零极点对系统性能的影响分析

自动控制原理课程实践

《开环系统零极点对系统的影响》

学院： 物理与电气工程学院 班级： 2011级自动化一班 姓名： 张国晖 学号： 111103055

1 增加零点对系统的影响

1.1 开环传递函数G 1（s ）的根轨迹和奈奎斯特曲线

1.1.1开环传递函数G 1（s ）的根轨迹

系统开环传递函数G 1(s)=

(s/a+1)

的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方

(s2+s +1)

s 2+s +1++1=0， s

恒等变换为 s 2+s +2

+1=0

s

可以看出，如果绘制一个开环传递函数G (s ) =就是原系统的根轨迹。

在MATLAB 键入程序：

n=[1,0] ; 分子 d=[1,1,2] ; 分母 rlocus(n,d) ;

键入Enter 键，可得图1所示根轨迹图。

s 2+s +2

的系统根轨迹，实际上

图1 开环传递函数G 1（s ）的根轨迹图

1.1.2 开环传递函数G 1（s ）的奈奎斯特曲线

取a=1,用MATLAB 绘奈奎斯特图。 键入命令:

G=tf([1,1],[1,1,1]),nyquist(G)

按键Eenter 出现如图2所示奈氏图

图2开环传递函数G 1（s ）的奈奎斯特曲线

1.2 增加不同零点时的阶跃响应分析

（1）当a=0.01时 系统闭环传递函数

φ1(s ) =s +101s +2

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[100,1] den=[1,101,2] step(num,den) grid on

xlabel('t'),ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图3。 由图可得

-0.5

超调量σp %=0.985⨯100%=97% 图 3 a=0.01时的单位阶跃曲线

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([100,1],[1,1,1]) bode(G),

系统伯德图如图4 。 由图可得

谐振峰值M r =40

（2）当a=0.1时 系统闭环传递函数

(φ1s ) =s 2

+11s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[10,1] den=[1,11,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图5。 由图可得

超调量σp %=0.89

-0.5

⨯100%=78%

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([10,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图6。 由图可得

谐振峰值M r =20

图 4 a=0.01时系统伯德图

图 3 a=0.1时的单位阶跃曲线

图6 a=0.1时系统伯德图

（3）当a=1时 系统闭环传递函数

φ1(s ) =s +2

s +2

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1,1] den=[1,2,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图7。 由图可得 图 7 a=1时的单位阶跃曲线

-0.5

超调量σp %=0.604⨯100%=20.8%

MATLAB 上键入命令：

G=tf([1,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图8 由图可得

谐振峰值M r =3

图 8 a=1时系统伯德图

（4) 当a=10时系统闭环传递函数：

φ1(s ) =s +1.1s +2

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[0.1,1] den=[1,1.1,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图9。 由图可得

-0.5

超调量σp %=0.634⨯100%=26.8%

图 9 a=1时的单位阶跃曲线

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([0.1,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图10 由图可得

谐振峰值M r =0.3

(5)当a=100时 系统闭环传递函：

φ=1(s ) s 2

+1.01s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[0.01,1]

den=[1,1.01,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图11。 由图可得

超调量σp %=0.65-0.5

⨯100%=30%

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([0.01,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图12 由图可得

谐振峰值M r =0

图 10 a=100时系统伯德图

图 11a=1时的单位阶跃曲线

图 12 a=100时系统伯德图

1.3 系统阶跃响应分析

原二阶系统闭环传递函数：

φ(s ) =s +s +2

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=[1]

den=[1,1,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图13。 由图可得

-0.5

超调量σp %=0.652⨯100%=30.4%

谐振峰值M r =0 图13 原二阶系统的单位阶跃曲线

表1

a

超调量σp %

0.01 0.1 1 10 100 原二阶系统

谐振峰值M r

稳态c (∞) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

97% 78% 20.8% 26.8% 30% 30.4%

40 20 3 0.3 0.01 0

由表1可知，当M r 增大时，σp %也相应增大。因为增加对零点系统稳态值不产生影响。当a=0.01 时，M r =40，σp %=97%， 随着a 的增大，M r 开始减小，σp %也减小，直到a 减小到某值时达到最小，σp %也不再减小；a 继续增大，M r 减小到零，σp %也增大，当a 增大到100时，σp %=30%，M r =0.01，接近于原二阶系统的值。

由此可知，零点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系 统的影响越小。

因此，若附加的零点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

1.4增加不同零点时的伯德图

（1）当a=0.01时 在MATLAB 上键入命令：

G=tf([100,1],[1,1,1]) bode(G),

grid;

系统伯德图如图14。

（2）当a=0.1时

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([10,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图15

（3）当a=1时

MATLAB 上键入命令： G=tf([1,1],[1,1,1])

bode(G)

系统伯德图如图16

图 14 a=0.01时开环传递函数G 1（s ）的伯德图

图 15 a=0.1时开环传递函数G 1（s ）的伯德图

图 16 a=1时开环传递函数G 1（s ）的伯德图

（4）当a=10时

在MATLAB 上键入命令： G=tf([0.1,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图17

图

17 a=10时开环传递函数G 1（s ）的伯德图

(5）当a=100时

在MATLAB 上键入命令：

G=tf([0.01,1],[1,1,1]) bode(G)

系统伯德图如图18

图 18 a=100时开环传递函数G 1（s ）的伯德图

由系统伯德图可知，增加零点使系统截止频率增大，

ω=ω

因为

b n

ωc = ωn

所以带宽增大；随着a 增大，截止频率减小，带宽减小，当a ，增大到一定值时，系统截止频率趋近于原二阶系统，截止频率为零。

2 增加极点时对系统的影响分析

2.1开环传递函数为G 2（s ）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线

2.1.1系统开环传递函数为G 2（s ）的根轨迹

开环传递函数G 2(s)=

1

的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方程为

[(s/p)+1](s2+s +1)

[(p ) +1](s 2+s +1) +1=0，

恒等变换为

(s 3+s 2+s ) 2

s +s +2

+1=0

=

32

(s +s +s ) 2

可以看出，如果绘制一个开环传递函数G (s ) 就是原系统的根轨迹。 在MATLAB 键入程序：

n=[1,1,1,0] ; 分子 d=[1,1,2] ; 分母 rlocus(n,d) ; 函数 键入Enter 键，可得图19

s +s +2

的系统根轨迹，实际上

图 19 开环传递函数G 1（s ）的根轨迹图

2.1.2开环传递函数G 2（s ）的奈奎斯特曲线

取p=1制奈奎斯特曲线。在MATLAB 上键入命令：G=tf([1,1,1,0],[1,1,2]),nyquist(G)按键Eenter 出现如图20所示奈氏图

图20开环传递函数G 2（s ）奈奎斯特曲线

2.2增加不同极点时系统的伯德图

（1)p=0.01时，在MATLAB 上键入命G=tf([1],conv([100,1],[1,1,1])),bode(G) 系统伯德图如21

图 21 p=0.01时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

系统伯德图如

22

图 22 p=0.1时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

(3)p=1时，在MATLAB 上键入命令：G=tf([1],conv([1,1],[1,1,1])),bode(G) 系统伯德图如23。

图 23 p=1时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

系统伯德图如24。

图 24 p=10时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

(5)p=100时，在MATLAB 上键入命令：G=tf([1],conv([0.01,1],[1,1,1])),bode(G) 系统伯德图如25。

图 25 p=100时开环传递函数G 2（s ）的伯德图

2.3增加极点对系统带宽的影响

1

2

s +s +1

在MATLAB 上键入命令：G=tf([1],[1,1,1]),bode(G) 系统伯德图如图26。

原二阶系统的开环传递函数为G (s ) =

图 26 原二阶系统的伯德图

由增加极点后的伯德图和原系统的伯德图可知，增加极点后系统截止频率没变化，

因为

ωb =ω

ωc = ω且 ωc =0

所以带宽为零，即增加极点后系统带宽无变化。

2.4增加极点后系统单位反馈时的单位阶跃响应

(1)当p=0.01时，系统闭环传递函数为

φ2(s ) =100s +101s +101s +2

3

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]

den=[100,101,101,2] step(num,den) grid on

xlabel('t'), ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图27。

图27 p=0.01时系统的单位阶跃曲线

(2)当p=0.1时，系统闭环传递函数

φ2(s ) =10s 3

+11s 2

+11s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]

den=[10,11,11,2] step(num,den) grid on

xlabel('t'), ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图28。

(3)当p=1时，系统闭环传递函数φ2(s ) =s 3

+2s 2

+2s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]

den=[1,2,2,2] step(num,den) grid on

xlabel('t'), ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图29。

(4)当p=10时，系统闭环传递函数φ2(s ) =1

0.1s 3

+1.1s 2

+1.1s +2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]

den=[0.1,1.1,1.1,2] step(num,den) grid on

xlabel('t'), ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图30。

图 28 p=0.1时系统的单位阶跃曲线

图 29 p=1时系统的单位阶跃曲线 图 30 p=10时系统的单位阶跃曲线

(5)当p=100时，系统闭环传递函数

φ2(s ) =0.01s +1.01s +1.01s +2

3

2

单位阶跃响应的MATLAB 命令：

num=[1]

den=[0.01,1.01,1.01,2] step(num,den) grid on

xlabel('t') ylabel('c(t)')

系统响应曲线如图31。

图 31 p=100时系统的单位阶跃曲线

由单位反馈时对单位阶跃输入的响应曲线可得表2

表2

p

0.01 0.1 1 10 100 原二阶系统

超调量σp %

0 0 40% 34% 32% 30.4%

调整时间t s (s)

250 25 24 13 10 9

由表2可以看出，当p 增大时， 超调量先增大后减小，最后趋近于原二阶系统的值，调整时间一直减小，最后趋近于原系统的调整时间。所以当p 远大于阻尼系数ξ时，可以忽略增加极点对原二阶系统的影响。

3 结论

增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。增加极点时，系统超调量σp %减小，调整时间t s (s)增大，极点离虚轴越近，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。

心得体会

两周的课程设计就这样匆匆结束了，突然感觉时间变得如此之短，而同时，所需要掌握、学习的东西又那么多。

总的来说，这次课程设计学到了不少东西，概括起来有如下几个方面： 第一，加深了对课本知识的理解和掌握。刚开始拿到此次课程设计的题目时，觉得挺简单的，可真正去做的时候才发现很多都不会，大脑一片空白，根本不知道该如何进行。最后，不得不重新拾起课本，将课本上有关的知识仔细认真地看了一遍，才渐渐有了眉目。而通过此次的学习，不仅加深了对以前学过的知识的理解和掌握，同时，又对此次的课程设计有了底。

第二，增强了学习的兴趣。以前学习自动控制专业知识时，总感觉它与我们实际运用联系的不紧密。可是，通过这次课程设计，我才发现，原来我们实际生活中常用的知识均来自于我们所学的课本基础知识。最常用的MATLAB 的仿真，通过对它的熟练应用，可以让我们对自控知识的处理省下不少的精力。

第三，理论要联系实际。虽然这次课程设计我们没有做实物，但通过老师的讲解和指导，让我明白，光靠理论知识是行不通的，我们在做设计时，需要考虑方方面面的东西。我们需要通过理论联系实际，才能设计出满足设计要求的方案。 最后，感谢学校为我们提供这样一次学习锻炼的机会，也衷心感谢老师的细心指导！

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，2001

[2] 何联毅，陈晓东. 自动控制原理同步辅导及习题全解. 北京：中国矿业大学

出版社，2006

[3] 谢克明. 自动控制原理. 北京：电子工业出版社，2004 [4] 冯巧林. 自动控制原理. 北京：北京航空航天大学出版社，2007 [5] 刘叔军. MATLAB7.0控制系统应用与实例. 北京：机械工业出版社，2005

[6] 刘叔军. 自动控制原理－基于MATLAB 仿真的多媒体授课教材. 北京：国防工业出版

社，2008