求圆锥曲线方程的特殊方法
求圆锥曲线方程的特殊方法
◆知识梳理
圆锥曲线为高考必考压轴题型,第一问通常为求曲线轨迹方程。求曲线轨迹方程常用方法有定义法、相关点代入法、直接法、参数法,同学们一定要熟练掌握这四种方法。在此特列举椭圆与双曲线求轨迹方程的常用方法。
一、椭圆
1、若已知椭圆焦点位置,常设标准方程,然后由已知条件确定系数
x 2y 2y 2x 2
①焦点在x 轴时可设:2+2=1,②焦点在y 轴时可设:2+2=1, a b a b
系数关系:a >b >0且a 2=b 2+c 2,离心率:0
2c ; 0, n >0, m ≠n ) ;
x 2y 2x 2y 2
+2=1(k >-a 2, k >-b 2) ; 3、与2+2=1有共同焦点的椭圆可设为:2a b a +k b +k
二、双曲线
1、若已知双曲线焦点位置,常设标准方程,然后由已知条件确定系数
x 2y 2y 2x 2
①焦点在x 轴时可设:2-2=1,②焦点在y 轴时可设:2-2=1, a b a b
系数关系:a >0,b >0且c 2=a 2+b 2,离心率:e =
2c >1(e 越大开口越大); a 2、当不知焦点位置,已知双曲线上的两点时可设:mx -ny 2=1(mn >0) ;
x 2y 2x 2y 2
3、与2-2=1有共同渐近线的双曲线可设为:2-2=λ(λ≠0) ; a b a b
x 2y 2x 2y 2
-2=1(-b 2◆自我检测
例1、求过点M (-2,
) 和N (1, 2) 的椭圆的标准方程.
x 2y 2
例2、设F 1、F 2分别是椭圆C :2+2=1,(a >b >0) 的左右两个焦点. a b
(1)若椭圆C 上的点3A (1,) 到F 1、F 2的距离之和是4,求椭圆C 的方程和焦点坐标; 2
(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程.