相似三角形 三角比 复习

相似、三角比复习

【课堂练习】

一、选择

1．下列图形一定是相似图形的是 ( ) （A）两个矩形； （B）两个正方形； （C）两个直角三角形； （D）两个等腰三角形．

2．已知Rt△ABC中，∠C=90，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（ ） （A）sinA=

2222

； （B）cosA=； （C）tanA=； (D)cotA=． 3333

3．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为72、63，则另一个三角形的最小的内角为 （ ） （A）72； （B）63； （C）45； （D）不能确定．

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC ，那么下列结论中

错误的是（ ）

A

ADAEADAE

==； （B）； DBECABACDEADDEAE

==（C）； (D) ． BCDBBCAC

（A）

B

第4题图

EC

5．若AM是∆ABC的中线，AB=a，，则AM=（ ） AC=b，（A）

1111

a-b; （B）a+b; （C）a-b; （D）a+b. 2233

()

()()()

6. 如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

( )

A

B

C

(A)(B)(C)(D)

二、填空

39

7．如果=，那么x=

4x

AE

D

C

第8题图

8．如图，梯形 ABCD中，AD∥BC∥EF， AE∶EB=2∶1，

BDF=8，则FC．

9．如图：AB、CD相交于O，且∠A=∠C，若OA=3，OD=4，OB=2，则OC=________． 10．化简：-

33

-(-)． 22

D

BA

第9题图

11．已知在△ABC中，AD是中线，G是重心，如果GD=3cm，那么AG= cm．

12．在Rt∆ABC中，∠C=90，BC=3，sinA=

1

，那么6

AB=．

13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上 ，DE∥BC，AD=1，AB=3，则S∆ADE:S∆ABC．

14．如图：M为平行四边形ABCD的BC边的中点，AM交BD于点P，若PM=4，则AP=_______．

B

APM

第14题图

D

C

15．已知点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），如果AB=2，那么AD的长为 ．

C

16．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足是D，

AD3

=，⊿ABC的周长是25，那么⊿ACD的周长是 ． AC5A

17．如图，请在方格图中画出一个与 ABC相似且相似比不为1的△DEF（D、E、F必须在方格图的交叉点）．

18．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=4，BC=5，AC=6，EF=10，如果△ABC与△DEF相似，那么DE= ．

三、解答

B

D

第16题图

B

第17题图

sin245 +cos245

19．计算：-tan45︒.

cot60 ⋅cot30

20．已知非零向量a和b，求作（1）a+2b、（2）2a-3b（不要求写作法）.

21．如图，点D在AC上，且∠ABD=∠C,AB=4,CD=6,求AD的长.

22．如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，∠DAE=120︒.求证：

D

B

C

第22题图

A

B

第

21题图

C

ADAB

=. DEAE

A

E

23．点D、E分别在△ABC 的AB、AC边的延长线上，AB=2，AC=4，BD=3，问： (1)当CE为何值时，DE//BC； (2) 在（1）的条件下，求△ABC的面积与四边形BCED的面积的比.

AB

D

第23题图

E

24．如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在AD上.联结AE交FG于点M，联结CG并延长交AE于点N，（1）写出图中所有与△EFM相似的三角形； （2）证明：

EF2=FM⋅CD.

B

A

G

NF

C

第24题图

D

E

25．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．

（1）求AC的长； （2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值； （3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

APD

BC

第25题图

一．选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1．B；2．D；3．C；4．C；5．B；6．B．

二．填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）

7．12；8．4；9．

3531；10．-+；11．6；12．18；13．1:9(或)； 2229

14．8；15．5-1；16．15；17．略；18．8或12．

三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分，满分

78分）

(

19．解：原式=

222)+()2-1………………………………………………5分

⨯33

=0 ………………………………………………5分 20．解：图略…………………每题5分

21.∠ABD=∠C,△ABD∽△ACB. ……………3分

AB2=AD·AC………………3分 设AD=x,得x(x+6)=16……………2分 x=2…………1分 AD=2…………1分

22. 证明：∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC，∠ACB=60°……1分 ∴∠ACE=120°……1分 ∵∠DAE=120°

∴∠DAE=∠ACE……1分 又∠E=∠E

∴△ADE∽△CAE……3分

ADDE

=……2分 CAAEADAB

=∴……2分 DEAE

ABAC

=23. 解：（1）∵DE∥BC ∴……2分 BDCE

24

∵AB=2,AC=4,BD=3， ∴=

3CE

∴

∴CE=6……2分

反之亦然，∴当CE=6时，DE∥BC……2分 （2）∵DE∥BC ∴△ABC∽△ADE……2分

S4⎛AB⎫⎛2⎫∴∆ABC= ……2分 ⎪= ⎪=S∆ADE⎝AD⎭25⎝5⎭

22

∴

S∆ABCS四边形BCED

=

4

……2分 21

24.(1)△EFM∽△CGD∽△NEC∽△AGM∽AGN∽△GMN……………各1分共5分 (2)由全等或三角形内角和证明CN⊥AE………………2分

△EFM∽△CGD……………2分

得比例GD：MF= CD：EF……………1分 正方形DEFG，得GD=EF…………1分 结论 EF2=FM·CD…………1分

25．解：（1）过点A作AF⊥BC于F …………………………………………1分 在Rt∆AFB中，∠AFB=90︒，∠ABF=60︒ ∴AF=ABsin∠ABF=4sin60︒=4⨯ BF=ABcos∠ABF=4cos60︒=4⨯ 在Rt∆AFC中，∠AFC=90︒ ∴AC=

=23 2

1

=2……………1分 2

AF2+FC2=(2)2+42=2…………………1分

（2）过点P作PG⊥BC于G 在Rt∆BPG中，∠PGB=90︒ ∴BP=

BG2+PG2=(23)2+(2+x)2=x2+4x+16……1分

如果∆ABP和∆BCE相似 ∵∠APB=∠EBC

又∵∠BAP=∠BCD>∠ECB……………………………………1分 ∴∠ABP=∠ECB

6

⨯27

4ABEC

== ∴ 即…………1分

2BPBC6x+4x+16

解得x1=8,x2=-

4

（不合题意，舍去）…………1分 3

∴x=8………………………………………………………………………1分 （3）1︒ 当AE=AB=4时 ∵AP∥BC ∴

APAE

= BCEC

即

x4= 解得x=47+8 ……………………………2分 62-4

2︒ 当BE=AB=4时 ∵AP∥BC ∴

PEAP

= BEBC

x2+4x+16-4x

即=

46

12

,x2=0（不合题意，舍去）………………2分 5

3︒ 在Rt∆AFC中，∠AFC=90︒

解得x1=

∵FC=4>2=AF 在线段FC上截取FH=AF ∴∠FAE>∠FAH=45︒

∴∠BAE>45︒+30︒>60︒=∠ABC>∠ABE

∴AE≠BE …………………………………………………2分 综上所述，当∆ABE是等腰三角形时，x=47+8或

12

． 5

【课后作业】

一、选择题：

1．若mn=pq，则下列比例式正确的是（ ）

（A）

qpmpnpnp

=； （B）=； （C）=； （D）=．

nmnqmqqm

1

//2//3，下列比例式中正确的是（ ）

ADCEADDFABCDADBC

====（A）； （B）； （C）； （D）． BCDFBCCECDEFBEAF

3．如图2，△ABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，如果S∆ADE=S四边形BCED，

2． 如图1，

那么下列等式成立的是（ ）

（A）DE:BC=1:2； （B）DE:BC=1:3； （C）DE:BC=1:4； （D

）DE:BC= 4．如果AB=CD，那么下列结论正确的是（ ）

（A）AC=DB； （B）AC=BD； （C）AD=BC； （D）AD=CB． 5． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）

（A）sinA=

BDACADCD

； （B）cosA=； （C）cotA=； （D）tanA=． BCADBCAB

6．下列各组图形必相似的是（ ）

（A）任意两个等腰三角形；

（B）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形； （C）两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形； （D）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形．

（图1）

1 2

（图3）

A

（图2）

3

二、填空题：

7．线段4和9的比例中项是

abc

==，2a+b-c=4，那么a= 235

9．点P为线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则关于PA、PB、AB的比例式是 ．

8．如果

10．等腰直角三角形斜边上的高与直角边之比为

11．在△ABC中，若中线AD和中线CE相交于G，则AG:AD=．

12．线段AB与CD交于点O，若AB=3AO，则当CO:DO的值为时，线段AC//BD． 13．三角形的周长是a，三边中点连线所组成的三角形的周长是

1⎫⎛1⎫⎛

b⎪．

3⎭⎝2⎭⎝

2

15．已知0︒

3

16．如图4，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，则BC边上的高

14．化简：3 a-b⎪-2 a+

的长是 ．

17．如图5，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD∶S△ABD=2∶5，

那么S△AOD∶S△BOC．

18．若△ABC∽△DEF，且∠A=∠E，AB=DF=6，BC=5，AC=4，则DE．

三、解答题

19．如图6，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，BE//CD交CA延长线于点E。求证：OC=OA⋅OE

20．如图7，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2。求tanB的值。

C

（图7）

2

B D

(图4)

C

(图5)

E

（图6）

D

C

21．如图8，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EF//BD，AD=3AF， CF交BD于G，设AB=a,AD=b。

（1）用a,b表示EF；（2）作出向量FC分别在a、b方向上的分向量，并分别用a、b表示（写出结论，不要求写作法）．

A （图8） D

22． 如图9，梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线交点O作EF//AB交

AD于E，交BC于F。求EF的长。

（图9）

23． 如图10，已知△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，且BD=2AD，点E为边AC的中点，联结DE、DC。

求证：AC⋅DE=AE⋅DC.

（图10）

24．已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6。

（1）如图11，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似。

① 请在图11中画出所有符合题意的△ADE(不必尺规作图)； ② 若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；

（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）。

C C B B

（图11） （备用图）

25． 如图12，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD:BC=1:2，点E为边AB中点，点F

是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G。

BF1DG

，求的值； FC3GF

（2）联结AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说

（1）若

明理由；

（3）联结AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长。

A D D A

E

B C B

（图12） （备用图）

C

一、（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1．C；2．B；3．D；4．B；5．A；6．D 二、（本大题共12题，每题3分，满分36分）

1aPAAB

=；10

．11．2:3；12．；13．

22PBPA

243616．4；17．4:9；18．14．a-2b；15

或

55

7．6；8．4；9．

三、解答题（本大题共7题，满分46分）

OCOB

=，--------------------------------2分 OAOD

OEOB

=又∵BE//CD，∴---------------------------------------------2分 OCOD

OCOE2

=∴，即∴OC=OA⋅OE---------------------------------1分 OAOC

19.证明：∵AD//BC，∴

20.解：过点A作AH⊥BC于H，--------------------------------------1分 ∵S△ABC=27，∴

1

⨯9⨯AH=27，∴AH=6-------------------------1分 2

∵AB=10，∴BH=8---------------------------------------------------------1分

AH

-----------------------------------------------------------------1分 BH3

=--------------------------------------------------------------------1分

4

AFEF

=21.解：（1）∵EF//BD，∴，而AD=3AF，∴BD=3EF，---------------1分 ADBD

1111

∴EF=BD=(BA+AD)=-a+b。-----------------------------------2分

3333

2

（2）作出的图形中，FC在a、b方向上的分向量分别是a、b． -----------2分

3

DODC3

==----------------------1分 22.解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴

OBAB4

DOCO3

==----------------------------------------------------------------------1分 ∴

DBCA7

EODO3FOCO3

==，==-------------------------------1分 ∵EF//AB，∴

ABDB7ABCB73336

∴EO=FO=AB=⋅12=-------------------------------------------------1分

77772

∴EF=2EO=--------------------------------------------------------------------1分

7

AE1AE1

=，∵AC=BC，∴=---1分 23.证明：∵点E为边AC的中点，∴

AC2BC2

AD1

=--------------------------------------------------------------1分 又∵BD=2AD，∴

BD2

∴tanB=

∴

AEAD

=-------------------------------------------------------------------------------1分 BCBD

∵AC=BC，∴∠A=∠B，

∴△ADE∽△BDC-------------------------------------------------------------------------1分

DEAE

=,------------------------------------------------------------------------------1分 DCBC

DEAE

=∵AC=BC，∴,即AC⋅DE=AE⋅DC--------------------------------1分 DCAC

∴

24.解：（1）①略---------------------------------------------------------------------------2分 ② 情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，

∴

AEAD3

=,∴AE=m--------------------------------------------1分 ABAC2AEAD2

=,∴AE=m--------------------------------------------1分 ACAB3

情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ABC，

∴

（2）∵当MN//AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，

∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA 时AM的长即可。--1分

当△BMN∽△BCA (N与C重合)时 ，有∠BMC=∠ACB，则即

BCBA

= BMBC

1156

=，∴x=---------------------------------------------------------1分

66-x5

11

∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是0≤x

6

25.解：（1）∵BF: FC=1:3，∴设BF=k，则FC=3k，BC=4k，∵AD:BC=1:2，∴AD=2k 延长CE交DA的延长线于点M，∵AD//BC，∴

AMAEDGDM

==，且-----2分 BCEBGFCF

∵点E为边AB中点，∴AM=BC=4k，∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，

DG6

==2。------------------------------------------------------------------------------------1分 GF3

AG2

=------------------------------------------------------------------------2分 （2）AG//DC，且

DC3

MGDG2

==， 证明： ∵AD//BC，∴

GCGF1

MA4a2MGMA

==，∴= ∵ ，∴AG//DC。-----------------------------------------1分 AD2a1GCADAGMA2

==。--------------------------------------------------------------------------------1分 ∴

DCMD3

∴

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD:BC=1:2，∴BC=4，

∵AD//BC，∴∠ADG=∠DFC，-----------------------------------------------------------------1分 ∵△ADG与△CDF相似，

方法一：∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC---------------------------------------1分,1分

情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG//DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM =4， 由

AGMAAG4

=，∴AG=2 =得36DCMD

∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，∴

23AGDC

=，即=，∴CF=3

2CFADCF

∴BF=1---------------------------------------------------------------------------------------------1分

情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD， 则

ABFCADDGDM4-x

===,由AD//BC得,∴FT=，∴BTCDFTGFCF3

2

34-x

， =

4-x3x+3

整理得：2x-4x+11=0，∵∆=16-88

ADDFADFC

==或----------------------------------------------------1分,1分 DGFCDGDF

过D作DH⊥BC于H，可得

=

延长CE交DA的延长线于点M，得AM =4，∴∴DG=

DG6DG6

==，∴

GF4-xDF10-x

ADDF

=

由得：DGFC

2

=

整理得：2x-4x+11=0，∵∆=16-88

2

ADFC

=

得DGDF

2

=

解得：x=1，------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴BF=1