椭圆.双曲线.抛物线典型例题整理

椭圆典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1) 、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0) ，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程．

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

x 2y 2例．求过点(－3,2) 且与椭圆＋1有相同焦点的椭圆的标准方程． 94

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

．

1x 2y 2

+=1的离心率e =，求k 的值． 例2 已知椭圆2k +89

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1. 若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0) ，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

x 2y 22a ＋25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2

的周长．

x 2y 23．设F 1、F 2＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的94

面积．

七、直线与椭圆的位置问题

x 2⎛11⎫+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆2⎝22⎭

解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y -11⎫⎛=k x -⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝

13-2k x +k 2-k +=0． 22

2k 2-2k 由韦达定理得x 1+x 2=． 21+2k

1∵P 是弦中点，∴x 1+x 2=1．故得k =-． 2

所以所求直线方程为2x +4y -3=0．

⎛11⎫解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由题意得 ⎝22⎭(1+2k )x -(2k 222)

⎧x 122+y ，①1=1⎪⎪2

2⎪x 22② ⎨+y 2=1，2⎪③⎪x 1+x 2=1，⎪④⎩y 1+y 2=1.

2x 12-x 22+y 12-y 2=0． ⑤ ①－②得2

1y -y 21将③、④代入⑤得1=-，即直线的斜率为-． 2x 1-x 22

所求直线方程为2x +4y -3=0．

八、椭圆中的最值问题

x 2y 2

+=1的右焦点为F ，过点A 1例 椭圆3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值1612

时，求点M 的坐标． ()

双曲线典型例题

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

⎛15⎫⎛16⎫，5⎪且焦点在坐标轴上． ⎝4⎭⎝3⎭

（2）c =6，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．

（1）过点P 3⎪，Q -

x 2y 2

-=1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线2 164()

三、求与双曲线有关的角度问题。

x 2y 2

-=1的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且例3 已知双曲线916

PF 1PF 2的大小． 1PF 2=32，求∠F

（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

x 2

-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90 ，求例4 已知F 1、F 2是双曲线4

∆F 1PF 2的面积．

分析：利用双曲线的定义及∆F 1PF 2中的勾股定理可求∆F 1PF 2的面积．

五、根据双曲线的定义求其标准方程。

例5 已知两点F 1(-5，0)、F 2(5，0)，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

x 2y 2

-=1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且PF 例 P 是双曲线 1=17，求PF 2的值．6436

六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：

（1）与⊙C ：0) (x +2)+y 2=2内切，且过点A (2，2

（2）与⊙C 1：x 2+(y -1)=1和⊙C 2：x 2+(y +1)=4都外切． 22

（3）与⊙C 1：(x +3)+y 2=9外切，且与⊙C 2：(x -3)+y 2=1内切． 22

抛物线典型例题

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．

（1）x 2=4y （2）x =ay 2(a ≠0)

二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 若直线y =kx -2与抛物线y =8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．

三、求直线中的参数问题

例3（1）设抛物线y =4x 被直线y =2x +k 截得的弦长为35，求k 值．

（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．

四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y =x 上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．

222

椭圆典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1) 、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

x 2y 2例．求过点(－3,2) 且与椭圆＋1有相同焦点的椭圆的标准方程． 94

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1. 若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0) ，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

x 2y 22a ＋25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2

的周长．

x 2y 23．设F 1、F 2＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的94

面积．

七、直线与椭圆的位置问题

x 2⎛11⎫+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆2⎝22⎭

八、椭圆中的最值问题

x 2y 2

+=1的右焦点为F ，过点A 1例 椭圆3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值1612

时，求点M 的坐标． ()

双曲线典型例题

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

x 2y 2

+=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论25-k 9-k

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

⎛15⎫⎛16⎫，5⎪且焦点在坐标轴上． 43⎝⎭⎝⎭

（2）c =6，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．

x 2y 2

-=1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线2 164（1）过点P 3⎪，Q -()

三、求与双曲线有关的角度问题。

x 2y 2

-=1的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且例3 已知双曲线916

PF 1PF 2的大小． 1PF 2=32，求∠F

题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

x 2

-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90 ，求例4 已知F 1、F 2是双曲线4

∆F 1PF 2的面积．

五、根据双曲线的定义求其标准方程。

例5 已知两点F 1(-5，0)、F 2(5，0)，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

x 2y 2

-=1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且PF 例 P 是双曲线 1=17，求PF 2的值．6436

六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：

（1）与⊙C ：0) (x +2)+y 2=2内切，且过点A (2，2

（2）与⊙C 1：x 2+(y -1)=1和⊙C 2：x 2+(y +1)=4都外切． 22

（3）与⊙C 1：(x +3)+y 2=9外切，且与⊙C 2：(x -3)+y 2=1内切． 22

抛物线典型例题

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．

（1）x 2=4y （2）x =ay 2(a ≠0)

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．

二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 若直线y =kx -2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．

三、求直线中的参数问题

例3（1）设抛物线y =4x 被直线y =2x +k 截得的弦长为35，求k 值．

（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．

四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y =x 上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标． 22

例 已知点M (3, 2) ，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM +PF 取最小值时，点P 的坐标为__________．