导与练2016高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课时作业

4.3.2 空间两点间的距离公式

基础巩固

1.(2015珠海希望之星月考) 点A(3,1,2)在x 轴上的射影的坐标为( B ) (A)(3,0,2) (B)(3,0,0) (C)(0,1,2) (D)(3,1,0) 解析:x轴上的点的坐标为(a,0,0)的形式, 故选B.

2. 空间两点A,B 的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B 两点的位置关系是( B ) (A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称 (C)关于z 轴对称 (D)关于原点对称

解析:A,B两点纵坐标相同, 横坐标和竖坐标互为相反数, 故A,B 两点关于y 轴对称, 故选B. 3. 点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影, 则|OB|等于( A ) (A)

(B)

(C)2

(D)

解析:点A(1,2,3)在平面yOz 内的射影为B(0,2,3), 则|OB|=

=

. 故选A.

, 则实数x 的值是( D )

4. 已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2(A)-3或4 (B)6或2 (C)3或-4 (D)6或-2 解析:因为|AB|=

==2,

所以x=6或-2, 选D.

5. 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点, 则△ABC 是( A ) (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)等腰三角形 解析:|AB|=

=

,

|BC|==,

- 1 -

|AC|=

2

2

2

=.

所以|BC|+|AC|=|AB|, 所以△ABC 为直角三角形. 故选A.

6. 在空间直角坐标系中, 点M(-2,4,-3)在xOz 平面上的射影为M ′点, 则M ′点关于原点的对称点的坐标是 .

解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz 上的射影M ′(-2,0,-3),M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3). 答案:(2,0,3)

7. 如图, 棱长为3a 的正方体OABC D ′A ′B ′C ′中, 点M 在B ′C ′上, 且M 为B ′C ′的中点, 若以O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 则点M 的坐标为 .

解析:取BC 的中点N, 则MN ⊥平面xOy, 在xOy 平面内可得N(a,3a), 所以M(a,3a,3a).

答案:(a,3a,3a)

8. 如图所示, 直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E 分别是棱AB,B 1C 1的中点,F 是AC 的中点, 求DE,EF 的长度

.

解:以点C 为坐标原点,CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系

.

因为|C1C|=|CB|=|CA|=2,

所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), 由中点坐标公式可得,

D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), 所以

|DE|=

=

,

- 2 -

|EF|==.

能力提升

9.(2015潍坊六县一区联考) 在空间直角坐标系中, 已知点P(x,y,z)的坐标满足方程

222

(x-2)+(y+1)+(z-3)=1,则点P 的轨迹是( C ) (A)圆 (B)直线 (C)球面 (D)线段

222

解析:(x-2)+(y+1)+(z-3)=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1, 它表示以(2,-1,3)为球心, 以1为半径的球面, 故选C.

10.(2014台州高二期末) 如图, 空间直角坐标系Oxyz 中, 正三角形ABC 的顶点A,B 分别在xOy 平面和z 轴上移动. 若AB=2,则点C 到原点O 的最远距离为( C

)

(A)

-1 (B)2

(C)

+1 (D)3

解析:连接OA, △AOB 为直角三角形(图略), 设D 为AB 的中点, 则OD=1,当OD ⊥AB 时,O 到AB 的距离最大为1, 又C 到AB 的距离为

, 所以C 到O 的最远距离为

+1.故选C.

11.(2015江淮名校联考) 在xOy 平面上的直线x+y=1上确定一点M, 使M 到点(6,5,1)的距离最小, 则M 点的坐标为 . 解析:设M(t,1-t,0), 则M 到(6,5,1)的距离 d=

=

,

所以当t=1时d 取得最小值, 此时M 点的坐标为(1,0,0). 答案:(1,0,0)

12. 如图, 在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点, 点D 在平面yOz 内, 且∠BDC=90°, ∠DCB=30°, 求点D 的坐标

.

解:过点D 作DE ⊥BC, 垂足为E. 在Rt △BDC 中, ∠BDC=90°, ∠DCB =30°,BC=2,得BD=1,CD=

,

- 3 -

所以DE=CDsin 30°=,

OE=OB-BE=OB-BDcos 60°=1-=,

所以点D 的坐标为(0,-, ).

探究创新

13. 直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AC=2,CB=CC1=4,E、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点. 如图建立空间直角坐标系

.

(1)在平面ABB 1A 1内找一点P, 使△ABP 为正三角形;

(2)能否在MN 上求得一点Q, 使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形? 若能, 请求出点Q 的坐标; 若不能, 说明理由.

解:(1)因为EF 是AB 的中垂线, 在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A,B 两点的距离相等, 设点P 坐标为(1,2,z),由|PA|=|AB|,得

=

所以z =15.

因为z ∈[0,4],所以z=

,

) 使得△ABP 为正三角形.

2

,

故平面ABB 1A 1内的点P(1,2,

(2)设MN 上的点Q 坐标为(0,2,z), 因为△AQB 为直角三角形, 所以|QF|=|AB|.

即

=,

整理, 得=, 所以z =4.

2

因为z ∈[0,4],所以z=2.

故MN 上的点Q(0,2,2)使得△AQB 为直角三角形.

- 4 -