高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
一.选择题(共16小题) 1.(2014•上海二模)已知正四棱锥S ﹣ABCD 中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( ) A .1 B . C .2 D .3 2.(2010•四川)半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面a ,垂足为B ,△BCD 是平面a 内边长为R 的正三角形,线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ,那么M 、N 两点间的球面距离是( )
A .
3.(2010•北京)如图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E 、F 在棱A 1B 1上.点Q 是CD 的中点,动点P 在棱AD 上,若EF=1,DP=x,A 1E=y(x ,y 大于零),则三棱锥P ﹣EFQ 的体积( )
B .
C .
D .
A .与x ,y 都有关 B .与x ,y 都无关
C .与x 有关,与y 无关 D .与y 有关,与x 无关
4.(2009•宁夏)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm )为( )
2
A .48+12 B.48+24 C.36+12 D.36+24 5.(2003•天津)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A .3π B .4π C .3 D .6π 6.(2013秋•禄劝县校级期中)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( ) A .1 B . C . D .2 7.(2010•安徽模拟)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=( ) A .10 B .15 C .20 D .25 8.(2009•辽宁)正六棱锥P ﹣ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D ﹣GAC 与三棱锥P ﹣GAC 体积之比为( )
A .1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2 9.(2009•湖北)设球的半径为时间t 的函数R (t ).若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速度与球半径.
A .成正比,比例系数为C B.成正比,比例系数为2C C .成反比,比例系数为C D .成反比,比例系数为2C 10.(2007•安徽)把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为( ) A .
B .π C . D .
11.(2006•浙江)如图,O 是半径为l 的球心,点A 、B 、C 在球面上,OA 、OB 、OC 两两垂直,E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点,则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )
A .
B .
C .
D .
12.(2006•江苏)两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个 13.(2005•安徽)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( ) A .18对 B .24对 C .30对 D .36对 14.(2010•安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( )
A .372 B .360 C .292 D .280 15.(2010•辽宁)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是( ) A .(0,) B .(1,) C .(,) D .(0, 16.(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:
)
①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是 ( )
A .3 C .1 D .0
二.填空题(共4小题) 17.(2010•江西)如图,在三棱锥O ﹣ABC 中,三条棱OA ,OB ,OC 两两垂直,且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S 1,S 2,S 3,则S 1,S 2,S 3的大小关系为 .
B .2
18.(2011•河北)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较
大者的高的比值为 . 19.(2012•贾汪区校级模拟)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 20.(2004•黑龙江)下面关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是
.
三.解答题(共10小题)
322
21.(2011•湖北)设函数f (x )=x+2ax+bx+a,g (x )=x﹣3x+2,其中x ∈R ,a 、b 为常数,已知曲线y=f(x )与y=g(x )在点(2,0)处有相同的切线l .
(Ⅰ) 求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;
(Ⅱ)若方程f (x )+g(x )=mx有三个互不相同的实根0、x 1、x 2,其中x 1<x 2,且对任意的x ∈[x1,x 2],f (x )+g(x )<m (x ﹣1)恒成立,求实数m 的取值范围.
22.(2009•山东)两城市A 和B 相距20km ,现计划在两城市外以AB 为直径的半圆弧
上
选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在影响度为0.065.
(1)将y 表示成x 的函数; (2)判断弧
上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小?
的中点时,对城A 和城B 的总
若存在,求出该点到城A 的距离;若不存在,说明理由.
23.(2007•广东)已知a 是实数,函数f (x )=2ax+2x﹣3﹣a ,如果函数y=f(x )在区间[﹣1,1]上有零点,求a 的取值范围.
24.(2005•上海)已知函数f (x )=x+的定义域为(0,+∞),且f (2)=2+
.设点P
2
是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x和y 轴的垂线,垂足分别为M 、N . (1)求a 的值.
(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由. (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值.
25.(2007•江苏)已知a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,函数f (x )=bx+cx+d,g (x )32
=ax+bx+cx+d.方程f (x )=0有实数根,且f (x )=0的实数根都是g (f (x ))=0的根;反之,g (f (x ))=0的实数根都是f (x )=0的根. (1)求d 的值;
(2)若a=0,求c 的取值范围;
(3)若a=1,f (1)=0,求c 的取值范围. 26.(2001•北京)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价﹣投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?
27.由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线,垂足为E ,证明A 1E :EC=1:2.
2
28.有一直圆锥,另外有一与它同底同高的直圆柱,假设a 是圆锥的全面积,a ′是圆柱的全面积,试求圆锥的高与母线的比值. 29.(2004•上海)如图,P ﹣ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点,截面DEF ∥底面ABC ,且棱台DEF ﹣ABC 与棱锥P ﹣ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)证明:P ﹣ABC 为正四面体;
(2)若PD=DA=求二面角D ﹣BC ﹣A 的大小;(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台DEF ﹣ABC 的体积为V ,是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF ﹣ABC 有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.
30.如图,长方形框架ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′,三边AB 、AD 、AA ′的长分别为6、8、3.6,AE 与底面的对角线B ′D ′垂直于E . (1)证明A ′E ⊥B ′D ′; (2)求AE 的长.
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题) 1.(2014•上海二模)已知正四棱锥S ﹣ABCD 中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( ) 2.(2010•四川)半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面a ,垂足为B ,△BCD 是平面a 内边长为R 的正三角形,线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ,那么M 、N 两点间的球面距离是( )
A .
B .
C . D .
3.(2010•北京)如图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E 、F 在棱A 1B 1上.点Q 是CD 的中点,动点P 在棱AD 上,若EF=1,DP=x,A 1E=y(x ,y 大于零),则三棱锥P ﹣EFQ 的体积( )
A .与x ,y 都有关
B .与x ,y 都无关
4.(2009•宁夏)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm )为( )
2
5.(2003•天津)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
6.(2013秋•禄劝县校级期中)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )
7.(2010•安徽模拟)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=( )
8.(2009•辽宁)正六棱锥P ﹣ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D ﹣GAC 与三棱锥P ﹣GAC 体积之比为( )
9.(2009•湖北)设球的半径为时间t 的函数R (t ).若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速度与球半径.
A .成正比,比例系数为C B.成正比,比例系数为2C
10.(2007•安徽)把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为( )
A . B .π C . D .
11.(2006•浙江)如图,O 是半径为l 的球心,点A 、B 、C 在球面上,OA 、OB 、OC 两两垂直,E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点,则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )
A . B . C . D .
12.(2006•江苏)两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )
13.(2005•安徽)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( )
14.(2010•安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( )
15.(2010•辽宁)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是( )
16.(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:
①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;
②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;
③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.
其中真命题的个数是 ( )
二.填空题(共4小题)
17.(2010•江西)如图,在三棱锥O ﹣ABC 中,三条棱OA ,OB ,OC 两两垂直,且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S 1,S 2,S 3,则S 1,S 2,S 3
18.(2011•河北)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的
大者的高的比值为 . ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较
19.(2012•贾汪区校级模拟)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 2 .
20.(2004•黑龙江)下面关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.
其中,真命题的编号是
.
三.解答题(共10小题)
32221.(2011•湖北)设函数f (x )=x+2ax+bx+a,g (x )=x﹣3x+2,其中x ∈R ,a 、b 为常
数,已知曲线y=f(x )与y=g(x )在点(2,0)处有相同的切线l .
(Ⅰ) 求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;
(Ⅱ)若方程f (x )+g(x )=mx有三个互不相同的实根0、x 1、x 2,其中x 1<x 2,且对任意的x ∈[x1,x 2],f (x )+g(x )<m (x ﹣1)恒成立,求实数m 的取值范围.
22.(2009•山东)两城市A 和B 相距20km ,现计划在两城市外以AB 为直径的半圆弧上
选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在影响度为0.065.
(1)将y 表示成x 的函数; (2)判断弧
上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小?
的中点时,对城A 和城B 的总
若存在,求出该点到城A 的距离;若不存在,说明理由.
23.(2007•广东)已知a 是实数,函数f (x )=2ax+2x﹣3﹣a ,如果函数y=f(x )在区间[﹣1,1]上有零点,求a 的取值范围.
2
24.(2005•上海)已知函数f (x )
=x+的定义域为(0,+∞),且f (2)=2+
.设点P
是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x和y 轴的垂线,垂足分别为M 、N . (1)求a 的值.
(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由. (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值.
25.(2007•江苏)已知a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,函数f (x )=bx+cx+d,g (x )32
=ax+bx+cx+d.方程f (x )=0有实数根,且f (x )=0的实数根都是g (f (x ))=0的根;反之,g (f (x ))=0的实数根都是f (x )=0的根. (1)求d 的值;
(2)若a=0,求c 的取值范围;
(3)若a=1,f (1)=0,求c 的取值范围. 2
26.(2001•北京)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价﹣投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 27.由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线,垂足为E ,证明A 1E :EC=1:2.
28.有一直圆锥,另外有一与它同底同高的直圆柱,假设a 是圆锥的全面积,a ′是圆柱的全面积,试求圆锥的高与母线的比值.
29.(2004•上海)如图,P ﹣ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点,截面DEF ∥底面ABC ,且棱台DEF ﹣ABC 与棱锥P ﹣ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)证明:P ﹣ABC 为正四面体;
(2)若PD=DA=求二面角D ﹣BC ﹣A 的大小;(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台DEF ﹣ABC 的体积为V ,是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF ﹣ABC 有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.
30.如图,长方形框架ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′,三边AB 、AD 、AA ′的长分别为6、8、3.6,AE 与底面的对角线B ′D ′垂直于E . (1)证明A ′E ⊥B ′D ′; (2)求AE 的长.