线性代数 李建平版本 复旦大学出版社 答案
线性代数(低分数版)
习题一
1.2.3(答案略)
4. (1) ∵ (奇数)
∴ 为偶数
故所求为
(2) ∵ (奇数)
∴所求为397281564
5.(1)∵ (偶数)
∴项前的符号位 (正号)
(2)∵
∴ 项前的符号位 (负号)
6. (1)
(2)
(3)原式=
7.8(答案略)
9. ∵
∴
10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得
(2)按第一列展开:
(3)
习题二
1.2.3.4.5(答案略)
6. 设 为与可交换的矩阵,则有
即
解之得
7. (1) , 记为
,记为
(2) 即
8(答案略)
9.
10. (1)
(2)
=
11. ∵
∴
反之 若 , 则 ,即
12. (1) 设 ∵ ∴
又∵ ∴
又
当 时,有
∴
(2)设 , 则
∵ ∴
当 时,有
故 即
13.(1) ∵ ∴为对称矩阵
同理 也为对称矩阵
(2) ∵
∴ 为对称矩阵
又 ∵
∴ 为反对称矩阵
(3)∵
由(2)知,为对称矩阵,为反对称矩阵
故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。
14. (1)必要性:∵
∴
充分性: ∵
∴
(2) 必要性: ∵
∴
充分性:∵
∴
(3) 必要性 :∵
∴
即
充分性: ∵
∴
15(答案略)
16. ∵
∴ 可逆。
且
17. ∵
∴ 可逆,且
18. (答案略)
19. ∵, 若 可逆,则
∴ 故 可逆,且
20. 设 ,∵是对称矩阵 ∴ 记 ,则
,即为对称矩阵,又∵ , ∴ 为对称矩阵。
21. (1)设 ,则
(2) ∵ ∴
又 ∵
∴
于是 即
(3)∵ ∴
于是
(4) (注意加条件:可逆)
∵ 可逆 ∴
∴
22. ∵ ∴
23. 24.(答案略)
25. ∵ ∴
∴ 可逆,且
26. ∵ ∴
又 ∵, ,
∴
27(答案略)
28. ∵ ∴
又 ∵ ∴
故
29.
∵ ∴
∴
30. (答案略)
31. (1)
(2)
32.
33. (1) ∵
∴
(2) ∵
∴
习题三
1.2.3.4(答案略)
5. ∵ 不能由线性表示
∴线性方程组 无解
不妨假设 能由线性表示,则存在一组数,使
从而
此式与方程组无解矛盾。
故 不能由的任何部分组线性表示
6. 依题意
所以
即
7. ∵ ∴
令 ∵
∴ 可逆,于是
即
8.(答案略)
9. 当 即当 或时,线性相关
否则 线性无关。
10 .(1)设
则
∴ 即
故 线性无关。
(2)设
则
∵ 线性无关 ∴ 解之得
11. 一方面,向量组能由基本单位向量组 线性表示;
另一方面,基本单位向量组由向量组线性表示为
∴ 向量组 与向量组等价。
12. 一方面 可由向量组线性表示;另一方面由于与有相同的秩,所以 就是向量组的一个极大无关组, 从而可以由线性表示.
故
13. 设是向量组中任意一个向量
∵可由线性表示
又 ,∴ 线性无关
∴是的一个极大无关组。
14. ∵ 可由 线性表示,而也可由线性表示
∴ 从而
故 线性无关。
15. 必要性:∵是一组维向量,若线性无关,显然任意维向量都可由线性表示。
充分性:∵ 任意维向量都可以由线性表示,∴基本单位向量组可由线性表示,故 ∴ 从而线性无关。
习题四
1.2.3.4.5.6(答案略)
7. 设 ,由 得 即
可见,是方程组的两个解
又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是,问题就转化为求解方程组 ∵
取 即为所求。
8、设所求方程组为 不妨设
依题设,
即
故所求方程组为
9、由题设可知为的解,又因为,所以的基础解为所含向量个数为. 故为的基础解系
于是的通解为
10、的互解为
即
方程组有非零解.
显然满足方程 所以是所求非零的公共解.
11(答案略)
12.由题设知,方程组的基础解系含一个解向量.
可见是方程组的基础解系
由知,知
即
又线性无关.
可见为它的一个解,
从而为的一个特解。
故的通解为
13 (1)假设线性相关
线性无关
纯由向量组线性表示
从而是方程组的解 与已知矛盾
线性无关.
(2)设
又线性无关
从而 故线性无关.
14.设是的一个解,是的基础解系 由13知
又的任一解都可由向量组线性表示. 的解向量组所含向量个数 15.设是的一个特解
是的一个基础解系
则的任意解
即
令
显然是的个线性无关的解. 则 其中
习题五 1(答案略) 2、设是的属于特征值的特征向量,则 即 解此方程组得或 3、设是的特征值,是的属于特征值的特征向量,则 即 故即或 4、 故 的特征值为. 5. 由题设知为的特征值。 于是 又 6. 7. 存在可逆矩阵,使 于是 故B 是幂等矩阵. 8. 令 依题设 9. 由,得(二重), 可见方程的基础解系含2个解向量, 从而 又 10(答案略) 11. (1)设 原矩阵不是正交矩阵. (2) 令 所以原矩阵为正交矩阵. 12(答案略) 13. 设为与正交的向量.
则 即 ,此方程组的通解为
(1) A的属于特征值的特征向量为
(2)记 则
又