多项式实根的一种求解方法

第２０卷第６期

Ｖ０１．２０，

Ｎ０６

辽宁工程技术大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｉａｏｎｉｎｇＴｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

２００１年１２月

Ｄｅｃ．．

２００１

文章编号：１００８．０５６２（２００１）０６＿０“７—０４

多项式实根的一种求解方法

张培建

（中国煤炭经济学院管理系，山东烟台．２６４００５）

摘要：通过将多项式简单地分解为正负两个部分，提出了求解多项式展大正根和最小正根的迭代算法，在此基础上．利用因式分

解定理得到了其所有正根的计算方法，证明了它的收敛性，并估计了收敛速度。在确保收敛的情况下，本文又引入一个辅助函数对两种方法进行了恪正，修正后的算法使得计算量大为减少，而其收敛速度却没有受到影响。

关键词：多项式；实根：选代算法中图号：Ｏ２２１文献标识码：Ａ

１问题的描述

假设实系数多项式为

性质１存在最小常数ｃⅪ≥Ｏ，使得在（０，＋一）的范围内，ｒ（ｃ）仅在（。Ⅲ，十”）中为正、连续、可导以及严格单调上升。证明

・

＾（曲＝ｄ。工”＋ｎ。一１ｘ“一＋……＋口ｏ

』

＝∑ｎ“ｚ”‘

ｊ＝＝０

由｜Ⅳ。（ｃ）的定义，其系数符号变化的次数

不失一般性，可假设口。≠０，‰≠Ｏ成立。根据代数定理，当实系数多项式的次数大于４时，不存在通常意义下的代数解，因此，只能借助于某种算

不超过ｌ，它最多存在一个正根，只要ｃ。。ｆ取为零或其相应的正根，则成立

法求其数值解。可以看出，如果求出Ｌ（ｘ）的正根，则用＾（一工）代替＾（工）可求出其负根，再检验零根，即可求出所有实根。因此本文仅讨论＾（石）正根的求解。另外，当＾（Ｊ）的系数符号变化次数不

超过ｌ时，由于它最多有一个正根，用简单的方法（如二分法）就能够求出它，所以后面的讨论均

ｑ－ｌｆ＜ｃ＜桕

容易得出在（ｏ，扣）的范围内，

Ｍ（ｃ）＞０

ｒ（ｃ）仅在

（。Ⅲ，十”）中为正。依据隐函数存在性定理，容易证明其连续和可导。再经过简单的求导计算可得

一

ｒ，（ｃ）：坐＞ｏ

群（ｒ（ｃ））

于是证明了它的严格单调上升性。性质２

假设【ｃ。，ｃ６】ｃ（Ｏ，十＊），并且成立

假设＾（Ｊ）的系数符号变化次数超过ｌ。

＾（ｃ。）＜Ｏ，正（ｃ６）＞Ｏ

２迭代函数的构造及其有关性质

将＾（工）中系数为负的ｚ用任意给定的正数ｃ

替换可得

则必有［ｃ。，％】ｃ（ｃｉ＿ｌｆ，十＊）。性质３

在（ｃⅪ，十ｗ）上，必定成立

（１）Ｌ（ｃ）＜Ｏ§ｃ＜ｒ（ｃ）；（２）工（ｃ）＝０§ｃ＝，（ｃ）；（３）＾（ｃ）＞Ｏ甘ｃ＞ｒ（ｃ）。

定理ｌ假设【ｃ。，ｃａｌｃ（０，如。），并且成立

‘（Ｊ，ｃ）＝只（工）一Ⅳ。（ｃ）

其中只（工）的系数非负，除了常数项之外Ⅳ。（ｃ）的系数也非负。由于己假设＾（ｚ）的系数符号变化次数超过ｌ，所以只（工）和Ⅳ。（ｃ）不恒为常数。

根据笛卡尔法则，上式存在唯一正根，（ｃ）的充分必要条件是Ⅳ。（ｃ）＞０。

收稿日期｛２０００．１１．１１

＾（ｃ。）＜０，￡（ｃ。）＞０

则两个序列

工：种＝ｃ。，Ｊ：町＝ｒ（工：：）搿ｋ气，《”＝，（Ｊ拦）

作者简介：张培建（１９６２－），山末烟台人，博士，副教授。本文编校：插瑞华

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辽宁工程技术大学学报（自然科学版）第２０卷

分别收敛于正Ｏ）在［ｃ。，ｃ。】上的最小根和最大

根。证明

由假设可知＾（Ｊ）在［ｃ。，气】上存在根，根

据性质２，ｒ（ｃ）在【ｃ。，ｏ］上存在。由性质３

ｘ≯＜ｒ（ｘ铲、，ｒ（ｘ誓’＜ｘ挚

对于Ｌ（Ｊ）在［ｃ。，％】中的任意根Ｊ，由性质１和

性质３可知

背’＜，（搿’）＜ｒ（曲＝Ｊ工＝ｒ（Ｊ）＜ｒ（搿’）＜搿’

利用数学归纳法不难证明序列（ｘ≯’Ｊ和（ｘｒ’ｌ满足

工＞Ｊ≯’＞工：竺

（１）工＋＜工？’＜工盘（２）

这样序列｛母’）是单调上升有上界，而序列｛工？’｝是单调下降有下界，因此，它们必定收敛，再由性质ｌ，ｒ（ｃ）在【ｃ。，％】上连续，于是，两个序列

的极限点ｘ竺’和卫竺’满足

世’＝ｒ（世’），世’＝ｒ（贮’）

由性质３，世’和世’分别是＾（曲在【ｃ。，ｃ６】上

的两个根，由式（１）和式（２）可知，它们分别为其最小根和最大根。

３多项式正根的求解

根据代数有关定理，可以估计多项式＾（∞任

意正根工的取值范围

玉“（＾）＜算＜工。（＾）

其中

“胪等

‰（驴格Ｍｏ＝ｍａ）【｛Ｉｎ。Ｉ，……，ＩｄＩｆ｝Ｍ。＝ｍａ）【｛Ｉｄ¨Ｉ，……，Ｉ口ｏｌ｝

利用定理１，‘Ｏ）的最大正根和最小正根可

分别用下面两个迭代算法获得。

方法一求解丘０）最大正根的迭代法。

（Ｉ）如果Ⅱ。＜Ｏ，则用一＾（ｚ）代替＾（ｘ）；（２）取粕＝ｚ。。（＾），此时必有＾（工ｏ）＞Ｏ；

（３）如果ｒ（ｊ¨）不存在，则＾ｏ）无正根，停

止迭代；

“）求解ｒ（ｔ—１），取也＝ｒ（石¨Ｊ；

（５）如果坼≤玉ｎｆ（‘），则＾（ｘ）无正根，停

（６）重复（３卜一４）。

（１）如果％＞０，则用一＾（工）代替＾（ｘ）；

（２）取粕＝‰（正），此时必有工（粕）＜Ｏ；

（３）求解ｒ（工¨），取屯＝ｒ（ｘｔ＿１）；

（４）如果ｔ≥‰。（＾），则￡（力无正根，停

（５）重复（３卜一４）。

容易证明，两个方法所得序列｛扎１分别收敛（１）去除＾（ｚ）的零点根；

（２）求出，＾（ｚ）的最大（小）正根Ｊ；（３）分解＾（工）＝（ｘ～工）鼋（ｘ）；（４）用目（工）代替＾（ｘ）；

（５）重复（２卜（４）。

为了讨论方便，在本文的开始假设了＾（ｚ）的

七述两个方法中都要求解，（也一｝），而它本身铲硝一糕

㈣

止迭代；

方法二求解正（曲最小正根的迭代法。

止迭代；

到＾（Ｊ）的最大正根和晟小正根，或者得到工（曲

无正根的结论。利用这两个方法之一以及一元多

项式的因式分解定理，可以求得＾（工）的所有正

根。

系数符号变化次数超过１，去掉该假设，容易验证上述的求解方法仍然有效。

４迭代函数的修正

也是一个多项式的正根。通常不能直接求出，因而也需要一种数值方法迭代求解，但是这样就出现了迭代中出现迭代的现象．无疑会增加计算的复杂性。为了避免迭代求解ｒ（ｘ¨），可分别用

第６期

工。＝上ｔ一。一：＝＝ｊｊ；：：‰ｃ。，ｘｔ＝Ｊｔ一－一删ｃｓ，

张培建：多项式实根的一种求解方法

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来代替两个方法中的Ｊ。＝ｒ（以一。）。定理２论。

证明假设［ｃ。，勺】ｃ（０，十”），并且成立

修正后的方法能得到与原方法同样的结

其中Ｇ。（ｚ，以一。）＝ｘ１Ｃ（工，Ｊ¨）。容易验证它们

具有相同的正根ｒ（雄一。），对Ｇ。（Ｊ，以一。）求导

Ｇ觚＾一）２一肼一１Ｅ（。，。㈧）

＋Ｊ一４ｆ：（工，石ｔ—１）

Ｇ：（Ｊ，＾一１）＝＾（，ｌ＋１）Ｊ一２‘（工，ＪＩ—１）

＾（ｃ。）＜０，＾（ｃ６）＞Ｏ

取‰＝ｃ。，现证式（３）的序列｛ｔ｝收敛于

仃１

＾（Ｊ）在［ｃ。，ｃ。】上的最大根。

可以看出，式（３）可重写为

一城一１《（ｘ，以一１）＋工一１【打囊ｔ屯一１）

一ｎ《（ｘ，工ｔ—１）】

（８）

＾吨，一畿裂

由假设可知

④

由假设可以得到

Ｇ。（‰，‰）＝ｘｉ“‘（‰，‰）

＝靠“＾（并ｏ）＜０

当０＜工≤，（‰）时，由只（工，工ｏ）的定义可得

Ｅ（‰，‰）＝＾（‰）＞Ｏ，

当ｘ＞０时，由Ｃ（ｘ，Ｊｏ）的定义可得

，：（ｘ，ｘｏ）＞ｏ，，囊Ｊ，．‰）≥ｏ，

这样由式（５）可得Ｊｌ＜‰。

《（五Ｊｏ）＞ｏ．ｘＦｌ石，‰）一ｎＦ：（工，ｘｏ）＜ｏ

代入到式（７）和式（８），此时成立

将只（工，石ｏ）在‰点泰勒展开，并在‘点取

值

Ｇ：（ｘ，ｘｏ）＞ｏ，Ｇ：（工，．‰）＜ｏ

与前面的证明过程相类似，对于＾（工）在【ｃ。，勺】

中的任意根ｘ，我们可以得到

以一ｌ＜以＜ｒ（以一１）＜ｒ（工）＝工

因此序列｛ｋｌ必定收敛，由式（４）和上式，其极限

只（■，‰）＝只（‰，工ｏ）

其中ｘ１＜考＜工ｏ。依据前面的结论就可以得到

‘（ｘｌ，‰）≥Ｏ，ｒ（工ｏ）≤工ｌ

十掣（工。一工。）。：塑掣（矿¨ｚ＝一Ｉ＾．一＾ｎ

十，：（．ｈ，工ｏ）（ｘｌ—Ｊｏ）

Ｊ

点就是＾（ｘ）在【巳，％】上的最小根。

对于正（Ｊ）不存在正根的情况，容易验证其结

论也成立。５

对于＾（工）在【巳，％】中的任意根二，由性质１和

性质３可知

●

●

算法的收敛速度估计

为了讨论方便，将所有算法统一书写为

工＝ｒ（ｘ）＜ｒ（．ｈ）≤ｘｌ＜工。以２叭％一Ｉ

Ｊ

利用数学归纳法不难证明序列｛工ｋ｝满足

●

●

这样它们的收敛速度可用ｌ妒’（工）ｌ来表示，其中ｘ

石＝，（算）＜，（工ｔ—Ｉ）≤石ｔ＜以一１

因此序列｛扎）必定收敛，由式（３）和上式，其极限

为｛以｝的极限点。

定理３

所有算法的收敛速度为

点就是＾（工）在【ｃ。，已】上的最大根。

取‰＝ｃ。，现证式（４）的序列ｆ＾｝收敛于

Ｉ妒，（：）ｋ｜ｒ，（；）Ｉ｛＿１

Ｉ＜ｌ

性质１和性质３可得

ｆ‘：）刈

∥（ｊ）≠ｏ

＾（＿ｘ）在【ｃ。，ｃ。］上的最小根。

实际上，式（４）可以表示为

证明对于修正前的算法，由也＝ｒ＠¨）以及

辽宁工程技术大学学报（自然科学版）

第２０卷

妒《）＝ｒ，（二）

Ⅳ：（工）巧（ｒ（ｚ＋））

Ⅳ：（石）群（工上）

此算法的有效性还有待于进’一步改进。但是，本文提出的迭代方法具有一个突出的特点，那就是可以严格按照正根的大小进行求解，其结果将会大大降低因式分解所造成的误差扩散。参考文献：

【ｌ】于思、Ｆ．王朝珠．多项式与多项式矩阵ｆＭ】．北京：国防工业出版

社，１９９２．１＿４ｌ

：１一磐＞ｏ１群（工’）～

而对于修正后的算法式（３）和（４），直接求导可得

【２】冯皋忱．非线性方程组选代解法【Ｍ１上海：｝海科学技术出社，

１９８９

ｌ一３５．

妒ｂＩ卜器－ｒ，Ⅳ）＞ｏ

容易证明，在两种方法中一＠＋）≥ｏ均成立，于

是可得结论。由定理３，所有算法均为线性收敛，尤其在求解重根时，其收敛速度将极为缓慢，因

１３ｌ

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多项式实根的一种求解方法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

张培建

中国煤炭经济学院管理系,

辽宁工程技术大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF LIAONING TECHNICAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2001,20(6)1次

参考文献(3条)

1.王恩平.王朝珠 多项式与多项式矩阵 19922.冯果忱 非线性方程组迭代解法 1989

3.F B Hildebrand Introduction to Numerical Analysis 1974

引证文献(1条)

1.许银坡.蒋先艺 提高OBC覆盖次数计算精度的新方法[期刊论文]-石油物探 2012(2)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_lngcjsdxxb200106036.aspx