参数法巧解直线与圆锥曲线问题
参数法巧解直线与圆锥曲线问题
直线与圆锥曲线问题是高中数学的难点，也是高考中的热点问题，同时它广泛地存在于科学研究、工程技术中. 下面我们运用参数法来解决直线与圆锥曲线的一些常见问题，本文试图就几类较为常见问题的探究，给读者一些有益的启示.
1. 弦长问题
例1过点P (-3, 0) 且倾斜角为30的直线与双曲线x 2-y 2=4相交于A 、B 两点, 求弦
AB 的长.
解(一) 求出直线方程，并与双曲线方程联立，求出交点坐标，再由坐标求出线段长. 该法思路较清晰，但在计算交点的时，计算量往往较大.
解(二) 求出直线方程，并与双曲线方程联立消元，设两点坐标为(x 1, y 1), (x 2, y 2) 再利用韦达定理求出线段长. 该法解题中较常用，但要注意变形过程. 下面我们用参数法来解：
⎧s , ⎪x =-3+
⎪2(s 为参数) ，解(三)
直线的参数方程为⎨将直线的参数方程代入双曲线方程⎪y =1s ⎪⎩2
22
x
-y =4，得s -+10=0．设A 、B 对应的参数分别为s 1, s 2，
2
∴s 1+s 2=s 1s 2=10,
AB =s 1-s 2=∴线段AB 的长为2.
2.
2. 中点弦问题
例2已知直线l 过点P (-3, ) 交椭圆
21
x
2
4
+y
2
=1于A 、B 两点, 且点P 平分弦AB
求直线l 的方程.
解(一) 可设交点坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2) x 1≠x 2, 分别代入椭圆方程，并联立作差， 利用中点坐标P (-3, ) ，可以求出直线l 斜率，进而求出直线方程，并检验所求的直线
21
与椭圆是否有两个交点, 但该法还不应忽视特殊情况x 1=x 2时.
下面我们用参数法来解：
⎧x =-3+s cos θ⎪
解(二) 设直线的倾斜角为θ(0≤θ≤π)，则直线的参数方程为⎨ 1
⎪y =+s sin θ
2⎩
(s 为参数)，将直线的参数方程代入椭圆方程
得
⎛1⎝4
cos θ+sin
2
2
x
2
4
+y
2
=1，
⎫2
θ⎪s + -⎭
⎛ ⎝⎫
cos θ+sin θ⎪s =0，设A 、B 对应的参数分别
⎪2⎭3
-
32
cos θ+sin θ
=0
2
2
为s 1, s 2， 点P 为AB 中点 ∴s 1+s 2=0，则有-
14
cos θ+sin θ
∴-
32
cos θ+sin θ=0即k AB =tan θ=
32
，所以直线l 的方程为y =
32
x +2.
3. 直线与圆的位置关系问题
例3过圆外一点P (-1, 1) 作直线l
(1) 若l 与圆C :(x -1) +(y +2) =4相切，求直线的方程. （2）若l 与圆C :(x -1) +(y +2) =4相交，求直线的斜率的范围.
(1)解(一) 讨论直线斜率不存在时，是否符合，进而讨论斜率存在，设出直线方程，根据圆
心到直线距离等于半径，求出斜率. 该法在解题中较常用，但要容易忽视直线斜率不存在的情形.
解(二) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用∆=0求出斜率. 但仍不能忽视直线斜率不存在的情形.
下面我们用参数法来解：
解(三) 设过点P (-1, 1) 的直线l 的参数方程方程为⎨
⎧x =-1+s cos θ⎩y =1+s sin θ
2
2
2
2
2
(s 为参数)，其中θ
为倾斜角0≤θ≤π. 将直线的参数方程代入圆方程，得s +(6s i n θ-4c os θ) s +9=0
直线l 与圆仅有一个交点 ∴上述方程有且仅有一解，所以∆=0
∴5cos θ+12sin θ⋅cos θ=0得cos θ=0或tan θ=-
2
512
当cos θ=0时，直线l 斜率不存在，所以直线的方程为x =-1， 当tan θ=-
512
时，直线l 斜率为-
512
，所以直线的方程为y =-
512
x +
712
.
（2）解(一) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用∆>0求出斜率的范围. 但不能忽视直线斜率不存在的情形. 下面我们用参数法来解：
解(二) 将直线的参数方程代入圆方程，得s 2+(6sin θ-4cos θ) s +9=0
直线l 与圆相交 ∴上述方程有两解，所以∆>0，即5cos θ+12sin θ⋅cos θ>0
2
当cos θ=0时，上述不等式不成立;
当cos θ≠0时，5cos θ+12sin θ⋅cos θ
⎛⎝
5⎫⎪. 12⎭
2
512
所以直线的斜率的范围是 -∞, -
直线与圆锥曲线的位置关系，也可以通过将直线参数化后与圆锥曲线方程联立，通过转化为一元二次方程的∆来解决，能起到化繁为简. 上述几类问题的求解，都是将直线方程
⎧x =x 0+s cos θ设为标准的参数式，即：⎨（其中s 为参数，θ为倾斜角），然后求解.
y =y +s sin θ0⎩