高中数学难题集13

高中数学难题集13

1、设方程2-x =lg x 的两个根为x 1, x 2，则下列结果正确的是( ) A. 0

B.x 1x 2=1 C.x 1x 2>1 D.x 1x 2

解：不妨设0

11

() x 1>() x 2⇒lg x 1>lg x 2⇒-lg x 1>lg x 2⇒lg x 1+lg x 2

2、已知函数f (x ) =ln x -px +1(p ∈R ) ．若对任意的x >0，恒有f (x ) ≤p 2x 2， 求实数p 的取值范围．

解：记g (x ) =ln x -px +1-p 2x 2≤0恒成立，则g '(x ) =当p =0时，g (x ) =ln x +1, g (e ) >0不符合条件

11当p >0时，g (x

) 的最大值为g ( ) =-ln(2p ) +≤0⇒p ≥

2p 4-1

当p

p

(px +1)(2px -1)

-x

综上p

的取值范围是(-∞, -e ] 注：本题难以分离参数求解。

+∞) 3、设函数g (x ) 是R 上的奇函数，且当x

⎧x 3

函数f (x ) =⎨

⎩g (x )

(x ≤0), (x >0),

，若f (2-x 2) >f (x ) ，则实数x 的取值范围是解：当x 0时g (x ) 也是单调递增，

2

由于f (x ) 为R 上连续函数，故f (x ) 在R 上单调递增，故2-x >x ⇒x ∈(-2,1)

注：本题若在解析式上面纠缠，分四种情况讨论，那么计算量将会较大。

4、函数f (x ) =

ax -1⎡1⎤

. 若对任意t ∈,2⎥， f (t ) >t 恒成立，求实数a 的取值范围．

⎢e x ⎣2⎦

1⎡1⎤x

时a >e +=g (x ) 恒成立 ,2⎢x ⎣2⎥⎦

解：分离参数变形知：x ∈而g '(x ) =e -

x

111'''[,2]有唯一零点m g () 0g (x ) 递增，且，，故在

2x 22

且g (x ) 在[, m ]上单调递减，在(m ,2]上单调递增，

1

2

故g (x ) ⎧1max =max ⎨g (), g (2)⎬⎫=e 2+

11⎩

2

⎭

2

，∴a >e 2

+2

5、设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 ①a 2+b 2>c 2+h 2， ②a 3+b 3

， ③a 4+b 4>c 4+h 4， ④a 5+b 5

. 其中正确结论的序号是 ；

解：设三角形的一个锐角为α，则a =c sin α, b =c cos α, h =c sin αcos α 故(a n +b n ) -(c n +h n ) =c n (sinn α-1)(1-cos n α) 0成立。 故正确的序号为②④

注：本题以角为变量将计算量降到最小。否则c =h =

，较繁琐。

6、已知a >0且a ≠1, 若f (x ) =x 2

-a x

, ∀x ∈(-1,1) ，f (x )

2

, 求a 的取值范围。 解：等价于当x ∈(-1,1) 时，y =x 2-12

的图像全部在y =a x

图像的下方。 画图分析知a ∈⎢⎡1,1⎪⎫⎣2⎭

(1,2]

x

7、设函数f (x ) =log 1x ⎛1⎫

4x -(4) 、g (x ) =log 1x - ⎪的零点分别为x 1, x 2，则( 4

⎝4⎭ A. 0

C. 1

D. x 1x 2≥2

解：数形结合，画图分析可知选择A

8、已知f (x )=x 3

-3x 2

，求值：f

⎛1⎫

⎝2012⎪⎭+f ⎛ 2⎫

f ⎛ 4022⎫

⎛4023⎫⎝2012⎪⎭+... +⎝2012⎪⎭

+f ⎝2012⎪⎭解：由f (x ) +f (2-x ) =-4知所求值为-4⨯2011+(-2) =-8046 注：任意三次函数均为中心对称图形，其对称中心即为其拐点。

)

9、已知函数对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0，则称x 0是f (x ) 的一个不动点，已知函数f (x ) =ax 2+bx +(b -1)(a ≠0)

（1）对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若y =f (x ) 的图象上A , B 两点的横坐标是f (x ) 的不动点，且A , B 两点关于直线y =kx +

12a 2+1

对称，求b 的最小值．

解：（1）由已知∆=b 2-4a (b -1) =b 2-4ab +4a >0对b ∈R 恒成立，

∴(4a ) 2-16a

x 1+x 2b 1

=-，由题知k =-1，y =-x +， 22a 2a 2+1

b b 1b b 1, +2) ，∴-=+2设A , B 中点为E ，则E 的横坐标为(-，

2a 2a 2a +12a 2a 2a +1

（2）由已知得∴b =-

a 2a 2+1

=-

12a +

1

a

≥-

b

的最小值为

4>恒成立，解：易知f (x ) 单调递增，等价于即y =x +x ln x 的图像在y =k (x -1) x -1x

的上方，求导知y =x +x ln x 单增且下凸，故它们相切时的斜率k 0为临界值，k

11、如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 则平面ACD 1截球O 1BC 11D 1的内切球，的截面面积为

A

B

D A 1

· O

C 1

C 1

解：显然截面为圆，只需求出圆的半径r ，设球的半径为R ，球心到截面的距离为h ，则：

r =R =

1，利用体积法可以求出点B

到截面的距离为h ' =，

23

显然h =

π1，故r ==，故截面面积为 h ' =

6212、如图，已知抛物线C ：y 2=2px 和⊙M ：(x -4) 2+y 2=1，过抛物线C 上一点

H (x 0, y 0)(y 0≥1) 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，

圆心点M 到抛物线准线的距离为

（1）求抛物线C 的方程；

（2）当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；

17

． 4

（3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．

解（1）抛物线C 的方程为y 2=x ．

（2）当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，k HE =-k HF ，设E (x 1, y 1) ，F (x 2, y 2) ， ∴

y H -y 1y -y 2y H -y 1y H -y 2

，∴ 2，故y 1+y 2=-2y H =-4． =-H =-22

x H -x 1x H -x 2y H -y 12y H -y 2

y 2-y 1y 2-y 111

．- =2==-2

x 2-x 1y 2-y 1y 2+y 14

k EF =

22

（3）设H (y 20, y 0) ，则切点弦AB 的方程为(4-y 0) x -y 0y +4y 0-15=0，

令x =0，可得t =4y 0-

15

(y 0≥1) ，∴t min =-11．

y 0

13、设f (x ) =

a

+x ln x , g (x ) =x 3-x 2-3. x

（1）如果存在x 1, x 2∈[0,2], 使得g (x 1) -g (x 2) ≥M 成立, 求满足条件的最大整数M ;

（2）如果对任意的s , t ∈[, 2], 都有f (s ) ≥g (t ) 成立, 求实数a 的取值范围.

解：（1）等价于:[g (x 1) -g (x 2)]max ≥M , 求导分析知：

1

2

285

g (x ) min =g () =-, g (x ) max =g (2)=1,

327

112

[g (x 1) -g (x 2)]max =g (x ) max -g (x ) min =, 故最大整数M =4;

27a

（2）等价于f (x ) ≥g (x ) max 恒成立，即+x ln x ≥1恒成立

x

分离参数得a ≥x -x 2ln x =h (x ) ，h '(x ) =1-2x ln x -x 单调递减，试根得h '(1)=0 故h (x ) 在(,1) 递增，在(1,2) 递减，故h (x ) max =h (1)=1 所以a ≥1

14、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满足

12

⎛π⎫⎛π⎫

cos 2A -cos 2B =2cos -A ⎪cos +A ⎪

⎝6⎭⎝6⎭

（1）求角B 的值； （2）若b =

1

3且b ≤a ，求a -c 的取值范围．

2

2

2

解：（1）

由已知2sin B -2sin A =2(cos A -

3

4

2

12π2sin A ) ⇒sin B =⇒B =或π 433

（2

）a -

1πc =A -) ∈ 262

注：由a ≥b ⇒A ≥B ⇒B =

π

π2

, A ∈[, π) 333

11

15、如果关于x 的不等式f (x )

b a

这两个不等式为“对偶不等式”

，如果不等式x 2-cos2θ+2

2x 2+4x sin 2θ+1

解：设第一个不等式解集的端点为x 1, x 2，则第二个不等式解集的端点为

π

11

, ，则：

x 1x 2

⎧11

+=-2sin 2θ⎪⎧x 5⎪x 1+x 2=2θ⎪1x 2

θ=π 且，联立解出⎨⎨

6111x 1x 2=2⎪⎩⎪⋅=

⎪x 1x 22⎩

ln 2ln 3ln 4ln 5ln n 1

⨯⨯⨯⨯

1n -1

证明：设a 1a 2⋅⋅⋅a n -1=⇒a n -1=

n n

ln n n -1

注：此类问题也可以考虑数学归纳法，和逐项比较原理相同。

17、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0, p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）

相交于A 、B 两点。

（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； （2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

解：（1）设出直线AB 方程，与抛物线联立之后，结合韦达定理知：

S ∆ABN =S ∆BCN +S ∆ACN =

1

⋅2p x 1-x 2＝p x 1-x 2=p (x 1+x 2) 2-4x 1x 2 2

22222

＝p 4p k +8p =2p k +2. 当k =

0时面积最小值为2

（2）假设存在y =a 满足条件，设AC 的中点为O ', l 与AC 为直径的圆相交于点P , Q ，

PQ

的中点为H ，则O 'H ⊥PQ , O '点的坐标为（

x 1y 1+p , ） 22

O 'P =

111

AC ＝y 12+p 2. O 'H =2a -y 1-p

222

1p 2221

∴PH =O 'P -O 'H =(y 12+p 2) -(2a -y 1-p ) 2＝(a -) y 1+a (p -a ),

442p 2p ⎡⎤

∴PQ =(2PH ) 2=4⎢(a -) y 2+a (p -a ) ⎥. ，当a =时PQ =p 为定值，

22⎣⎦

故满足条件的直线存在，其方程为y =

18、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮

球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为

解：根据对称性球心在四棱锥的高上，设球心到底面中心的距离为h ，则结合相似三角形：

p

， 2

⎧h 2+100=r 2

⎧r =10⎪

⎨h ⇒⎨h =0，故皮球半径为10cm

=⎩20注：由于不知道球心在锥的内部还是外部，故球心到顶点的距离表示为h

19、在△ABC 中，（AB -3AC ) ⊥CB , 则角A 的最大值为 。

解：由已知:(AB -3AC ) ⋅CB =(AB -3AC ) ⋅(AB -AC ) =0，展开化简得：

π3b 2+c 2π

cos A =≥=⇒0

64bc 4bc 26

20、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )。若将方程f (x )=0在闭区间

[-4,4]上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 5

解：在已知式子中取x =-2得：f (0)=-f (-2) =f (2)=0，

在已知式子中取x =2代入：f (4)=-f (2)=0⇒f (-4) =0 从而方程f (x )=0至少有五个根：{0,2, -2,4, -4}，选择D

注：若定义在R 上的奇函数f (x ) 周期为T ，则至少有f () =0, f (T ) =0, f (0)=0

21、函数f (x )的定义域为D, 若对于任意x 1, x 2∈D, 当x 1

T 2

⎛x ⎫1

⎪=f (x )；③f (1-x )=1-f (x )，3⎝⎭2

则f ⎪+f ⎪的值为 。

⎛1⎫

⎝3⎭⎛1⎫⎝7⎭

解：在已知式中赋值得：f (1)=1, f () =

12111111, f () =，故当x ∈[, ]时f (x ) ≡ 232322

1131

f () =f () =，故7274

⎛1⎫

f ⎪+⎝3⎭⎛1⎫113f ⎪=+= ⎝7⎭244

9) 10

注：能否求出f (x )在[0,1]上的任意值，比如f (

22、已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB +PC +2PA =0，现将一粒黄豆随机撒在△

ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是

1 2

注：若P 是△ABC 所在平面内一点，xPB +yPC +zPA =0，则有重要公式：

解：由于S ∆PAC :S ∆PAB :S ∆PBC =1:1:2，故所求概率为

S ∆PAC :S ∆PAB :S ∆PBC =x :y :z

x 2y 2

23、已知F 为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，

a b

则以线段PF 为直径的圆与圆x +y =a 的位置关系是（ ）

A ．相离

B ．相切

C ．相交

2

2

2

D ．不确定

解：利用中位线及几何关系知两个圆外切，选择B

x 2y 2

24、从双曲线2+2=1(a >0, b >0) 的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，

a b

延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO -MT 与

b -a 的关系为（ ）

A. MO -MT >b -a B. MO -MT

25、等比数列{a n }中，a 1=2, a 8=4，函数f (x ) =x (x -a 1)(x -a 2) ⋅⋅⋅(x -a 8) ，求f '(0) 解：等价于求展开式中x 的系数，即a 1a 2⋅⋅⋅a 8=84=212

26、已知O 是锐角△ABC

的外接圆圆心，tan A =则m =________．

cos C cos B

，若 AB +AC =2mAO ，

sin C sin B 2

解：对AO ⋅AB 算两次得：设AB 中点为D ，则OD ⊥AB ，即DO ⋅AB =0

12

首先AO ⋅AB =(AD +DO ) ⋅AB =AD ⋅AB =c

2

1cos B cos C 1cos B 2cos C

(AB +AC ) ⋅AB =(c +bc cos A )

其次AO ⋅AB =

2m sin C sin B 2m sin C sin B

将两种算法等起来整理化简得m =sin A =

27、设f (x ) =2x -+x -2a ．当x ∈1,2时f (x ) ≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：此时f (x ) =2x -1+x -2a ≤3⇒x -2a ≤4-2x ⇒2x -4≤x -2a ≤4-2x

[]

4-x ⎧a ≤⎪⎪2

分离参数得：⎨恒成立，故1≤a ≤1，只有a =1

3x -4⎪a ≥⎪⎩2

注：本题若直接转化为f (x ) max ≤3则较为繁琐。

28、若函数f (x ) =log a (x 3-ax ) (a >0, a ≠1) 在区间(-解：首先由定义域知：x -ax >0恒成立⇒a >

3

1

, 0) 内单调递增，求a 的范围 2

1 4

13x 2-a

其次由单调递增知f '(x ) =3≥0在(-, 0) 上恒成立

2(x -ax )ln a

23

当a >1时，ln a >0，x -ax >0，只需3x -a

()

min

≥0，即a ≤0，矛盾；

23

当1>a >0时，ln a 0，只需3x -a

()

max

≤0，解得

3

≤a

综上a ∈[,1)

29、设f (x ) =(a -) x +ln x . 在区间（1，+∞）上函数f (x ) 的图象恒在直线y =2ax 下方，求实数a 的取值范围．

解：等价于f (x )

3

4

12

2

12

2

g '(x ) =

(x -1)[(2a -1) x -1]

，

x

若2a -1=0，则g (x ) 单调递减，g (x )

111≤0，解得-≤a

若2a -1>0，则g (x ) max =g (+∞) =+∞，与g (x )

11

, ] 22

注：第三种情况的精确推理如下：取x 0=max ⎨则g (x 0) =

⎧4a ⎫

,1⎬>1， 2a -1⎩⎭

1

x 0[(2a -1) x 0-4a ]+ln x 0≥0，这与g (x )

π⎧

⎪0≤x ≤, z =x +2y ，则z 的取值范围是． 30、若⎨2⎪sin x ≤y ≤cos x , ⎩

解：画图分析知z min =0，当点(x , y ) 在y =cos x (0≤x ≤此时z =x +2cos x ，求导知当x =

π

4

) 上游走时z 有希望最大。

π

6

时z max =

π

6

+

z ∈[0,

π

6

+

注：本题的可行域如下图所示：

2

-(n -1) b n -2,(n ∈N *) ，

31、设数列{b n }满足：b 1=4，且b n +1=b n

求证：(1+

1111

)(1+)(1+) (1+)

证明：可以用数学归纳法证明：当n ≥2时b n >n +1；原不等式等价于

∑ln(1+

i =2

n

11

)

由于ln(1+

111

，叠加即可获证。 )

b n b n +1b n b n +1(n +1)(n +2)

32、已知函数f (x )=

sin πx

．对于下列命题：22

x +1x -2x +2① 函数f (x )是周期函数；

② 函数f (x )既有最大值又有最小值；

③ 函数f (x )的定义域是R ，且其图象有对称轴；

④对于任意x ∈(-1,0) , f '(x )

1sin(π-πx )

x =f (x ) =f (x ) ，故的对称轴为；

2(x 2-2x +2)(x 2+1)

设a =x , b =1-x ，显然a +b =1，且t =ab ≤

2

2

22

2

1

4

22

2

分母=(a +1)(b +1) =a b +[(a +b ) -2ab ]+1=a b -2ab +2=t -2t +2≥

25 16

从而f (x ) ≤得最大值。

161

，仅当x =时取等号，故f (x ) 不是周期函数，否则f (x ) 在无数个地方取25212

32

161

显然当x ∈[, 2]时连续函数f (x ) 具有最小值f (x 0) ，且f (x 0) ≤f () =-当x >2时易知f (x ) >-

11

，故当x ∈[, +∞) 时f (x ) min =f (x 0) 102

由对称性f (x ) 在R 上的最小值为f (x 0)

当x ∈(-1,0) 时t =x (1-x ) ∈(-2,0) ，且t (x ) 单调递增，而分母=g (t ) 在(-2,0) 单调递减 故f (x ) 分母为减函数，但是分子先减后增，故f (x ) 不是单调函数。 综上真命题为②③

111

++⋅⋅⋅+n

111

证明：设a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =1+++⋅⋅⋅+n ; b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =n

232

111

+n -1+⋅⋅⋅+n ; b n =1, 按照逐项比较原理只需证明a n

2+12+22111111

+n -1+⋅⋅⋅+n

2+12+22222

33、证明：1+

34、函数f (x )=ax -3x +1对于x ∈[-1,1]总有f (x )≥0 成立，求a 的取值集合。

3

解：分类讨论加分离参数可破此题，答案为a =4

35、设二次函数f (x ) =ax -4x +c (x ∈R ) 的值域为[0,+∞) ，求

2

19+的最大值 c +1a +9

解：由已知ac =4，且a >0，将目标对称化：设m =9c , n =a ，则本题等价转化为： 已知mn =36，求u =

99

+的最大值，显然m +n ≥12 m +9n +9

u =

69(m +n ) +1629(m +n ) +162456

==1+≤，故所求最大值为

5(m +9)(n +9) 9(m +n ) +1179(m +n ) +1175

注：对称问题结构和谐便于处理，两种重要想法：非齐次问题齐次化，非对称问题对称化。

36、已知函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，若y =阶比增函数”；若y =

f (x )

在(0,+∞) 上为增函数，则称f (x ) 为“一x

f (x )

在(0,+∞) 上为增函数，则称f (x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有2x

“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2. 定义集合

ψ={f (x ) |f (x ) ∈Ω2, 且存在常数k , 使得任取x ∈(0,+∞) , f (x )

请问：是否存在常数M ，使得∀f (x ) ∈ψ，∀x ∈(0,+∞) ，有f (x )

解：先证明f (x ) ≤0对x ∈(0,+∞) 成立：假设∃x 0∈(0,+∞), 使得f (x 0) >0，记当x >x 0时，

f (x ) f (x 0)

>=m ，所以f (x ) >mx 2，这与f (x ) 有界矛盾。 22x x 0

f (x 0)

=m >0 x 02

下面我们证明f (x ) =0在(0,+∞) 上无解： 若存在x 2>0，使得f (x 2) =0，一定存在 x 3>x 2>0，

f (x 3) f (x 2)

>=0，与刚才的结果矛盾 x 32x 22

1

构造f (x ) =-(x >0) ，易知f (x ) ∈ψ，任取k 0使得x >x 0时，有f (x ) >k

x 综上M 的最小值为0

C(A)-C(B),当C(A)≥C(B), 若37、用C(A)表示非空集合A 中元素个数，定义A *B =⎧⎨

⎩C(B)-C(A),当C(A)

A ={1,2},B =x (x2+ax)(x2+ax +2)=0，且A *B =1, 则实数a 的所有取值为

解：等价于B 中有1个或3个元素，注意到0∈B ，故当B ={0}时B 中有1个元素，此时

{}

a =0；当B ={0, -a , m }时B 中有3个元素，其中m 为x 2+ax +2=0的唯一根，此时∆=

0，求出a =±

a ∈0, -

38、已知函数f (x ) 是定义在[-e ,0) (0,e ]上的奇函数，当x ∈(0,e ]时，f (x ) =ax +ln x （其中e 为自然对数的底，a 为常数且a ∈R ）. （1）求函数f (x ) 的解析式；

（2）是否存在负实数a ，使得当x ∈[-e ,0) 时，f (x ) 的最小值是3? 如果存在，求出负实数a ．．的值；如果不存在，请说明理由.

ln |x |1

(x ∈[-e ,0) (0,e ])，求证：当a =-1时，|f (x ) |>g (x ) +. （3）设g (x ) =

|x |2

{

解：（1）f (x ) =⎨

⎧ax -ln(-x ), x ∈[-e ,0)

⎩ax +ln x , x ∈(0,e ]

2

（2）结合导数分类讨论知a =-e

（3）分别考察f (x ), g (x ) 的值域知：f (x ) ≥1，g (x ) ≤注：本题分开讨论函数值域的方法值得借鉴。

39、已知定义在(-∞，-1) (1，+∞)上的奇函数满足：①f (3)=1；②对任意的x >2均有f (x )>0；③对任意的x >0，y >0，均有f (x +1)+f (y +1)=f (xy +1)．

11

，故f (x ) >g (x ) +

2e

（1）求f (2)的值；

（2）是否存在实数a ，使得f cos 2θ+a sin θ

（2）设x 2>x 1>1，则记x 1=1+m , x 2=1+mn ，其中m >0, n >1

()

f (x 2) -f (x 1) =f (1+mn ) -f (1+m ) =f (1+n ) >0⇒f (x 2) >f (x 1) ,

故f (x ) 在(1,+∞) 上递增，由奇函数知f (x ) 在(-∞, -1) 上也递增。

f (3)=1⇒f (5)=2⇒f (9)=3

199

f (9)=3, f (2)=0⇒f (8+1) +f (+1) =f (1+1) ⇒f () =-3⇒f (-) =3

888

9

f (cos2θ+a sin θ)

8

817

记t =sin θ∈(0,1)，则t

t 8t

故1

1717

注：lim(t -) =-∞，故a

t →08t 8t

40、已知数列{a n }满足a 1=a 2=5，a n +1=a n +6a n -1（n ≥2，n ∈N *）， （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）求证：

1111

++ +

解：（1）根据特征方程求得a n =3n -(-2) n

（2）若n 为奇数则

1111

+=n +

a n a n +13+2n 3n +1-2n +1

3

4⨯() n -1

4=

3n +1() n +(3n -2n +1) 3

2

验证知当n =1时上式也成立，故

114+

1111114441++⋅⋅⋅+

注：在放缩时将分子的-1去掉使分子变大，将分母的正项3-2

2

41、已知集合P ={x |a +1≤x ≤2a +1}, Q =x |x -3x ≤10， 若P ⊆Q ，则实数a 的

n n +1

去掉使分母变小。

{}

取值范围是 ．

解：别忘记P =∅的情况，答案为(-∞, 2]

42、已知A 、B 、C 是最大边长为2的∆ABC 的三个内角，

u r ⎛r A -B C ⎫u m = 2sin ,4sin ⎪,|m |=

22⎭⎝

（1）求tan A ⋅tan B 的值；

（2）当∠C 最大时，求∆ABC 的面积。 解：（1）tan A tan B =

3 5

（2）tan C

最大为，此时tan A

=tan B =

5注：由计算知tan C

43、己知x ,

y ∈R

+

值范围是

解：分离参数并齐次化得：k >

=

，其中t =

>0

易知f (t ) =

k >

注：本题也可以使用柯西不等式求解：

2≤(12+32) ⇒

44、己知数列

≤{a }满足a

n +(-1)a n =n , (n ∈N *)，则数列{a n }的前2016项的和的值n +1

n

是___________．

⎧a 4k +2-a 4k +1=4k +1

⎪

解：由已知⎨a 4k +3+a 4k +2=4k +2⇒a 4k +1+a 4k +2+a 4k +3+a 4k +4=8k +6

⎪a

⎩4k +4-a 4k +3=4k +3

故S 2016=

∑(a

k =0

503

4k +1

+a 4k +2+a 4k +3+a 4k +4) =∑(8k +6) =1017072

k =0

503

注：本题整体考虑是关键，没有初始值，无法求出每个具体项。也可人为假设a 1=x ，则：

a 2=x +1, a 3=1-x , a 4=4-x , a 5=x , a 6=x +5, a 7=1-x , a 8=8-x , a 9=x , ⋅⋅⋅

找规律求解。

45、已知数列{a n }，满足a 2=6，

a n +1-a n +11

n ∈N *，求{a n } 的通项公式； =

a n +1+a n -1n

()

解：递推关系变形为∴(n -1) a n +1-(n +1) a n =-(n +1), n ∈N *进一步变形为

a n +1a n 11

-=-，叠加可得a n =2n 2-n

(n +1) n n (n -1) n n -1

a n +1a

-n =m (n )

h (n +1) h (n )

注：处理递推a n +1=f (n ) a n +g (n ) 的通法为将其变形为其中h (n ), m (n ) 可由待定系数法求出，且不唯一。

46、已知函数f (x ) =cos x , x ∈(

π

2

,3π), 若方程f (x ) =a 有三个不同的根，且三个根从小

到大依次成等比数列，则a 的值可能是（ ） A -

1 2

B

2 2

C -

2 D —

22

3π5ππ

-d , +d ，根据它们成等比得d = 226

解：画图分析知可以假设三个根为：

π

2

+d ,

故a =cos(

π

2

+

π

1

) =-，选择A 62

47、已知f (x ) =x 3+bx 2+cx +d 在(-∞,0]上是增函数, 在[0,2]上是减函数， 且f (x ) =0有三个根α,2, β(α≤2≤β) . （1）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围; （2）当|β-α|取最小值时，求f (x ) 的解析式. 解：（1）c =0, b ≤-3, d ≥4

（2）设f (x ) =(x -α)(x -2)(x -β) =x 3-(α+β+2) x 2-2αβ， 对应系数相等知：α+β=-b -2, αβ=-

d

2

∴β-α=

=

=

≥3

当b =-3时取最小值，∴f (x ) =x 3-3x 2+4

48、已知a , b , c 均为正数，求a 2+b 2+c 2+(++) 2的最小值。

21

--111⎫111⎛33解：a +b +c ≥3(abc ) 且++≥3(abc ) ⇒ ++⎪≥9(abc ) .

a b c ⎝a b c ⎭

111

a b c

222

23

2

22

-1112

故a +b +c +(++

) ≥

3(abc ) +9(abc ) ≥=

a b c

2

2

2

故最小值为a =b =c =3时取等号.

注：作为对称轮换式猜测a =b =c =x 时取等号，此时y =

3x +() 最小值为2

2

13x

1

≤2x -3恒成立，求实数a 的取值范围。 a

1

解：等价于f (x ) =a ln x -2x +3-≤0在[1,+∞) 上恒成立。

a a a -2x

x x

1

f (x ) max =f (1)=1-≤0，故a ∈(0,1]

a

49、当x ≥1时，a ln x -

注：本题的关键在于根据f (1)≤0得出a 的粗略范围，为导数符号判断提供了方便。

50、已知函数y =f (x ) 的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x ) =f (x ) -f (x -a ) 都是其定义域上的减函数，则函数y =f (x ) 的图象可能是（ ）

解：等价于g '(x ) ≤0恒成立，即f '(x ) ≤f '(x -a ) 对任意正数a 恒成立， 等价于f '(x ) 在R 上单调递减，即f (x ) 的切线斜率越来越小，选择B