叠加原理在物理学中的应用

目 录

引言 ................................................................ 1 1叠加原理在电磁学中的应用 .......................................... 1 1.1电场强度的分析计算 ............................................... 1 1.2磁感应强度的分析计算 . ............................................. 3 1.3叠加原理的应用技巧 ............................................... 3 2根据叠加原理计算线性电路的电流电压 .................................. 4 3叠加原理在数学物理问题中的应用 ...................................... 6 3.1弦的自由振动 ..................................................... 6 3.2弦的受迫振动 ..................................................... 6 4叠加原理在波动光学中的运用 .......................................... 7 5叠加原理在量子力学中的应用 .......................................... 9 6叠加原理的数学基础 ................................................ 10 结束语 ............................................................. 11 参考文献： ......................................................... 12 英文摘要. . ......................................................... 12 致谢 ............................................... 错误！未定义书签。

叠加原理在物理学中的应用

摘 要：叠加原理是物理学中的基本原理之一, 对物理学的研究起着极其重要的作用。但

在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理, 只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时, 才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述, 以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等, 最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。

关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程 引言

所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和[1]。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。

1叠加原理在电磁学中的应用

电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题简化[1]。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方向的标量叠加。 1.1电场强度的分析计算

大家熟知，一个半径为R ，带电量为q 的均匀带电圆环[2]，可以看成许许多多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向

ˆ）（k ，根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化

成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为

E =

qz 4πε0(R 2+z 2)

ˆ (1.1) k

若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得

U =

14πε0

2

q z +R

2

(1.2)

我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的

1

灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的圆弧在其中心

4

点产生的电场强度为

E =

其中η为电荷线密度，如图所示：

ηˆηˆ

i -j (1.3) 4πε0R 4πε0R

则均匀带电半圆环y 轴分量相互抵消，中心点的E =

ηˆ

均匀带电圆环E 为i ；

2πε0R

零，由公式（1.1）令z=0同样得E =0。

若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为

σz E =(1-) (1.4)

222ε0R +z

若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示，

⎧1ηdl

ˆr (η为电荷线密度E =e ) ⎪⎰l r 24πε0⎪

⎪1σdS

ˆr (σ为电荷面密度E =e ) （1.5） ⎨2⎰⎰S 4πε0r ⎪

⎪1ρdV

ˆr (ρ为电荷体密度E =e ) ⎪2⎰⎰⎰V 4πε0r ⎩

1.2磁感应强度的分析计算

无穷长导线载有电流I ，在中间弯成一半径为R 的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O 的磁

感应强度B 等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度[3]的叠加。根据Biot-Savart 定律和对称性，两段直线电流在O 点产生的磁感应强度大小相等，方向相同，都沿图中z 轴方向。每一段所产生的B 1大小为

B 1=⎰

∞

μ0IR ∞dl

=

4π⎰0(l 2+R 2) 4π(l 2+R 2) 2+R 2

R

μ0Idl

⎤μIR ⎡μ0I l

=0⎢=⎥

4π⎣R 2l 2+R 2⎦l =04πR

l =∞

（1.6）

半圆电流在O 点产生的磁感应强度B 2方向沿x 轴负方向。其大小为

B 2=⎰

πR

μ0Idl μ0I μ0I

=⋅πR = （1.7）

4R 4πR 24πR 2

于是得所求的磁感应强度为

μ0I ˆμ0I ˆμ0I ˆ2ˆˆ-B i ˆB =2B 1k =i -k =(i -k ) （1.8） 2

4R 2πR 4R π

B 与x 轴的夹角为

θ=π-arctan

2

π

（1.9）

类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。

1.3叠加原理的应用技巧

电偶极矩为p =q l 的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐

标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知

识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P 点产生的电场强度E ，看成是两个相

互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为p 1和p 2）在P 产生的电场强度E r 和E 的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。

如图所示，P 点到电偶极子中心的距离为r,r 与l 的夹角为θ, 其中

p 1=p cos θp 2=p sin θ

(1.10)

这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线

上的场强公式进行计算。

其中延长线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为

E =

2rP 12P

≈ (1.11)

4πε02l 224πε0r 3

(r -)

41

中垂线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为

E =-

P 1P

≈- (1.12) 3

4πε02l 234πεr 0

(r +) 2

41

电偶极矩为p 1的电偶极子在P 点产生的电场强度E r 沿r 方向上，大小为

E r =

2p 12p c o s θ

(1.13) =33

4πε0r 4πε0r 1

电偶极矩为p 2的电偶极子在P 点产生的电场强度E θ沿垂直r 方向上，大小为

E θ=

P 点的合成电场强度E 的大小为

p 2p sin θ

(1.14) =33

4πε0r 4πε0r 1

E =E r 2+E θ2=

p 4πε0r

3

4cos 2θ+sin 2θ=

p 4πε0r

3

3cos 2θ+1

(1.15)

E sin θ1

E 与r 的夹角为α=arctg θ=arctg =arctg (tg θ) (1.16)

E r 2cos θ22根据叠加原理计算线性电路中的电流电压

求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一

些有几个电源共同作用的线性电路[4]，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。应用叠加原理时，各支路的电流(或电压) 等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压) 的代数和(叠加) 。考虑任一独立源单独作用下, 其它独立源应视为零值, 即独立电压源用短路代替, 独立电流源用开路代替, 而全部受压源则应该保留。应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号[5]。用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。

若计算如图2.1所示电路中各支路电流。已知E 1=10V，E 2=6V，R 1=10Ω ，

R 2=90Ω，R 3=0.1Ω，R 4=0.2Ω。通常由基尔霍夫方程联立求解：

⎧I 1-I 2+I 3=0

⎪

（2.1） ⎨I 1(R 1+R 4) +I 2R 2=E 1

⎪I R +I R =E

332⎩22

得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多 的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。

（a ）

3

I R 3 （c ）

（b ）

图2.1 原电路及电源单独作用时的电路

而由叠加原理，E 1和E 2单独作用时的电路，如图2.1（b ）、（c ）所示。根据图（b ）可由电路欧姆定律求得E 1单独作用时各支路的电流，即

'

I 1=

E 1

R 4+R 1+

R 2⨯R 3R 2+R 3

=

10

=0. 97A （2.2）

90⨯0. 1

0. 2+10+

90+0. 1

"

根据图（c ）可由欧姆定律得I 3=0. 647A

由分流公式求得E 2单独作用时各支路的电流，即

"I 1=

R 290"

（2.3） I 3=⨯0. 647=0. 581A

R 1+R 4+R 210. 2+90

'"

由叠加原理得： I 1=I 1-I 1=0. 97-0. 581=0. 389A （2.4） '"

同理可求得： I 2=I 2+I 2=0. 067A

"'

I 3=I 3-I 3=-0. 322A （2.5）

由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。 3叠加原理在数学物理问题中的应用 3.1弦的自由振动

研究两端固定的均匀弦的自由振动[5]，即定解问题

泛定方程 u tt -a 2u xx =0 （3.1） 边界条件 u |x =0=0 初始条件 u |t =0=ϕ(x )

u |x =t =0 （3.2） u |t =t =ψ(x ) （3.3）

利用分离变量法令u (x , t ) =X (x ) T (t )

n πat n πat n πx

+B n sin ) sin 可得u (x , t ) =(A n cos ，（n=1,2,3,„） （3.4） l l l

以上是满足振动方程和边界条件的线性独立的特解，由于方程和边界条件都是线性齐次的，本征振动的线性叠加

u (x , t ) =∑(A n cos

n =1∞

n πat n πat n πx

（3.5） +B n sin ) sin

l l l

仍然满足方程和边界条件，这就是一般解，其中A n 和B n 为任意常数，由初始条件确定，

2l n πξ

A n =傅立叶系数ψn =⎰ϕ(ξ) sin d ξ

l 0l

l l 2n πξ

B n =⋅傅立叶系数ψn =ψ(ξ) sin d ξ

n πa n πa ⎰0l

（3.6）

至此，定解问题已解决。 3.2弦的受迫振动

若受外力作用的受迫振动[6]，其泛定方程为

u tt -a 2u xx =f (x , t ) （3.7）

为了研究方便设弦的初位移、初速度均为零，只受外力的扰动，定解条件为

u |x =0=0, u |t =0=0,

u |x =l =0u |t =τ=0

（3.8）

由（3.7）表明，作用在每单位长弦上的外力为

（3.9） F (x , t ) =ρf (x , t )

根据叠加原理，把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力的叠加，从时刻零持续作用到时刻t 的振动，就等于“瞬时”力引起的振动的叠加，每个“瞬时”力作用时间为［τ, τ+d τ］，作用在x 点的冲量为F (x , t ) d τ，可用δ函数表示“瞬时”力为F (x , t ) δ(x , t ) d τ，那么我们就得到F (x , t ) =⎰ρf (x , t ) δ(x , t ) d τ

0l

则（3.7），（3.8），（3.9）的定解问题就转化为

⎧V tt -a 2V xx =f (x , t ) δ(x , t )

⎪

V |x =l =0 ⎨V |x =0=0

⎪V |=0V t |t =0=0⎩t =0

（3.10）

V (x , t , τ) 的定解问题可以这样求出，“瞬时”力ρf (x , t ) δ(x , t ) 在时刻τ+0（比τ略大

的时刻）以后不起作用，这样，“瞬时”力的作用只视为使系统带有一个冲量，这个冲量使系统初速度不再为零，定解问题为：

⎧V tt -a 2V xx =O ⎪

⎨V |x =0=V |x =l =0 V |t =τ+0=0 ⎪V |

⎩t t =τ+0=f (x , t )

（3.11）

原定解问题已化为齐次方程可用分离变量法或傅立叶级数法求解。这种方法用到冲量定理所以又叫冲量定理法。

若初始条件不为零，可利用叠加原理，把u 分解为u I 和u II 之和，其中u I 的初始条件是非零值，但方程是其次的，可用分离变量法求解；u II 的方程是非齐次的，但初始条件为零值，可用冲量定理法求解。

求解拉普拉斯[6]方程时，利用分离变量法把偏微分方程分解为几个常微分方程，自变量各自分离开来，另代入齐次边界条件把其转化为常微分方程的附加条件，这些条件和相应的常微分方程构成本征问题，求得线性独立的特解。所求确定解为本征特解的叠加，最后利用初始条件确定叠加系数。求解泊松方程时，可任取方程的一个特解v ，然后令u=v+w，这就把问题转化成求解w, 而∆w =∆u -∆v =∆u -f =0这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。

4叠加原理在光学中的运用

光的波动满足的方程波动方程是线性方程，因此光波也遵从叠加原理，当几个波相遇时, 在相遇处的总位移是它们各自独立在该处所产生的位移的矢量和。两个可能的波动过程线性叠加也是一个可能的波动过程, 叠加以后有些区域振动加强, 有些区域振动减弱, 利用光波叠加原理可在理论上解释光的干涉、衍射现象[1]，验证单色波叠加所形成干涉图样等。

用波的叠加原理说明波的干涉现象如图所示：

有两个相干波源，位于S 1和S 2点，发出的波在空间任一点P 相遇时，P 点上的质元振动可由波的叠加原理来计算．这两列波到达P 点时的振幅分别变为A 1，A 2，则P 点参与的两个同方向、同频率的分振动分别为

⎡⎛r ⎫⎤2πr 1⎫⎛

y 1=A 1cos ⎢w t -1⎪+ϕ1⎥=A 1cos wt +ϕ1-⎪ (4.1)

u λ⎭⎝⎭⎣⎝⎦⎡⎛r ⎫⎤2πr 2⎫⎛

y 2=A 2cos ⎢w t -2⎪+ϕ2⎥=A 2cos wt +ϕ2-⎪ (4.2)

u ⎭λ⎭⎝⎣⎝⎦u 为波速．由同方向、同频率振动的叠加可得P 点的合振动为

s (+ϕ) (4.3) y =A c o wt

2

A =A 12+A 2+2A 1A 2cos(ϕ1-ϕ2-2π

r 1-r 2

λ

)

) (4.4)

tan ϕ=

(4.5)

2r 12r 2

A 1cos(ϕ1-) +A 2cos(ϕ2-)

λλ

A 1sin(ϕ1-

2πr 1

) +A 2sin(ϕ2-

2πr 2

A 1、A 2为两列相干波在P 点引起的两个分振动的振幅为定植，故P 点的合振动振幅A 只取决于两个分振动的相位差ϕ12，即

r -r ϕ12

12=ϕ1-ϕ2-2π

λ

(4.6)

其中，ϕ1-ϕ2和r 1-r 2是恒定的，所以ϕ12为一恒量．这就表明，每一点的合振幅A 亦是恒量，其量值则取决于该点在空间的位置(由r 1-r 2确定) 。 若ϕ12=ϕr 2

1-ϕ2-2π

r 1-λ

=2k π k =0, ±1, ±2 (4.7)

则该点合成振动的合振幅最大, A =A 1+A 2，即干涉加强； 若ϕ12=ϕ1-ϕ2-2π

r 1-r 2

λ

=(2k +1) π k =0, ±1, ±2 (4.8)

则该点合振动的合振幅最小， A =A 1-A 2，即干涉减弱． 5叠加原理在量子力学中的应用

在量子力学中用态函数[7]描写一个物理系统的状态，基本运动方程薛定谬方程是齐次的线性微分方程, 具有叠加性。即态叠加原理[8]： 态ψ可以表示为两个态ψ1，ψ2，⋯ψn ⋯的线性叠加，即

ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+⋯+c n ψn ⋯=∑c n ψn （5.1） n

其中c 1, c 2, ⋯c n , ⋯为复数。这时态叠加原理表述如下：当ψ1，ψ2，⋯ψn ⋯是体系的可能状态时，它们的线性叠加ψ也是体系的一个可能状态；也就是说，当体系处于态ψ时，体系部分地处于态ψ1，ψ2，⋯ψn ⋯中。确定的运动条件得到不确定的测量结果，而得到每一测量结果的几率又是确定的，叠加原理正是这一特征的高度概括和反应。通过量子力学中关于状态的态叠加原理可验证微观粒子的波动性[8]。

粒子的双狭缝衍射实验，以ψ1、ψ2分别表示粒子穿过上下面狭缝到达屏 B 的状态, 用ψ表示粒子穿过两个狭缝到达屏B 的状态, ψ可以写ψ1写成ψ2线性叠加, 即

ψ=c 1ψ1+c 2ψ2 ( c 1, c 2为复数) 据叠加原理, 粒子在屏 B 上一点 P出现的几率密

度是:

|ψ|2=|c 1ψ1+c 2ψ2|2

=(c 1ψ1+c 2ψ2*)(c 1ψ1+c 2ψ2)

=|c 1ψ1|2+|c 2ψ2|2+c 1c 2ψ1*ψ2+c 1c 2*ψ1ψ2*

上式右边第一项是粒子穿过上狭缝出现在P 点的几率密度, 第二项是粒子穿过下狭缝出现在P 点的几率密度, 第三、第四项是ψ1和ψ2 的干涉项。衍射图样的产生证明了干涉项的存在。

6叠加原理的数学基础

如上述物理学中的许多现象都遵从叠加原理, 而这些现象大都分别满足下列的常微分或偏微分方程，且这些微分方程都是线性微分方程[9]，因此可推断具有叠加性的物理现象对应的数学模型都应是线性方程，也就是只有描述的系统是线性系统，才可以用叠加原理分析讨论。大量的物理事实验证了这一推论的正确性。从数学理论[10]来看, 数学问题的线性性质正是相应物理现象服从叠加原理这一事实的反映, 也就是线性微分方程的解应具有叠加形式的解。

（1）电磁场方程

由麦克斯韦方程组知： **** （5.2）

ρ0 ∇⋅E =（其中ρ0为自由电荷体密度） （6.1）ε0

∇⋅B =0 （6.2） 又因为E =-∇U 则电势满足泊松方程

∆U =-ρ0 （6.3） ε0

若在没有自由电荷的地方，电势满足拉普拉斯方程

∆U =0 （6.4）

可见（6.1）、（6.2）式为一阶线性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式为二阶线性偏微分方程，即静电场、静磁场的数学模型是线性的。

（2）线性电路方程

如图2.1的直流线性电路，由电路分析的基本定律基尔霍夫定律列出的方程

是线性代数方程，若为交流动态涉及储能元件C 、L 的电路，由基尔霍夫定律列出的方程是一阶线性常微分方程，如最简单的RC 串联电路的放电过程，如图6.1，

列出的方程： RC du c +u c =0 （6.5） dt 为一阶线性常微分方程。

图6.1 RC 串联电路

（3）波动方程

具有波动特征的物理系统满足的方程为

（6.6） u n -a 2∆u =f （有外力作用）

（6.7） u n -a 2∆u =0（无外力作用）

像弦的横振动、杆的纵振动、膜的振动等等都满足上面的二价偏微分方程。

（4）薛定谔方程

量子力学中用态函数描述一个物理系统，满足的方程是薛定谔方程：

∂ψ(r , t ) 2

2 i =-∇ψ(r , t ) +V (r ) ψ(r , t ) （6.8）∂t 2μ

为齐次线性偏微分方程。

可以把（6.1）—（6.8）式写为统一形式

Ly =f （6.9）

其中微分算子L 是线性算子，y 是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L 是线性的条件，排除了诸如把y 的导数平方那样的运算；但允许取y 的二阶导数。因此，线性微分方程的一般形式[10]是

y (n ) +a 1y (n -1) +a 2y (n -2) + a n y =f (x ) (6.10)

如果f (x ) =0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果a i 是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

7结束语

以上的讨论, 都是叠加原理在不同问题上的应用。但是在应用叠加原理分析问题时, 必须考虑描写物质运动的微分方程是否是线性方程, 因为叠加原理只能用于描写物质运动的微分方程是线性方程的情况, 如果不是线性方程, 则不能用叠加原理进

行分析计算。上面电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、电路分析、数理方法中弦的振动的求解和光的波动特点的描述, 以及量子力学中态叠加原理及相关问题的讨论计算等等之所以能应用叠加原理分析计算，正是因为其基本运动方程都是线性的，而物理学中的许多定律、公式、多属于线性方程, 因而叠加原理在物理学有极为广泛的应用。

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[10]同济大学数学系. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007,294-341.

The Application Of Superposition In Physics,

Abstract ：The principle of superposition is one basic principles in physics, which is widely used in the physics research and play a vital role .But the principle of

superposition is not a universal principle, only then works as when the description motion of matter the differential equation is the linear equation and only then may carry on the analysis, the computation using the principle of superposition. For

example, electric-field intensity's computation, the magnetic induction intensity's computation, the mathematical method some question's solution, the circuit analysis and the electromagnetism fluctuation characteristic's description, as well as quantum mechanics condition principle of superposition and related question's discussion

computation and so on, may apply the principle of superposition simplification questions nimbly.

Keywords : principle of superposition ;application;mathematical foundation; the linear equation