违约的定义
违约的定义：
该企业向银行申请的房地产开发贷款到期本息值为F,除此之外，假设该企业存在到期日相同的其他债务，假设T时刻所需偿还的债务总值为F。该企业无力支付F时，所有的债务同时违约。并在T时刻，所有的贷款人将按照债务优先级分别获得偿还（忽略违约后到偿还间的时间间隔）。由房地产开发贷款的合约规定可知，一旦企业发生违约，房地产开发贷款的贷款人将对抵押品MT所担保的部分享有优先偿还权。但由于抵押品—土地使用权在处置变现过程中的法律、操作成本非常高，不能忽略，我们这里记押品处置的成本为kMT，其中k为常数，
0 k 1。
~
~
根据违约的定义，则当公司资产价值VT≥F
~
~
时，贷款不会发生违约，贷款
人可以得到支付F；而VT F时，违约发生，根据抵押品在T时刻的价值，考虑变现成本因素，若E[∙]表示实际概率测度P下的期望，则由以上分析可知，理论违约概率PD可以表示为：
PD=Pr(VT F)
对于任意的t≤T，方程
dVt=μVtdt+σVVtdB1t
~
⎫⎭
2⎫有唯一解： Vt=V0exp⎨⎛ μV-σV⎪t+σVB1t⎬
⎧
⎩⎝
1
2
⎭
因此： PD=Pr(VT F) =Pr(lnVT lnF)
=Pr(lnV0+(μV-σV2)T+σVB1t lnF)
F1
=Pr(ln-(μV-σV2)T σVy)
V02
~⎛ F1
ln-(μV-σV2)T V02
=Pr y
σV ⎝
~
~
12
~
~
⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭
~⎛
F1ln-(μ-σV2)Tv V20
=N
σv ⎝⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭
其中，y服从标准正态分布，N(∙)代表标准正态累计函数。
然而，上式代表的仅仅是理论的违约概率，要将理论结果用于实际预测，我们还需要将理论违约概率和实际数据映射起来。首先，借鉴KMV的思想，定义违约距离（DD）：
ln
DD=
V01
+(μV-σV2)TF2
σV式中，DD是单位资产收益标准差表示的到期资产价值和违约点之间的距离，则理论违约概率可以表示为：
PD=N(-DD)
定义了违约距离之后，在给定的时间段内，将DD与实际的违约概率映射起来，我们沿用KMV的叫法，称之为预期违约概率（EDF）。
实际概率测度下的期望收益与期望损失的度量
要想全面衡量一笔贷款潜在的违约风险，仅仅有理论违约概率是不够的，我们还想知道到期后期望收益是多少，期望损失是多少。下面我们将求解实际概率测度下房地产开发贷款的到期期望损失和期望收益的表达式。 若记到期的收益为P,则有：
P=F⋅χ
(VT≥F)
~
+min(λMT,F)⋅χ
(VT F)
~
实际概率测度P下的期望收益为： EP=F⋅E[χ由于E[χ
~
~
(VT≥F)
~
]+E[min(λMT,F)⋅χ
E[χ
~
(VT F)
~
]
(VT≤F)
]=Pr(VT
(VT≥F)
]=1-PD
，因此：
~] EP=F⋅(1-PD)+E[min(λMT,F)⋅χ(VT F) ~] =F⋅(1-PD)+E[(F-max(F-λMT,0))⋅χ(VT F)
=F⋅(1-PD)+F⋅PD-E[(F-λMT)+⋅χ=F-E[(F-λMT)+⋅χ
~
(vT F)
~
]
(VT F)
]
+
~]事实上，上式中E[(F-λMT)⋅χ(VT
即
EP=F-EL
假设在实际概率测度P下， (MT,VT)的联合分布概率密度函数为f(MT,VT)，
VT
的概率密度函数fV(VT)，给定VT时MT的条件分布概率密度函数为
fMT|VT(Mt,VT)，则期望损失为：
+
~] EL=E[(F-λMT)⋅χ(VT F)
=⎰⎰(F-λMT)⋅χ
∧
+
(VT F)
~
f(MT,VT)dMTdVT
y
∧
=F⎰N(
-∞
∧
z-ρy
11
)fy(y)dy+λM0exp[(μM-σM2)T+(1-ρ2)σM2T]
22-ρ2
⎛∧⎫
z-(ρy+(1-ρ2)σM)⎪y]⋅N ⎪fy(y)dy 2 ⎪(1-ρ)
⎝⎭
y
∙⎰exp[ρσM
-∞
期望收益为：
EP=F⋅E[χ
∧
(VT≥F)
~
]+E[min(λMT,F)⋅χ
(VT F)
~
]
y
∧
=F-F
-∞
∧
⎰
N(
z-ρy-ρ2
)fy(y)dy+λM0exp[(μM-
11
(1-σM2)T+(1-ρ2)σM2T] 22
y
M
∙
-∞
⎰exp[ρσ
⎛∧⎫
z-(ρy+(1-ρ2)σM)⎪y]⋅N ⎪fy(y)dy 2 ⎪-ρ⎝⎭
其中，y=
∧
F1ln-(μV-σV2)TV02
~
σV,z=
∧
ln
F1
-(μM-σM2)TλM02
σM
因此定义违约风险指标为H=PD*EL/EP，为第一年风险评估的主要参数，其中期望损失与期望收益用第一年的现就流出与现金流入来衡量。PD为违约概率