, α∈[
π
, π],求sin(2α+) 的值. 23
π
解法一:由已知得:(3sin α+2cos α)(2sin α-cos α) =0 ⇔3sin α+2cos α=0或2sin α-cos α=0 由已知条件可知cos α≠0, 所以α≠
π
, 即α∈(, π).
22
π
2
于是tan α
3
sin(2α+) =sin 2αcos +cos 2αsin
333
(cos2α-sin 2α) 2
sin αcos αcos 2α-sin 2α
+⨯ = 2222
2cos α+sin αcos α+sin α
tan α1-tan 2α=+⨯. 22
21+tan α1+tan α
=sin αcos α+
πππ
2
将tan α=-代入上式得
3
22(-) 1-(-) 2
π333sin(2α+) =-+⨯
22321+(-) 21+(-) 2
33
65=-+3. 即为所求. 1326
解法二:由已知条件可知cos α≠0, 则α≠
π
2
, 所以原式可化为
6tan 2α+tan α-2=0. 即(3tan α+2)(2tan α-1) =0. 又 α∈(, π), ∴tan α
22
∴tan α=-.
3
下同解法一.
【巩固训练】
一. 选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内. 1.若sin
π
⎛π⎫1⎛2π⎫
-α⎪=,则cos +2α⎪=( ) ⎝6⎭3⎝3⎭
A .-
7117 B.- C. D. 9339
2、设0≤x ≤2π,
=sin x -cos x , 则
(A) 0≤x ≤π (B)
π
4
≤x ≤
7ππ5ππ3π
(C) ≤x ≤ (D) ≤x ≤ 44422
二. 填空题:把正确答案填写在题中的横线上. 3、已知tan
α4πsin 3a 13
=2,则tanα的值为-,tan (α+) 的值为-4、设a 为第四象限的角,若 =,234sin a 5
则tan 2a =______________.
三. 解答题:(解答应写文字说明,证明过程或演算步骤) 5、已知函数f (x ) =-3sin x +sin x cos x .
2
(Ⅰ) 求f (
25πα1
) 的值; (Ⅱ) 设α∈(0,π) ,f () =,求sin α的值.
246
6、已知sin(α-
π727π) =, cos 2α=, 求sin α及tan(α+) . 410253
答案:1.A 2.C 3.
13
4.- 74
5. (Ⅰ) 0 (Ⅱ) 0 解得s i αn =
1±3 α∈(0, π) ∴sin α>0 8
α∈(0, π) ∴sin α>0∴sin a =
1+3 8
6. sin α=
34, cos α=- 55
tan(α+
π
4
) =
48-25.
11