二元一次方程组的概念解析

二元一次方程及方程组

一、知识要点

1、理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

2、了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解. 3、会用“代入法”解二元一次方程组。

二、基础知识剖析

1、是什么方程？是什么一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解如何表达？如何检验x＝3是不是方程5x＋3(9－x)＝33的解？

2、列方程解应用题：香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了9千克，付款33元. 香蕉和苹果各买了多少千克？

分析：既然求两种水果各买多少？那么能不能设两个未知数呢？设买香蕉x千克，买苹果y千克，列出两个方程：

xy95x3y33

这里x与y必须满足这两个方程，那么又该如何表

达呢？数学里大括号表示“不仅……而且……”，因此用大括号把两个方程联立起来：

xy9

这又成了什么呢？里面的是不是一元一次方程呢？ 

5x3y33

(一)二元一次方程组的有关概念

二元一次方程：含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做二元一次方程．

二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例1、下列各方程中，是二元一次方程的是( ) A.

x3

15

2y

y5x B.3xy＋3＝4

y4

3x5y6

C．xy1

2

D．

练习：(1)下列各式，属于二元一次方程的个数有( )

①xy＋2x－y＝7； ②4x＋1＝x－y； ＋y＝5； ④x＝y； ⑤x－y＝2

x1

2

2

⑥6x－2y ⑦x＋y＋z＝1 ⑧y(y－1)＝2y2－y2＋x A．1

B．2

C．3

D．4

（2）已知(a－2)x－by|a|－1＝5是关于x、y 的二元一次方程，则a＝______，b＝_____． 例2、检查 

x1y45.4



x0y46.4



x0.1y46.3



x100y200

是否满足方程

xy46.4。

x26x1xy46.4练习：分别检查 是否适合方程组中的每一个方程？

y20.4y45.4xy5.6

(二)二元一次方程组的解法

xy9

例3、二元一次方程组： 这个方程组如何求解呢？

5x3y33

（1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 练习：

1、已知方程3x－5y＝2，用含x的代数式表示y，则y＝； 用含y 的代数式表示x，则x＝ 。 2、解方程组： （1） 

5xy9y3x1

（2)

x2y03x2y8

（3) 

x3y133x2y6

（2）加减消元法：

如何解方程组？



2x5y92x3y17

1 2

1、用代入法解(消x)，指名板演，解完后思考：

2、在由(1)或(2)算用y的代数或表示x时要除以x系数2。代入另一方程时又要乘以系数2。 是否可以简单一些？用“整体代换”思想把2x作一个未知当选消元求解。 3、还有没有更简单的解法？

提问：(1)两方程相减根据是什么？(等式性质)

(2)目的是什么?(消去x). 例4、解方程组

7x3y1



2x3y8

练习1：解下列方程组：

0.5xy4

(1)

0.5x3y8

6x3y9

(2)

7x3y10

例5、解下列方程组。

2x3y12

(1)

3x4y17

4(xy1)3(1y)2



(2)xy

2

23

练习：解方程组： （1）

x3y103x5y2

(2) 

3x4y165x6y33

(3) 

3(x1)4(y4)5(y1)3(x5)

例6、解下列方程组：

x1y2

034

(1)

x3y313124

练习：解下列方程组：

xyxy

6

(1) 2 3

4(xy)5(xy)2

3xy4xy4

(2) xyxy

1

62

例7、已知方程组

A．4

x2y3

axby4axby2

的解为

x2y1

，则2a－3b的值为( )

C．－6

D. －4

B．6

练习：(1) 若 

是方程x－ky ＝1的解，则k＝_____。

(2)若方程mxny6的两个解是

x1y1

，

x2y1

则m______，n______

三、中考训练

1、方程x3y9的正整数解是______________。 2、若3x2a＋b＋1y与5xya－2b－1是同类项，则b－a＝_________

4、如果x2y1xy50，那么x______，y_______ 5、已知x＋y＝0，|x|＝2，则y为( ).

A. 2或－2

x2y12x3y2

B. 2 ，那么

2x4y2

2

6x9y

3

C. －2

___ _ ___。

D. |±2|

6、如果

7、如果2x2ab13y3a2b1610是一个二元一次方程，那么数a＝______，b＝______。 8、已知方程(2m6)x|x|1(n2)ym

2

8

＝0是二元一次方程，求m＋n的值。

四、课后训练：

2、已知

x1y0

和

x2y3

都是方程y＝ax＋b的解，则a和b的值是 ( )

a1

A．

b1

a1

B．

b1

a1

C．

b1a1

D．

b1

3、方程组

xy3xy1

的解是 ( )

A．

x1y2

B．

x1y2

C．

x2y1

D．

x0y1

4、若方程4x5、若

12a

mn

5y

mn

6是二元一次方程，则m____，n____

xy1

b与2ab

2xy2

是同类项，则x＝ y＝ ；

x23mx2y1

6、已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________

y14xny72