初一数学三角形与全等三角形知识点大全,经典练习-含答案

初一数学三角形知识点归纳 一、与三角形有关的线段

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 2、等边三角形：三边都相等的三角形 3、等腰三角形：有两条边相等的三角形 4、不等边三角形：三边都不相等的三角形

5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角

6、三角形分类：不等边三角形

等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形

7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差

3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形

8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所

得线段AD叫做△ABC的边BC上的高

9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做

△ABC的边BC上的中线

注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可

能是第一个△周长小

10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫

做△ABC的角平分线

11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性

二、与三角形有关的角

1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。 证明方法：利用平行线性质

2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5、三角形的外角和为360度 6、等腰三角形两个底角相等

三、多边形及其内角和

1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。 3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

7、多边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）*180 8、多边形的外角和：360度

注：有些题，利用外角和，能提升解题速度

9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△ 注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案 10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线

n(n-3)

2条。

全等三角形复习

一、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定

边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)

二、角的平分线： 熟悉基本图形 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

轴对称

一、轴对称图形

1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

4.轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线 熟悉基本图形 比较区分角平分线模型

1.

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数

.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4.直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半、

全等三角形 练习

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为 ，BD的对应边为 .

2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌△ ，理由是 ，△ABE≌

（第1题） （第2题） （第4题） 3.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是

cm.

4.如图，AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高，且AB= A´B´，AD= A´D´，若使△ABC≌△A´B´C´，请你补充条件 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形

完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向

的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度

B

A

N

DM

A

E

C

B

C

D

（第6题） （第7题） （第8题）

7．已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，

则DN＋MN的最小值为__________．

8．如图，在△ABC中，∠B＝90o，D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连结AD，若

∠DAC：∠DAB＝2：5，则∠DAC＝___________．

9．等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90o，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB＋AD＝8cm，

则底边BC上的高为___________．

10．锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝__________度． AC

E

HD

B

C BAD

（第9题） （第10题）

二、选择题（每小题3分，共30分）

11．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，则高BD与BC的夹角为（ ）

A．28° B．34° C．68° D．62°

12．在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值

范围为（ ）

A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，

且AB=6，则△DEB的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10 14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明 ∠A′O′B′＝∠AOB的依据是 A．（S．S．S．）B．（S．A．S．） C．（A．S．A．）D．（A．A．S．

O

B

B′

′

（第14题）

15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ） A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠α B.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠α C.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β

16. △ABC与△A´B´C´中，条件①AB= A´B´，②BC= B´C´，③AC =A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B=∠B´，⑥∠C=∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´B´C´的是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥

17．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全

等三角形（ ）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点

E，若△DEB的周长为10cm，则斜边AB的长为（ ）

A．8 cm B．10 cm C．12 cm D． 20 cm

19．如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B

旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（ ）

A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定

20．已知∠P=80°，过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直于∠P的两边，垂足为M，

N，则∠Q的度数等于（ ）

A．10° B．80° C．100° D．80°或100° 三、解答题（每小题5分，共30分）

21.如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证

明.所添条件为 ， 你得到的一对全等三角形是∆ ≅∆ .

B

（第21题）

22.如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF， 已知：EG∥AF，， 求证： 证明：

（第22题）

23. 如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在

其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF

（第23题）

24. 如图，四边形ABCD中，点E在边CD上.连结AE、BF，给出下列五个关系式： ①AD∥BC；②DE=CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.

(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果„„，那么„„，并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）； （3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题

D

E

B

CF

25.已知，如图，D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E, DE=FE, AB∥FC. 问线段AD、CF的长度关系如何？请予以证明.

A

F

（第25题）

26.如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°.

（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果.

（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.

四、探究题 （每题10分，共20分）

27.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在

(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. M D

D

P

C N 图① 图③ 图②

28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；

(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）.

A

F

F

C

B

E

图a 图b

参考答案

一、1.∠DBE， CA 2.△ACE， SAS， △ACD， ASA（或SAS）3. 6

4.CD=C´D´（或AC=A´C´，或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´）5.平移，翻折 6. 90 7. 10 8. 20º 9.8 42 10. 45

C

二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D

三、21.可选择CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个.可得到△ACE≌

△ADE或△ACB≌△ADB等.

22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系

可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；

推理过程为：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA， ∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；

若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，

23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系

由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：

①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，

同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.

24. （1）如果①②③，那么④⑤

证明：如图，延长AE交BC的延长线于F 因为AD∥BC 所以 ∠1=∠F

又因为∠AED =∠CEF ，DE=EC所以△ADE ≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF

因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4

所以AD+BC=CF+BC=BF=AB

（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.

(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.

25. （1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将

这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.

（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：

在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，连结EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，同理∠B=∠2，∵∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，

∴∠EGF=90°，EF为斜边.

四、27.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD

（2）答：（1）中的结论FE=FD仍然成立

图① 图②

证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG

∵ ∠1=∠2，AF=AF，AE=AG ∴ △AEF≌△AGF

∴ ∠AFE=∠AFG，FG=FE∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线 ∴ ∠2+∠3=60°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴ ∠CFG=60° ∵ ∠4=∠3，CF=CF，∴ △CFG≌△CFD∴ FG=FD∴ FE=FD 图⑤ 证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H

∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF=60°+∠1,FG=FH

∵ ∠HDF=∠B+∠1 ∴ ∠GEF=∠HDF∴ △EGF≌△DHF ∴ FE=FD

28. （1）AF=BE.

证明：在△AFC和△BEC中， ∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.

(2)成立. 理由：在△AFC和△BEC中， ∵△ABC和△CEF是等边三角形，

. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB. ∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°

即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.

(3)此处图形不惟一，仅举几例.

如图，(1)中的结论仍成立.

(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：

如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，

则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.