高考数学易错题举例解析

高考数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。

⎧ x >0⎧ x + y >0⎧ x >1⎧ x + y >3⎨⎨⎨⎨ ⇔ ，但 与 不等价。 ⎩ y >0⎩ xy >0⎩ y >2⎩ xy >2

x

【例1】已知f(x) = a x + ，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。

b

①⎧-3≤a +b ≤0

⎪

错误解法 由条件得⎨ b

3≤2a +≤6⎪②2⎩

②×2－① 6≤a ≤15 ③ ①×2－②得 -

8b 2

≤≤- ④ 33310b 431043

③+④得 ≤3a +≤, 即≤f (3) ≤.

33333

x

，b

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +

其值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

⎧f (1) =a +b

⎪

正确解法 由题意有⎨b , 解得：

f (2) =2a +⎪2⎩

12

a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)],

33

b 1651637

∴f (3) =3a +=f (2) -f (1). 把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤.

39933

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】

22

(1) 设α、β是方程x -2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) +(β-1) 的最小值是

2

(A ) -

494

(B ) 8(C ) 18(D ) 不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,

∴

(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1

=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349

=4(k -) 2-.

44

有的学生一看到-

49

，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思4

性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根α、β，∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0 ⇒ k ≤-2或k ≥3.

当k ≥3时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8； 当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 y 2

(2) 已知(x+2)+ =1, 求x 2+y2的取值范围。

4

2

错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y2=－3x 2－16x －12=－3(x+

8228) + ， 33

82828

∴当x=－ 时，x 2+y2有最大值 ，即x 2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 y 2y 22

事实上，由于(x+2)+ =1 ⇒ (x+2)=1－ ≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，

44

2

从而当x=－1时x 2+y2有最小值1。∴ x 2+y2的取值范围是[1,

28

]。 3

注意有界性：偶次方x 2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

11

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ ) 2+(b+ ) 2的最小值。

a b 错解 (a+

1121112

) +(b+) 2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab ∙+4=8, a b ab ab a b

∴(a+

1212

) +(b+) 的最小值是8. a b

1

, 2

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=

第二次等号成立的条件是ab=是最小值。 事实上，原式= a +b+

2

2

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不ab

1111112222

++4=( a +b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+) －2222

a b a b a b

2

]+4 ab

由ab ≤(

= (1－2ab)(1+

1

)+4， a 2b 2

a +b 211111

) = 得：1－2ab ≥1－=, 且22≥16，1+22≥17， 2422a b a b 1251

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立) ，

2221125

∴(a + ) 2 + (b + ) 2 。

2a b

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .

错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1. 错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠21-1=1。 错误原因：没有注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是。

因此在运用a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：a n =⎨(2)实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y =

222

错误解法 将圆x +y -2ax +a -1=0与抛物线 y =

2

22

⎧S 1(n =1)

。

⎩S n (n ≥2, n ∈N )

1

x 有两个公共点。 2

1

x 联立，消去y ， 2

得 x -(2a -) x +a -1=0(x ≥0). ①

12

2

⎧∆=0⎪171⎪

. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎨2a ->0 ， 解之得a =82⎪

2⎪⎩a -1>0.

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a =0时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。 当方程①有一正根、一负根时，得⎨因此，当a =公共点。

思考题：实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y =

2

⎧∆>0⎩a -1

2

解之，得-1

1712

或-1

1

x ， 2

(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列{a n }的全n 项和为S n . 若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q .

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9) 错误解法 S 3+S 6=2S 9, ∴， +=2⋅

1-q 1-q 1-q 整理得

q 3(2q 6-q 3-1）＝0.

6

3

3

3

由q ≠0得方程2q -q -1=0. ∴(2q +1)(q -1) =0, ∴q =-

。

4

2

或q =1

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)

错误分析 在错解中，由， +=2⋅

1-q 1-q 1-q

整理得q 3(2q 6-q 3-1）＝0时，应有a 1≠0和q ≠1。

在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q =1的情况，再在q ≠1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若q =1，则有S 3=3a 1, S 6=6a 1, S 9=9a 1. 但a 1≠0，即得

S 3+S 6≠2S 9, 与题设矛盾，故q ≠1.

又依题意

S 3+S 6=2S 9 ⇒

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)

⇒ +=2⋅

1-q 1-q 1-q

q 3(2q 6-q 3-1）＝0, 即(2q 3+1)(q 3-1) =0, 因为q ≠1，所以q 3-1≠0, 所以2q +1=0. 解得 q =-

3

4

. 2

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0, 1) 的直线，使它与抛物线y 2=2x 仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1，则它与抛物线的交点为

⎧y =kx +1

，消去y 得(kx +1) 2-2x =0. 整理得 k 2x 2+(2k -2) x +1=0. ⎨2

⎩y =2x

直线与抛物线仅有一个交点，∴∆=0, 解得k =

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y =kx +1时，没有考虑k =0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以

11

. ∴所求直线为y =x +1. 22

它的二次项系数不能为零，即k ≠0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0, 1) ，所以x =0, 即y 轴，它正好与抛物线y 2=2x 相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线y 2=2x 只有一个交点。

③一般地，设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1(k ≠0) , 则⎨

⎧y =kx +1

2

⎩y =2x

11

∴k 2x 2+(2k -2) x +1=0. 令∆=0, 解得k = 2, ∴ 所求直线为y =x +1.

2

1

综上，满足条件的直线为：y =1, x =0, y =x +1.

2

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A(集合元素的确定性)

(A) 0或1或2

2*

2、已知A = {x | x + tx + 1 = 0} ，若A ∩R = Φ ，则实数t 集合T = ___。t t >-2(空

，

0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D)

{}

集)

3、如果kx 2+2kx－(k+2)

4、命题A :x -＜3，命题B :(x +2)(x +a ) ＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是C(等号)

（A ）(4,+∞) （B ）4, +∞) （C ）(-∞, -4) （D ）(-∞, -4 1

5、若不等式x 2－log a x

2(A) [(1,2)

(－1) n + 1

6、若不等式(－1) a

n

n

[]

1

,1) (B) (1, + ∞) 161

(C) ( ,1)

16

(D) (

1

,1) ∪2

号)

3

(A) [－2，)

23

(B) (－2，)

23

(C) [－3，)

23

(D) (－3，)

2

7、已知定义在实数集R 上的函数f (x ) 满足：f (1)=1；当x

（单调性、单调区间）

9、函数y = log 0. 5(x 2－1) 的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域）

1－2x

，则函数f (x ) 的单调区间是_____。递减区间(－∞，－1) 和(－1， x + 1

⎧log 2(x+2) x>0

10、已知函数f (x )= x x ≤0， f (x ) 的反函数f －1(x ⎩x －1⎧⎪ 2－2 x >1

x 0≤x

（漏反函数定义域即原函数值域）

2

x

11、函数 f (x ) = log 1 (x + a x + 2) 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥

20和△

(A) (－2,22 )

(C) (－∞, －22 ) ∪(22 ,+∞)

(B) [－2,22 ]

(D) (－∞, －22 ]∪[2,+∞)

12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为B(隐含条件) （A ）2

3（B ）

4

2（C ）

3

（D ）0

x 2+4x +322

13、函数y=2的值域是________。(－∞, ) ∪(,1) ∪(1,+∞) （定义域）

55x +x -6

x

14、函数y = sin x (1 + tan x tan ) 的最小正周期是C （定义域）

2

(A)

2

π

(B) π (C) 2π (D) 3

15、已知 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当 x ∈ [0,1) 时，f (x ) = 2 x ，则 f (log 1 23) = D(对

2

数运算) (A)

23 16

(B)

16 23

16(C)

23

23(D)

16

32

16、已知函数f (x ) =ax +bx -3x 在x =±1处取得极值。

（1）讨论f (1) 和f (-1) 是函数f (x ) 的极大值还是极小值；

（2）过点A (0, 16) 作曲线y =f (x ) 的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表) ；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

π3 sin α cos α 3 17、已知tan (α )= － 则tan α （化35233cos α －2sin α

齐次式）

14

18、若 3 sin 2α + 2 sin 2β －2 sin α = 0，则cos 2α + cos 2β 的最小值是 (隐

9含条件)

13

19、已知sin θ + cosθ = ，θ ∈ (0，π) ，则cot θ = _______。－(隐含条件)

54

20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、

b =2、A =

（A ）

π

4

，则∠B = B(隐含条件)

（B ）

π

12π 6

（C ）

π

6

或

5π 6

（D ）

π

12

或

11π

12

12 1225

21、已知a >0 , b>0 , a +b=1，则(a + ) + (b + ) 的最小值是_______(三相等)

a b 222、已知x ≠ k π (k ∈ Z)，函数y = sinx + 23、求y =

2

4

的最小值是______。5（三相等） sin x

28

+的最小值。

sin 2x cos 2x

错解1 y =

28288

+≥2⋅⋅=2222

x |s i n x c o s x s i n x c o s x |s i n x c o s

16

≥16,. ∴y min =16.

|sin 2x |

=错解2

282

+sin x ) +(+cos 2x ) -1≥22+2-1=-1+62. 22

sin x cos x

28

=且|sin 2x |=1. 错误分析 在解法1中，y =16的充要条件是22

sin x cos x

1

即|tan x |=且|sin x |=1. 这是自相矛盾的。∴y min ≠16.

2y =(

在解法2中，y =-1+62的充要条件是

282

=sin x 且=cos 2x ，即sin 2x =2，cos 2x =22, 这是不可22

sin x cos x

能的。

正确解法1 y =2csc 2x +8sec 2x

=2(1+cot 2x ) +8(1+tan 2x )

=10+2(cot2x +4tan 2x ) ≥10+2⋅2cot x ⋅4tan x =18.

2

2

其中，当cot 2x =4tan 2x ，即cot 2x =2时，y =18. ∴y min =18. 正 确 解 法2 取正常数k ，易得

y =(

282

+k sin x ) +(+k cos 2x ) -k 22

sin x cos x

≥2⋅2k +2⋅k -k =6⋅2k -k .

其中“≥”取“＝”的充要条件是

281222=k sin x 且=k cos x ，即tan x =且k =18. 22

2sin x cos x

12

因此，当tan x =时，y =6⋅2k -k =18, ∴y min =18.

2

24、已知a 1 = 1，a n = an －1 + 2n －1(n≥2) ，则a n = ________。2n －1(认清项数)

25、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1 五个实数成等比数列，

则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号) (A) －8 (B) 8

9(C)

8

9(D)

8

26、已知 {an } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？

当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。 （忽视公比q = －1）

27、已知定义在R 上的函数f (x ) 和数列{a n }满足下列条件：

a 1=a , a n =f (a n -1)(n =2, 3, 4, ... ), a 2≠a 1，f(an ) －f(an －1) = k(an －a n －1)(n = 2,3,┄) ，其中a 为常数，k 为非零常数。（1）令b n =a n +1-a n (n ∈N *)，证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）当|k |

n →∞

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m －(m－3m) i

(－1+i )(2+i )

29、i 的虚部为（ ）C(概念不清)

i (A) －1

(B) －i

(C) －3

(D) －3 i

222

30、实数m ，使方程x 2+(m +4i ) x +1+2mi =0至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根，

∴∆=(m +4i ) 2-4(1+2mi ) =m 2-20≥0 ⇒ m ≥2, 或m ≤-25.

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法 设a 是方程的实数根，则

a 2+(m +4i ) a +1+2mi =0, ∴a 2+ma +1+(4a +2m ) i =0.

由于a 、m 都是实数，∴

⎧a 2+ma +1=0

, 解得 m =±2. ⎨

⎩4a +2m =0

31、和a = (3,－4) 平行的单位向量是_________；和a = (3,－4) 垂直的单位向量是_________。

34344343

( ，－) 或(－， ) ；( ，) 或(－ ，－ )(漏55555555

解)

32、将函数y= 4x－8的图象L 按向量a 平移到L ，L 的函数表达式为y= 4x，则向量a =______。

a = (h，4h+8) (其中h ∈ R)(漏解) 33、已知 |a |＝1，|b |＝

/

/

2，若a //b ，求a ·b 。

2，

①若a ，b 共向，则 a ·b ＝|a |•|b |＝

②若a ，b 异向，则a ·b ＝－|a |•|b |＝－2。(漏解)

34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱

锥A －BCD 的体积为____________3

a (隐含条件) 24

35、在直二面角 α－AB －β 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为D(漏解) (A) 45︒

(B) 60︒ (C) 120︒ (D) 60︒ 或 120︒

36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；

（3）求二面角C —PB —D 的大小。(2004天津)

(条件不充分(漏PA ⊄ 平面EDB ，DE ⊂平面PDC ，DE ∩EF = E等) ；运算错误，锐角钝角不分。)

x 2 2

37、若方程 + y = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1) ∪(1，+ ∞) (漏解)

m x 1 2

38、已知椭圆 + y = 1的离心率为 ，则 m 的值为 。4 或 (漏解)

m 2439、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1、F 2 组成2πx

的三角形的周长为 4 + 23 且∠F 1BF 2 = 。+ y 2 = 1或

34y

x + = 1(漏解)

4

2

2

2

2

40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（c >0）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若⋅=0，求直线PQ 的方程；

（3）设=λ（λ>1），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM =-λFQ 。(2004天津)

(设方程时漏条件a >2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ 斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、 已知双曲线的右准线为x =4，右焦点F (10, 0) , 离心率e =2, 求双曲线方程。

a 2

错解1 x ==4, c =10, ∴a 2=40, ∴b 2=c 2-a 2=60. 故所求的双曲线方程为

c x 2y 2

-=1. 4060

错解2 由焦点F (10, 0) 知c =10, e =

c

=2, ∴a =5, b 2=c 2-a 2=75. a

x 2y 2

故所求的双曲线方程为-=1.

2575

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1 设P (x , y ) 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x =4，右焦点

F (10, 0) ，离心率e =2，由双曲线的定义知

(x -10) 2+y 2

=2. 整理得

|x -4|

(x -2) 2y 2

-=1. 1648

正解2 依题意，设双曲线的中心为(m , 0) ,

⎧a 2

⎪+m =4c ⎪⎪

则 ⎨c +m =10 解得

⎪c ⎪=2. ⎪⎩a

2

⎧a =4

⎪222

⎨c =8, 所以 b =c -a =64-16=48, ⎪m =2. ⎩

2

故所求双曲线方程为

(x -2) y

-=1. 1648

42、求与y 轴相切于右侧，并与⊙C :x 2+y 2-6x =0也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为(x -3) +y =9.

2

2

设点P (x , y )(x >0) 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M

与⊙C 相切于N 点。根据已知条件得

1

|CP |=|PM |+3，即(x -3) 2+y 2=x +3，化简得y 2=12x

(x >0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y =0(x >0且x ≠3) 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2 = 12x(x>0)和y =0(x >0且x ≠3) 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

43、（如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角α-y 轴－β等于60︒. 已知β内的曲线C '的方程是y 2=2p x '(p >0) ，求曲线C '在α内的射影的曲线方程。

错误解法 依题意，可知曲线C '是抛物线，

p

在β内的焦点坐标是F '(, 0), p >0.

2

因为二面角α-y 轴－β等于60︒，

且x '轴⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以∠xo x '=60︒.

设焦点F '在α内的射影是F (x , y ) ，那么，F 位于x 轴上， 从而y =0, ∠F 'OF =60︒, ∠F 'FO =90︒, 所以OF =O F '⋅cos 60︒=

图3－2－2

p p 1p

⋅=. 所以点F (, 0) 是所求射影的焦点。依题意，射影是

4224

一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C '在α内的射影的曲线方程是y 2=px .

错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 是射影(曲线) 的焦点，其次，没有证明默认C /在α 内的射影(曲线) 是一条抛物线。

正确解法 在β内，设点M (x ', y ') 是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M 作MN ⊥α，垂足为N ， 过N 作NH ⊥y 轴，垂足为H . 连接MH ，

图3－2－3

则MH ⊥y 轴。所以∠MHN 是二面角

α-y 轴－β的平面角，依题意，∠MHN =60︒.

在Rt ∆MNH 中, HN =HM ⋅cos 60︒=又知HM //x '轴（或M 与O 重合），

1

x '. 2

HN //x 轴（或H 与O 重合），设N (x , y ) ，

1⎧

x =x '⎪

则 ⎨2

⎪⎩y =y '

⎧x '=2x

∴⎨'⎩y =y .

因为点M (x ', y ') 在曲线y 2=2p x '(p >0) 上，所以y 2=2p (2x ). 即所求射影的方程为 y 2=4px (p >0).

44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率e =圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。

3，已知点P (0, ) 到这个椭

22

x 2y 2

错误解法 依题意可设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)

a b c 2a 2-b 2b 23

=1-2=， 则 e =2=2

4a a a

2

b 21

所以 2=，即 a =2b .

4a

设椭圆上的点(x , y ) 到点P 的距离为d ， 则 d =x +(y -)

2

2

3

2

2

y 29

=a (1-2) +y 2-3y +

4 b

1

=-3(y +) 2+4b 2+3.

2

2

所以当y =-

12

时，d 有最大值，从而d 也有最大值。 2

2

2

所以 4b 2+3=(7) 2，由此解得：b =1, a =4.

x 2

于是所求椭圆的方程为+y 2=1.

4

错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y =-

1

时，d 2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的2

取值范围。事实上，由于点(x , y ) 在椭圆上，所以有-b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论。即：

1

，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值。 2

323112

于是() =(b +) , 从而解得b =7->, 与b

222211

所以必有b ≥，此时当y =-时，d 2（从而d ）有最大值，

22

若b

所以4b 2+3=(7) 2，解得b 2=1, a 2=4.

x 2

+y 2=1. 于是所求椭圆的方程为4

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。