切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
切比雪夫多项式
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切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号T n 表示，第二类切比雪夫多项式用U n 表示。切比雪夫多项式T n 或U n 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。刘维尔微分方程的特殊情形.
目录
1 2 定义
3 从三角函数定义4 以佩尔方程定义5 递归公式6 正交性7 基本性质8 最小零偏差
9 两类切比雪夫多项式间的关系10 例子
11 按切比雪夫多项式的展开式
12 切比雪夫根13 参看参考
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
这些方程是斯图姆-
也可以用母函数表示
第二类切比雪夫多项式
由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于的n
次多项式，这个事实可以这么看：
是:的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表
的幂。
示成用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z ), cosh(z ) 以及他们的反函数，
则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义
切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程
在多项式环R[x ] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007) (http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出
:
递归公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出
:
证明的方式是在下列三角关系式中用
代替
正交性
T n 和U n 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.
第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用T n (cos(θ))=cos(nθ) 便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权
即:
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数
，
和都为次多项式。并且当为偶（奇）数时，它们是关于的偶（奇）函数，在写成关于的多项式时只有偶（奇）次项。
时，
的最高次项系数为
，
时系数为。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的次多项式中
，
在、
及
，
分别在
的其他
个极值点上达到。
对零的偏差最
小，即它是使得
上绝对值的最大值最小的多项式。
其绝对值的最大值为
两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例. 切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前几个第一类切比雪夫多项式是
前几个第二类切比雪夫多项式是
第一类切比雪夫多项式前几阶导数是
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼
.
前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼
.
按切比雪夫多项式的展开式
一个N
次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。
切比雪夫根
两类的n 次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的插值点 . 从三角形式中可看出T n 的n 个根分
别是：
类似地，U n 的n
个根分别是：
参看
切比雪夫节点切比雪夫滤波器
参考
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
取自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=切比雪夫多项式&oldid=28651651”
本页面最后修订于2013年9月18日 (星期三) 08:33。
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