傅氏变换与z变换的关系
01-03
概念讲解 （拉氏变换与Z变换）
a、拉氏变换与z变换
理想采样的拉氏变换：
对照采样序列的z变换：
显然，当
时，采样序列的z变换等于理想采样信号的拉氏变换。
这说明，从理想采样信号的拉氏变换到采样序列的z变换，就是由复变量s平面到复变量z
平面的映射变换，这个映射关系就是
。
设
ｓ＝σ＋jΩ ｚ＝rejω 则rejω＝e(σ＋jΩ)T＝eσT ejΩT
因此有 r＝eσT ω＝ΩT＝Ω/fs σ＝0 —— r＝1
s平面的左半平面对应z平面的单位圆内，虚轴对应单位圆，在Ω由-π/T到+π/T的一条带
对应z平面转一圈。
b、付氏变换与z变换
付氏变换是拉氏变换在虚轴上的特例，即 s=jΩ，映射到z平面上正是单位圆z=esT=ejΩT
代入z变换公式
，所以，采样序列在单位圆上的z变换就等于其理想采样信号的付氏变换（即频谱）。
再看数字序列的付氏变换定义
可引出数字频率ω和模拟域频率Ω的关系，ω＝ΩT＝Ω/fs＝2πf/fs，即数字频率是模拟域频率对采样频率fs的归一化。数字频率代表了序列值变化快慢的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样频率fs），而没有绝对时间和频率的意义。
令z=ejω ，得到数字序列的付氏变换与z变换的关系
再根据z反变换：
将积分围线取在单位圆上，得
z平面单位圆上的一周正好对应
的一个周期。