数学实验的设计与实践

数学实验的设计与实践

一、数学实验的界定

“数学实验（Mathematics Experiment）”是指类似于物理实验、化学实验等的科学实验，结合数学学科的特点，“数学实验”可以界定为：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类实际问题，而运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在特定的时空环境下进行的探索、研究活动。初中数学实验的设计研究是对数学实验的方法、手段、媒体等要素设计的研究。初中数学实验的实践研究是对教师在数学实验过程中的组织教学、误差控制、干扰因素等实验操作问题的研究。数学实验与物理、化学实验、生物实验相比，不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征。

二、数学实验的发展

随着科学的发展，尤其是计算机的出现，改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，给数学工作者带来了最先进的工具，丰富和发展了“数学实验”的内涵，各种先进的计算机软件为学生创新性学习提供了空间，学生可以利用这些软件进行数学实验、数学探究，“发现”数学规律。学生通过观察、实验、归纳进行合理的数学猜想；体验数学思想方法的真谛。应该说，信息技术给数学实验教学注入了新的生命，使传统的手工制作、实地观察、制作模型等数学实验手段得以更新，为实验教学提供了新的物质条件，数学正在成为一门“实验科学”。

在国外，数学实验已经成为常见的教学形式，美国的中学有专门的数学实验室，英国的中学教材中有许多实验材料。美国全美数学教师协会（NCT ）在1989年颁布的《课程与评价标准》中还写道：“让每一个普通教室成为计算机教室，让每一个学生随时随地可以学习和探索数学”。美国2000年《学校数学的原则和标准》要求，在课堂教学中，教师有责任产生良好的智力环境，促进学生进行认真的数学思考。教师应该选择和使用合适的课程材料，恰当的工具，先进的教学技术，以便支持学生的数学学习，组织适当的实验，让学生在实验与操作的过程中理解数学。由此可见，世界上许多国家在数学实验课程的研究等方面均已广泛开展。

在国内，1996年教育部立项的面向21世纪非数学专业数学教学体系和内容改革的总体构想中，把“数学实验”列为数学基础课之一。其目标是，不将数学看成先验的逻辑体系，而是将它视为一门“实验科学”，从实际问题出发，借助计算机等辅助工具，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律。中科院院士、数学教育学家姜伯驹在一篇文章中指出，“应该组织数学实验课程，在教师指导下，通过自己动手计算、体验解决问题的过程，探索某些理论或应用的课题，使新鲜想法借助数学软件可以迅速实现，从而在失败与成功中得到真知。这种方式，变被动的灌输为主动的参与，有利于培养学生的独立工作能力和创新精神。”近年来，数学实验在国内许多高校开展了实践探索。1997年后，各高校相继开设数学实验课程，结合数学软件、数学建模开发了相应的教材体系。2001年8月在无锡马山召开的“全国数学科学方法论与数学创新教育学术交流会”上，中国社会科学院哲学所林夏水先生在《计算机实验》报告中建议，可以在中学开设数学实验。随后，在中学数学教学中开展数学实验，也成为众多一线教师的一种探索，在各类数学教学研究刊物上，不断有“数学实验”的提法。如北京四中李晋渊、刘坤《数

学实验的数学价值》，文中阐述了数学实验的必要性、可行性，并结合一个实验课例，指出了数学实验的指导思想及教学价值。又如庄明虎在《数学教学》上发表的《携数学实验进数学课堂》论述了“数学实验”是学生发现、获取知识和技能的源泉和“数学实验”是展示学生数学思想和方法，获得广泛数学活动经验的舞台。还有北京市十一学校确定了以学主主体参与为教学原则，在教学中让学生主动积极探索，在探索中培养学生的创造思维能力这样一个实验基调，并筹建数学实验室。连续几年来，数学实验室每年都有新的发展，丰富新的内容。另外，课程标准也要求：开展“实践与综合应用”领域，它为开展数学实验教学提供了空间。但现行的中学教材中没有安排数学实验的内容，国内许多数学教育工作者和数学教师也对数学实验在中学数学教育领域进行过研究，如我省教科院欧阳新龙主持的省“十五”规划课题《数学实验在中学数学课内外的实践与认识》、江苏省教研室董林伟主持的《动手“做”数学——数学实验课程开发与设计》等，为数学实验的设计、操作等方面的系统研究，构筑了坚实的理论基础，积累了丰富的实践经验。

三、数学实验的意义

(1)数学实验有助于增进对数学的理解。数学实验为抽象的数学思维提供直观的思维背景，使静态的数学结构表现为时空的动态过程，使抽象的内容直观化、具体化，为学生进行数学论证提供感性的、直觉的材料，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去，把更多的时间花在实质性的数学思考上，帮助学生更好地理解数学过程、数学本质，便于学生理解和掌握数学的概念和方法。

(2)数学实验有助于学生体验数学过程，增强创新能力。数学实验的目的是要引导学生进入自己“做数学”、体验数学的境界，亲身体验数学创造与发现的过程。在传统数学课程内容设计中，数学家发现问题、解决问题的思维轨迹往往被掩盖，以致学生学习过程中常常会问，当初的数学家是怎样想到这个问题的？他们是怎样发现证明方法的？数学实验通过对知识的形成过程和对问题的观察、发现、解决、引申、变化等过程的模拟和实验，让学生在自主探索实践中体验到那条被掩盖了的思维轨迹。

(3)数学实验有助于数学学习兴趣的激发。实验过程本身是一个科学研究、探索真理的过程，是学生经历观察、实验、猜测、推理、交流和反思的过程，数学实验让学生真正从一个旁观者和听众变成一个参与者，真正激发起学生的求知欲与好奇心。

(4)有利于为广大的初中数学教师积极参与课堂教学改革，探索一种新的数学教学模式，从“讲授知识”的权威模式向以“激励学习”为特色的顾问模式转变，为更多的数学教师上好数学实验课提供丰富的实践经验和理论依据。

四、数学实验的特征

（1）实验因子的界定 数学教学内容中的实验因子，就是以实验为载体，展示数学的探索发现过程，使学生亲历这个过程，从中发现数学、体验数学、理解数学、运用数学，既获得数学知识，又养成探索能力的一类教学素材。

（2）数学实验的特征 ①数学实验具有活动化、操作化特征。即在数学实验中，学生是数学实验活动中的主体，学生②数学实验具有探索性、反复性特征。数学实验为学生提供获得以下技能和经验的机会：观察、

始终处于积极自主地动脑动手、探索验证、讨论交流的实践活动中。

探索、形成顿悟和直觉，作出预测，检验假设，控制变量，模拟。数学实验充分体现利用实验手段和归纳方法进行数学教育的思想：即从若干实例出发——进行实验——发现规律——提出猜想——验证猜想。

③数学实验具有启发性、过程性特征。数学实验既注意揭示数学概念、定理的形成和发展过程，展示数学问题的解决过程，又与基本的数学思想、数学方法挂钩，有机地和数学知识教学相互结合、相互促进，在实验中发现、探索数学规律，在理论学习中进一步研究、证明这个规律。

④数学实验具有直观化、归纳性特征。数学实验不只局限于将抽象化为形象的演示，它还能很好地引导学生由直观现象去归纳、探索数学知识或通过数学可视化去验证数学结论，经历重新建构数学的过程，达到学好数学和应用数学解决问题的目的。

⑤数学实验还体现返璞归真的现代数学教育理念。即构建一种问题情境，使学生在其中能够自由地探索，在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证，以及数学知识的应用，通过情境的变换去发现问题、探索规律、验证结论。

五、数学实验的类型

（1）按照实验手段的不同，数学实验可区分为传统数学实验和现代数学实验两大类。 传统数学实验是指运用手工的方法如利用实物模型、实物教具等进行操作的演示性模型实验，现代的数学实验是指以计算机(器) 为工具的实验，具体而言，就是利用计算机或图形计算器或使用纸笔通过具体或特殊数学例子进行的思想性实验。 这些先进的现代技术工具和数学软件为实验手段，以图形演示、数值计算、符号变换等作为实验内容，以数学理论作为实验原理，以实例分析、模拟仿真、归纳发现等作为主要实验形式，旨在探索数学现象、发现数学规律、验证数学结论或辅助做数学、学数学、用数学的数学学习与研究的实践活动。不难看出，现代数学实验是传统数学实验的技术改造。

（2）按照组织形式和地点的不同，数学实验可分为随堂实验、实验室实验和课外实验等。 随堂实验就是穿插在数学课堂教学中的实验，如根据教学的需要，在数学课程中某一教学主题学习内容前，设置一个与引入主题内容有关的实验情景，在课堂上教师利用数学软件或课件，借助多媒体演示，在较短时间内完成的实验，或由学生利用图形计算器等便捷工具自行探索的实验。随堂实验的显著特征是内容短小，直接为随后的教学主题服务，通过观察可获得猜想，一般具有启发性、归纳性、直观性。如探索平行线的性质、探究圆与圆的位置关系等。

实验室实验指的是围绕一个教学主题组织的较大实验，内容较丰富、内涵较深刻。它的显著特征是具有探索性、过程性。一般需要制定实验计划，在多媒体实验室或计算机房利用数学软件进行操作实验，要求学生观察现象或记录数据，分组讨论实验中所出现的现象或进行数据分析处理，得出一个结论，并给出合理的数学解释，最后写出完整的实验报告，就实验中发现的问题尽量作出严格的证明。如探索多边形的内角和公式、反比例函数的图象及其性质等。

课外实验相当于通常的数学教材中的课外阅读材料——提供实验材料让学生课外有兴趣去实（3）根据实验的目的，数学实验又可分为验证性实验和探究性实验。 验证性实验是通过实验操作和观察、记录、分析等手段检验一个数学判断或结论真伪的实验。验探索，或者作为课外作业。如制作测角仪测量树的高度、瓶子中有多少粒豆子等。 教师从新知识的生长点出发，推导出新的结论时，由于结论的抽象性和推理的复杂性，学生在心理

上对新知识的接受有障碍，新知识不能很好地内化到学生已有的知识结构中去，通过实验来验证，可使新知识具体化，增进学生对新知识的认可和理解。如验证勾股定理、用频率估计概率等。 探究性实验是通过实验来探索、回答一个对学生来说尚不知道答案的数学问题，一般也不提供实验素材，只提供实验的课题，它实际上给学生提供了一个通过探究来学习数学知识的亲身实践的途径，强调在探究过程中获得数学知识和数学理解。如探究中点四边形的性质等。探究性实验在具体设计时，可以设计成引导探究性实验和开放探究性实验。引导探究性实验一般由教师设计出实验方案，学生按照既定步骤探究出问题的结论；开放性探究实验一般只给出任务，实验方案需由学生自己设计，问题的结论也是多元的、开放性的。

验证性实验和探究性的区别在于：(1)验证性实验一般伴随概念原理的分析、讨论，耗时一般较少，实验后通常不安排讨论；探究性实验则安排在概念原理之前，为发现、提出概念原理埋下种子，实验后一般要进行小组或班级讨论，讨论分析观察到的现象、收集到的数据和对数据进行解释，提出假说，用时一般较多。(2)验证性实验一般用于验证所给结论，实验在一定程度上是结论的附庸；探究性实验一般开始于一个有刺激性和探索性的问题，实验的过程受未知的探索结果的吸引或为了理解观察的事实或解决问题产生的好奇心所驱动，学生的兴趣和积极性一般比较高，有利于培养学生的数学情感和数学态度。(3)验证性实验中，教师往往是主宰者、评论者；探究性实验中，教师往往是咨询者、服务者和提问者，在讨论和辩论时教师可以有意持不同意见，以引导和促进学生去思考。教师和学生在探究性实验中都会遇到更多的挑战。(4)验证性实验一般是随堂实验，而探究性实验往往是实验室实验或课外实验。

六、数学实验的教学

1、数学实验设计的基本原则

数学实验的选题与设计是数学实验的重要组成部分。选题时，应该结合学生的生活实际和认知实际，特别是数学课程学习的内容。除应遵循教学设计的一般性原则以外，还应注意其量力性、实用性、趣味性，做到易操作、可发散、能深入，能激发学生认知探究的欲望，给学生有进一步创新的空间。

（1）量力性：适合学生的知识水平和年龄特点，在实验时不需要补充大量知识就可入手； （2）实用性：要有一定的实际背景和意义，选择这种实际问题，可以使学生从实验过程中体（3）趣味性：学生动手操作，能充分调动学生学习的主动性，吸引学生思考，启迪学生思维，

2、数学实验教学的基本环节

不同的实验类型有着不同的教学方式，不拘一格。如验证性实验通常采用“告诉—验证—应用”的教学模式，在实验中所有的学生都做同样的事情，学生被告知如何操作，观察什么，记录什么，如何得出结论，这是一种比较固化的操作模式。而探究性实验教学模式一般分为引导探究和开放探究两种教学模式。引导探究式教学一般由教师提出问题，学生提出假说，引导学生朝着教师预先设计的方向提出实验程序，预测可能的结果，学生进行实验，获得实验数据，分析解释实验数据，并得出结论。这种模式允许学生在假说提出上和数据解释上去创造。教师的引导并不是刻意地引导出一个唯一的结果，而是让学生在探究过程中理解数学、获得知识。开放探究式教学一般由教师或学生提出问题，学生设计实验程序并实施实验方案，收集处理和分析数据、得出结论，并将其应用于会数学的价值，提高学生学数学的自觉性； 开阔学生眼界，提高学生学习数学的兴趣。

新的情景加以检验。这种模式强调探索和创造，学生以一种近似数学家发现数学问题的方式进行数学发现学习，不再强调获得正确的结论，而是强调过程和对结论的解释。

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3、数学实验的教学案例

下面是一个具体的实验教学案例：

【实验课题】利用几何画板探索反比例函数的性质。 【适用范围】人教版八年级下册17.1.2反比例函数图象和性质

【实验类型】实验室（引导）探究性实验

【实验内容】形如y=k/x（k ≠0）的函数叫做反比例函数，利用描点法可以画出反比例函数的图象，描出的点越多，画出的图象就越准准确。利用数学软件可以快速准确的画出反比例函数图像，而且能够帮助我们研究反比例函数的性质。本实验拟用几何画板作为工具探索反比例函数图象的对称性、单调性（y 随x 的增大而变化的规律），以及k 对函数图象形状的影响等方面的性质。

【实验目标】探索利用动点研究函数性质的方法，并获得反比例函数的有关性质；培养学生动手动脑的实践能力，观察、分析、抽象、概括等数学思维能力，培养学生利用计算机技术理解数学和解决数学问题的能力；使学生体验成功的乐趣。

【实验准备】给每台计算机安装几何画板；让学生复习几何画板的有关用法，如由坐标构造点，【实验过程】

绘制函数图像等；四人一组，每组一台计算机。

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一般情况下，数学实验教学应包含以下基本环节：

在教师的指导下，学生在规定的时间内按照事先安排的组织形式对实验材料进行操作和实验。对实验现象或数据要认真观察或记录，努力发现与所研究的问题有关的现象或数据中反映出来的规律。

【实验结果】基于实验过程中出现的实验现象的观察或数据记录及对数据分析处理结果，初步作出猜想，并思考个中原因。各小组讨论交流，通过交流最终得到大家认可的结论。教师可以给予适当的分析指导。

1、对于反比例函数y=k/x（k ≠0），当k ＞0时，函数图象双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 的值随x 的增大而减小；当k ＜0时，函数图象双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的增大而增大。

2、反比例函数y=k/x（k ≠0）的图象关于直线y=x对称，关于直线y=-x对称，关于坐标原点对称。

3、随着|k|的增大，函数y=k/x（k ≠0）的图象相对于坐标原点的位置越来越远。

在上面的案例中，由教师提出问题，学生自己动手实验操作，探讨发现各种规律性。不仅使新为保证数学的严谨性，尽可能地对实验结论加以理论证明，跟一般科学实验一样，学生数学实知识找到了牢固的附着点，而且使学生的数学认知结构在这一探索过程中得到发展。 验也应有实验报告撰写环节。实验报告是实验进程中的最后一步，是实验成果的书面总结和反思。通过撰写实验报告，可以培养学生对现象的分析能力和实验数据的处理能力。因此，学生实验一般都应写实验报告。当然也可以包括实物作品、实验流程图、实验计算、论证过程记录、小论文、实验心得、讨论记录等其它实验成果形式。因此，教师应充分利用过程性评价方式，坚持激励原则，综合运用自评和他评的评价方式，激发学生对数学学习的积极情感和数学探究意识。

报告可采用如下形式：