离散傅里叶变换性质

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实验名称：实验日期：姓 名：学 号：实验报告

离散傅里叶变换的性质 2011年11月16日 许鹏 090240229

哈尔滨工业大学（威海）

一、实验目的

验证离散傅里叶变换的性质，包括线性特性、时移特性、频移特性、对称性和循环卷积等性质

二、实验原理

1. 线性特性

DFT[ax1(n)bx2(n)]aX1(k)bX2(k)

2. 时移特性

DFT[x(nm)]WkmX(k)DFT[x(nm)]WX(k)

3. 频移特性

km

nl

IDFTXklIDFTXkWN

4. 对称性

设由x(n)开拓成的周期序列为 则xp

xpn

nxpenxpon

1*

xnxppNn 21*

xnx奇序列xponppNn

2

偶序列xpen将xpe

n 和xpon 截取主周期，分别得

xpetnxpenRNn xpotnxponRNn则x

nxpnRNnxpetnxpotn

x(n)序列的实部和虚部的离散立叶变换

DFTRexnXpetk DFTjImxnXpotk





X(k)X(k)X(Nk)XR(k)XR(k)XR(Nk)XI(k)XI(k)XI(Nk) X(k)X(Nk)argX(k)argX(k)

5. 循环卷积

x3(n)x1(n)x2(n)X3(k)

1

X1(k)X2k N

有限长序列线性卷积与循环卷积的关系 X1(n)和x2(n)的线性卷积：

x3(n)

m

x(m)x(nm)x(m)x(nm)

1

2

1

2

m0N1

N11

x1(m)x2(nm)

m0

将X1(n)和x2(n)开拓成以N为周期的周期序列

xp1(n)

r

x(nrN) x

1



p2

(n)

q

x(nqN)

2



则它们的周期卷积为

xp4(n)xp1(m)xp2(nm)

m0

N1

x1(m)xp2(nm)

m0

N1

x1(m)x2(nmqN)

m0

q

N1

N1x1(m)x2(nqNm) qm0



q

x(nqN)

3



X1(n)和x2(n)周期开拓后的周期卷积等于他们的线性卷积的的周期开拓。

三、实验内容和步骤

任取长度为N=8的随机实序列x1[n]，x2[n]，例如x1[n]=[1 3 5 3 6 8 3 9]，x2[n]=[2 4 3 6 7 9 0 2 ]，和长度为N=8的随机复序列x3[n]，x4[n]，例如x3[n]=[1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+j 8+2j 3+3j 9+2j]，x4[n]=[4+1j 6+4j 4+3j 3+4j 7+j 8+3j 3+4j 1+2j]，采用MATLAB编程验证傅里叶变换的如下性质。 1. 线性特性

a. 给出序列 x1[n]的傅里叶变换X1[k]，并画出其幅度谱和相位谱 b. 给出序列 x2[n]的傅里叶变换X2[k] ，并画出其幅度谱和相位谱

c. 给出序列 Z=2*X1[k]+6*x2[k],并与序列2*x1[n]+6*x2[n]的傅里叶变换比较， 用matlab编程画出的图形如下图所示：

x1 fft X1[k]幅频特性

x1 fft X1[k]相频特性

x2 fft X2[k]的幅频特性

x2 fft X2[k]相频特性

02468Z=2*X1[k]+6*X2[k]的幅频特性

02468Z=2*X1[k]+6*X2[k]的相频特性

02468z=2*x1[n]+6*x2[n] fft的幅频特性

02468z=2*x1[n]+6*x2[n] fft的相频特性

由图可以发现，Z=2*X1[k]+6*x2[k]与序列z=2*x1[n]+6*x2[n]的傅里叶变换相同。验证了线性特性

DFT[ax1(n)bx2(n)]aX1(k)bX2(k)。

2. 时移特性

给出序列x1[n]右移3 位后的傅里叶变换的幅度谱和相位谱，并和原始序列的幅度谱 和相位谱相比较

Matlab编程画出图形如下：

x1的傅里叶变换X[k]的幅频特性

x1的傅里叶变换X[k]的相频特性

02468

02468

移位序列xc的傅里叶变换的幅频特性0

2

4

6

8

移位序列xc的傅里叶变换的相频特性0

2

4

6

8

Wn3k*X[k]幅频特性

Wn3k*X[k]相频特性

2468

02468

由图看出，移位序列xc的傅里叶变换的幅度谱相位谱与原序列傅里叶变换的幅度谱相位谱并不相同，而是与原序列傅里叶变换乘以Wn3k后的结果相同。由此可以验证时移性质

DFT[x(nm)]WkmX(k)DFT[x(nm)]WX(k)

3. 频移特性

km

。

设DFT[x(n)]=X (k)，比较 x(n) *exp( j * 2pi/N *l *n)的DFT与X (k)的不同. a. l= +2 b. l=‐3

2

x1频谱幅度谱

x1频谱相位谱

4

nl

68

02

nl

468

x[n]*Wn (l=2)的频谱幅度谱

x[n]*Wn (l=2)的频谱相位谱

2468

02468

nl

x[n]*Wn (l=-3)的频谱幅度谱

nl

x[n]*Wn (l=-3)的频谱相位谱

2468

02468

nl

有图看出对于x[n]*WN，当l=2其傅里叶变换的幅度谱为x[n]傅里叶变换的幅度谱向左循环移位

2位；当l=-3时其傅里叶变换的幅度谱为x[n]傅里叶变换的幅度谱向右循环移位3位。由此验证了

nl序列的频移特性IDFTXklIDFTXkWN。

4. 对称性

1）实序列：利用x1[n]构造奇对称序列和偶对称序列， a. 画出奇对称序列的傅里叶变换的实部和虚部 b. 画出偶对称序列的傅里叶变换的实部和虚部

奇对称序列的频谱实部

1

2

3

4

5

6

7

奇对称序列的频谱虚部

偶对称序列的频谱实部

1

2

3

4

5

6

7

偶对称序列的频谱虚部

1

2

3

4

5

6

7

有图看出，实数奇对称序列的傅里叶变换为虚数奇对称序列。实数偶对称序列的傅里叶变换为实数偶对称序列。

2）当x(n)为复序列时，推导傅里叶变换公式，利用x3[n]构造奇对称序列和偶对称 序列，讨论如下问题

a. 画出共轭对称序列的傅里叶变换的实部和虚部 b. 画出共轭反对称序列的傅里叶变换的实部和虚部

共轭对称序列的频谱实部

1

2

3

4

5

6

7

共轭对称序列的频谱虚部

1

2

3

4

5

6

7

共轭反对称序列的频谱实部

1

2

3

4

5

6

7

共轭反对称序列的频谱虚部

1

2

3

4

5

6

7

由图看出，共轭对称序列的傅里叶变换虚部为零、只有实部。共轭反对称序列的傅里叶变换实部为零、只有虚部。

3）总结奇对称和偶对称的实数序列和复数序列的傅里叶变换性质

实数奇对称序列的傅里叶变换为虚数奇对称序列。 实数偶对称序列的傅里叶变换为实数偶对称序列。

共轭对称序列的傅里叶变换为实数。 共轭反对称序列的傅里叶变换为虚数。

5. 循环卷积

1)计算序列x1[n]和x2[n]的循环卷积y[n]，计算x1[n] 和x2[n]的傅里叶变换X1[k]和 X2[k]，Y[k]=X1[k]*X2[k],求Y[k]的反傅里叶变换y2[n]，比较y[n]与y2[n]. y[n]=[ 170 175 178 143 161 115 154 158]; y2[n]=[ 170 175 178 143 161 115 154 158]; 所以y[n]=y2[n];

2）循环卷积和线性卷积的关系

a. x5=[1 3 11 8 5 5 2 ] x6=[ 2 4 6 8 ]求x5,x6 线性卷积y1(n); 令L=8，求x5,x6 的L

点循环卷积y2(n)；比较y1(n),y2(n)的不同。 b. L=7+4‐1,重复a c. L>7+4‐1,重复a

线性卷积y1[n]=[ 2 10 40 86 132 166 118 78 52 16]; 当L=8时，y2[n]=[ 54 26 40 86 132 166 118 78], y1[n]!=y2[n]；

当L=7+4‐1时，y2[n]=[ 2 10 40 86 132 166 118 78 52 16],

y1[n] =y2[n]；

当L>7+4‐1时，即L=12,y2[n]=[ 2 10 40 86 132 166 118 78 0 0], y1[n] =y2[n]；

直接线性卷积实部

直接线性卷积虚部

L=8循环卷积实部

L=8循环卷积虚部

5

10

L=102

循环卷积实部

468

L=102

循环卷积虚部

468

L=12循环卷积实部

L=12循环卷积虚部

5

10

15

6. 补零对 DFT 结果的影响

用MATLAB 计算如下N 点序列的M 点DFT：

xn

10nN1

0

其它a. 取 N=8，M=8 b. 取 N=8，M=16

52 16

c. 取 N=8，M=32

根据实验结果，分析延长序列的离散傅里叶变换的特点。 用matlab编程作图结果如下：

8点幅频特性

8点相频特性

16点幅频特性

2416点相频特性

6

32点幅频特性

2432点相频特性

6

02468

补零延长序列的离散傅里叶变换，相当于序列的Z变换在单位圆上的抽样点增多，抽样间隔变小、抽样变密。

7. 采样时间对频率分辨的影响

构造两个正弦信号相加f1=100Hz,f2=105Hz, x(t) = 3*cos(2*pi*f1*t) + 1*cos(2*pi*f2*t)

a. 以采样频率 fs=800Hz 对x(t)采样得到x(n)，采样的持续时间100ms，求x(n)的512 点DFT

b. 以采样频率 fs=1600Hz 对x(t)采样得到x(n)，采样的持续时间100ms，求x(n)的 512 点DFT

c. 延长采样时间为 300ms,求x(n)的512 点DFT 用matlab编程，对a,b,c三种情况分别作图如下：

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[***********]0100ms 512dian fs=800 abs

100ms 512dian fs=1600 abs

300ms 512dian fs=1600 abs

可以看出，当采样时间为100ms时，不能分清100hz和105hz。当采样时间为300ms时，可以分清100hz和105hz。所以，采样时间越长，频率分辨率越大。

8.设序列x[n] = [ 1 8 7 3 6 9 7 2 ],长度为N。对其进行DTFT进行Na=6点的采样，即得到 Xa[k]

x[n]exp(j

n0

N1

2

),k0,...,Na1 Na

如果对 进行Na=6的IDFT得到xa[n]。

1）x[n]与xa[n]的关系；2）用仿真程序验证这种关系。

(1)、x[n]以6为周期进行周期延拓，然后取6点主周期便可得到xa[n]=[8 10 7 3 6 9]。 (2)、xa[n]=[ 8 10 7 3 6 9]; clc; clear;

x=[1 8 7 3 6 9 7 2 ];

H=freqz(x,1,6,'whole');%DTFT6点采样 xa=ifft(H);

- 12 -

四、实验结论

(1)傅里叶变换具有线性性质 即：

DFT[ax1(n)bx2(n)]aX1(k)bX2(k)

(2)傅里叶变换具有时移特性 即：

DFT[x(nm)]WkmX(k)DFT[x(nm)]WX(k)

km

（3）傅里叶变换具有频移特性 即

nl

IDFTXklIDFTXkW N

（4）傅里叶变换具有对称性 即

实数奇对称序列的傅里叶变换为虚数奇对称序列。 实数偶对称序列的傅里叶变换为实数偶对称序列。 共轭对称序列的傅里叶变换为实数。 共轭反对称序列的傅里叶变换为虚数。

（5）序列x1[n],x2[n]的点数分别为a1,a2。当L>a1+a2-1时，x1[n],x2[n]

的L点循环卷积等于 x1[n],x2[n]的线性卷积。

（6）序列补零延长序列的离散傅里叶变换，相当于序列的Z变换在单位圆上的抽样点增多，抽样间隔变小、抽样变密 （7）采样时间越长，频率分辨率越大。

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